Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Dowodzenie własności logarytów

Przyglądamy się bliżej dowodom własności logarytmów: wzorom na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu oraz logarytm liczby podniesionej do potęgi.
W tej lekcji dowiedziemy trzy własności logarytmów: na sumę i różnicę logarytmów o tych samych podstawach i na mnożenie logarytmu przez liczbę. Zanim jednak zaczniemy, przypomnijmy sobie przydatną własność, która pomoże nam w dalszej pracy.
logb(bc)=c
Innymi słowy, logarytm o podstawie b odwraca efekt podnoszenia liczby b do potęgi!
Pamiętaj o tym fakcie, czytając poniższe dowody.

Wzór na logarytm iloczynu: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Zacznijmy o dowiedzenia poprawności specjalnego przypadku tej własności - gdy M=4, N=8, and b=2.
Podstawiając te wartości do logb(MN), widzimy:
log2(48)=log2(2223)22=4 i 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)Ponieważ 2=log2(4) i 3=log2(8)
Mamy więc, że log2(48)=log2(4)+log2(8).
Powyższe rozumowanie sprawdza tylko jeden przypadek, ale możemy je zastosować w dowodzie ogólnym.
Zauważmy, że zapisanie 4 i 8 jako potęg liczby 2 było kluczowym w powyższym rozumowaniu. W ogólności, chcielibyśmy, żeby M i N były potęgami liczby b. By sobie z tym poradzić, możemy zapisać, że M=bx i N=by dla pewnych liczb x i y.
Z definicji, prawdziwym również jest, że logb(M)=x i logb(N)=y.
Mamy teraz:
logb(MN)=logb(bxby)Podstawienie =logb(bx+y)Własności potęg=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)Podstawienie

Wzór na logarytm ilorazu: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Aby udowodnić tę własność logarytmu, trzeba skorzystać z metody podobnej do tej powyżej.
Znowu, jeśli podstawimy M=bx i N=by, stąd wynika, że logb(M)=x i logb(N)=y.
Możemy teraz udowodnić tę regułę na iloraz logarytmów w taki sposób:
logb(MN)=logb(bxby)Podstawienie=logb(bxy)Własności potęg=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)Podstawienie

Wzór na logarytm potęgi: logb(Mp)=plogb(M)

Tym razem we własności mamy tylko M, więc wystarczy przyjąć M=bx, co daje nam logb(M)=x.
Dowód tego wzoru jest przedstawiony poniżej.
logb(Mp)=logb((bx)p)Podstawienie=logb(bxp)Własności potęg=xplogb(bc)=c=logb(M)pPodstawienie=plogb(M)Mnożenie jest przemienne
Drugi sposób polega na użyciu wzoru na logarytm iloczynu.
Na przykład wiemy, że logb(Mp)=logb(MMM), gdzie M mnożymy przez siebie p-krotnie.
Aby udowodnić tę własność, możemy teraz skorzystać ze wzoru na logarytm iloczynu wraz z definicją mnożenia jako wielokrotnego dodawania. Pokazane jest to poniżej.
logb(Mp)=logb(MMM)Definicja potęgi=logb(M)+logb(M)++logb(M)Logarytm iloczynu to suma logartymów=plogb(M)Wielokrotne dodawanie to mnożenie
Udało się! Właśnie udowodniliśmy trzy własności logarytmów!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.