Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 7

Lekcja 2: Równania, w których występują pierwiastki arytmetyczne

Wprowadzenie do rozwiązywania równań z pierwiastkiem kwadratowym

Google Classroom

Poćwicz na kilku zadaniach zanim przejdziesz do ćwiczeń.

Wprowadzenie

W tym artykule nauczymy się rozwiązywać równania zawierające pierwiastek kwadratowy.

Pytanie treningowe 1

Rozwiąż następujące równanie ze względu na $x$ ‍.

$\sqrt{2 x - 5} = 7$ ‍

x =

Krok 1: Rozwiązywanie równania poprzez podniesienie do kwadratu

Aby rozwiązać to równanie, możemy po prostu podnieść do kwadratu obie jego strony. Wtedy pozbędziemy się pierwiastka.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 5} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 5})}^{2} & = 7^{2} \\ 2 x - 5 & = 49 \\ 2 x & = 54 \\ x & = 27 \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Szukanie nadmiarowych rozwiązań

W równaniach z pierwiastkami kwadratowymi powinniśmy zawsze szukać nadmiarowych rozwiązań! Robi się to podstawiając znalezione rozwiązanie z powrotem do oryginalnego równania.

Oryginalnym równaniem jest

\sqrt{2 x - 5} = 7

. Wstawmy do niego

x = 27

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 5} & = 7 \\ \sqrt{2 (27) - 5} & \overset{?}{=} 7 \\ \sqrt{54 - 5} & \overset{?}{=} 7 \\ \sqrt{49} & \overset{?}{=} 7 \\ 7 & = 7 \end{aligned}$ ‍

Czyli

x = 27

jest rzeczywiście rozwiązaniem.

Pytanie treningowe 2

Rozwiąż następujące równanie ze względu na $x$ ‍.

$\sqrt{10 - 3 x} = \sqrt{2 x + 5}$ ‍

x =

Krok 1: Rozwiązywanie równania poprzez podniesienie do kwadratu

Aby rozwiązać to równanie, możemy po prostu podnieść do kwadratu obie jego strony. Wtedy pozbędziemy się pierwiastka.

$\begin{aligned} \sqrt{10 - 3 x} & = \sqrt{2 x + 5} \\ {(\sqrt{10 - 3 x})}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 5})}^{2} \\ 10 - 3 x & = 2 x + 5 \\ 10 - 5 & = 2 x + 3 x \\ 5 & = 5 x \\ 1 & = x \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Szukanie nadmiarowych rozwiązań

W równaniach z pierwiastkami kwadratowymi powinniśmy zawsze szukać nadmiarowych rozwiązań! Robi się to podstawiając znalezione rozwiązanie z powrotem do oryginalnego równania.

Oryginalnym równaniem jest

\sqrt{10 - 3 x} = \sqrt{2 x + 5}

. Wstawmy do niego

x = 1

$\begin{aligned} \sqrt{10 - 3 x} & = \sqrt{2 x + 5} \\ \sqrt{10 - 3 (1)} & \overset{?}{=} \sqrt{2 (1) + 5} \\ \sqrt{7} & = \sqrt{7} \end{aligned}$ ‍

Czyli

x = 1

jest rzeczywiście rozwiązaniem.

Pytanie treningowe 3

Rozwiąż następujące równanie ze względu na $x$ ‍.

$\sqrt{5 x - 4} = x - 2$ ‍

x =

Krok 1: Rozwiązywanie równania poprzez podniesienie do kwadratu

Aby rozwiązać to równanie, możemy po prostu podnieść do kwadratu obie jego strony. Wtedy pozbędziemy się pierwiastka.

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ {(\sqrt{5 x - 4})}^{2} & = (x - 2)^{2} \\ 5 x - 4 & = x^{2} - 4 x + 4 \\ 0 & = x^{2} - 9 x + 8 \\ 0 & = (x - 8) (x - 1) \end{aligned}$ ‍

Otrzymaliśmy rozwiązania

x = 1

oraz

x = 8

Krok 2: Szukanie nadmiarowych rozwiązań

W równaniach z pierwiastkami kwadratowymi powinniśmy zawsze szukać nadmiarowych rozwiązań! Robi się to podstawiając znalezione rozwiązanie z powrotem do oryginalnego równania.

Oryginalne równanie to

\sqrt{5 x - 4} = x - 2

Gdy

x = 8

, otrzymujemy:

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ \sqrt{5 (8) - 4} & \overset{?}{=} 8 - 2 \\ \sqrt{36} & \overset{?}{=} 6 \\ 6 & = 6 \end{aligned}$ ‍

Czyli

x = 8

jest rzeczywiście rozwiązaniem.

Gdy

x = 1

, otrzymujemy:

$\begin{aligned} \sqrt{5 x - 4} & = x - 2 \\ \sqrt{5 (1) - 4} & \overset{?}{=} 1 - 2 \\ \sqrt{1} & \overset{?}{=} - 1 \\ 1 & \neq - 1 \end{aligned}$ ‍

Czyli

x = 1

nie jest rozwiązaniem.

Podsumowanie

Sprawdziliśmy, że równanie ma jedno rozwiązanie,

x = 8

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.