If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:11:38

Transkrypcja filmu video

Powiedzmy, że desperacko potrzebujecie dolara. Przychodzicie do mnie, miejscowego lichwiarza, i mówicie: „Muszę pożyczyć 1$ na rok”. A ja odpowiadam: „Jestem w dobrym humorze, pożyczę ci tego dolara na rok. I pożyczę ci go na niewielki procent, 100% rocznie”. 100%… rocznie. Ile będziecie musieli zapłacić mi za rok? Pierwotny kapitał, który wam pożyczyłem, plus sto procent. Czyli plus drugi dolar. Oczywiście, razem to 2$. Powiecie: „Kurczę, dużo! Mam zwrócić 2 razy więcej, niż pożyczyłem! A jest możliwość, że będę miał pieniądze za pół roku. Co mi pan zaproponuje, panie Lichwiarzu?”. Odpowiadam: „Skoro chcesz zwrócić dług za pół roku, wezmę połowę odsetek. Za połowę czasu”. Pożyczacie jednego dolara, więc za pół roku… za pół roku wezmę od was 50% odsetek. 50% za pół roku. To oczywiście był 1 rok. Ile trzeba by zapłacić? Musielibyście zwrócić pożyczony kapitał, jednego dolara, plus połowę z niego. Plus 0,5, a to oczywiście półtora dolara. To jest równe 1,5$. Zapiszę tak. 1,50$. Powiecie: „To lepiej. Ale co, jeśli wtedy nie będę miał pieniędzy? I jednak będę potrzebował roku?”. Odpowiadam: „Opracowaliśmy system. Jasne, nie masz jeszcze pieniędzy. Zastanowimy się. Pożyczę ci tę potrzebną sumę jeszcze na pół roku. Pożyczymy to. Pożyczymy to jeszcze na 6 miesięcy z tą samą stopą procentową, 50%, na kolejne pół roku. Wtedy będziecie mi winni kapitał 1,50$ plus 50% kapitału, czyli plus 75 centów. Plus 75 centów. I razem mamy 2,25$. To się równa 2,25$. Można inaczej. Jednego dolara w pierwszym okresie mnożymy przez 1,5. Jeśli powiększacie coś o 50%, to mnożycie to przez 1,5. Mając to powiększyć o kolejne 50%, znów mnożycie przez 1,5. Zatem stopa procentowa 50% równa się mnożeniu przez 1,5. Mnożenie przez 1,5. Jeśli zaczniecie od jednego i dwukrotnie pomnożycie to przez 1,5, wyjdzie to samo. 2,25$ to 1 dwukrotnie pomnożone przez 1,5. A takie dwukrotne mnożenie to 1,5 do kwadratu. Tutaj widać to samo. To jest to samo. Sto procent jest równoważne mnożeniu przez dwa. Bo będziemy mnożyć przez 1 plus 1. To jest mnożenie przez 2, więc to można widzieć tak: jako mnożenie 1 razy 1. 1 razy 1 do potęgi… Przepraszam – jeden razy dwa. Jeden razy dwa do potęgi pierwszej, bo robimy to dla jednego okresu - roku. Spytacie, co z tą dwójką? Jeśli ktoś żąda stu procent, to w danym okresie zapłacicie dwa razy tyle. Kapitał plus 100%. Musicie zwrócić dwa razy tyle, ile pożyczyliście. Jeśli ktoś nalicza 50%, w każdym okresie, musicie zapłacić kwotę, którą pożyczyliście, to jedna część, plus 50% z niej. 1,5 razy to, co pożyczyliście. Za każdym razem mnożycie przez 1,5. Żeby zobaczyć, jak to się odnosi do stopy procentowej, można spojrzeć na to… To jest równe jeden razy… część odsetkowa to 1 plus 100% podzielone przez 1 okres, do potęgi 1. Wyda się wam szalone, że zapisuję inaczej to, co jest tu, czyli 1 plus 1. I możemy wciąż to pisać, składając odsetki w różnych okresach. To tutaj możemy zapisać inaczej. To 1 razy 1 plus 100%. Tu wzięliśmy 100% dla roku, i podzieliliśmy to na dwa okresy. Dwa półrocza. Każde ze stopą procentową 50%. 1 plus 100% przez dwa jest tym samym, co 1,5. A potem kapitalizowaliśmy w dwóch okresach. Przedstawię te okresy w różnych kolorach. Napiszę na pomarańczowo. Może już widzicie prawidłowość. Powiedzmy, że mam już pieniądze, co wam się nie podoba. To 2,25$. Więcej niż pierwsze 2$. Pytacie: „A gdyby tak po każdym z 12 miesięcy?”. „Jasne!” – mówię. – „Mamy program”. I po każdych dwunastu miesiącach, a raczej po każdym miesiącu, wezmę od was… wezmę 100% podzielone przez 12. To odsetki. A to jest równe 8 i 1/3 procent. Kiedy trzeba spłacić kapitał plus 8 i 1/3 procent, to będzie to mnożeniem przez 1,08(3). Po miesiącu mielibyście do zapłacenia 1,08(3). Po dwóch miesiącach… nie narysowałem w skali, to więcej niż dwa miesiące, nie w skali… Po dwóch miesiącach musicie to znów pomnożyć. Mnożymy przez 1,08(3). To daje 1,08(3) do kwadratu. Gdyby kontynuować przez 12 miesięcy… Zrobię sobie miejsce. Niech napiszę… 12 miesięcy. 12 miesięcy. Mogłem od razu tak mówić. Tu jeszcze 10 miesięcy. Jakie będą odsetki za rok, jeśli nie zdołamy spłacić kapitału? Wy będziecie dalej pożyczać, a ja będę składał odsetki. Będziecie musieli zapłacić 1,083… To za jeden miesiąc, zatem – do potęgi pierwszej. A to za 12 miesięcy, więc trzeba zapłacić tyle do potęgi 12. Odsetki składane z 12 miesięcy, 8 i 1/3 procent z 12 okresów. A gdybyście chcieli zapisać to w tej formie, byłoby to tym samym, co pierwotny kapitał… Pierwotny kapitał razy jeden plus 100% podzielić przez 12. Podzieliliśmy nasze 100% na 12 okresów i będziemy kapitalizować 12 razy. Podniesiemy to do potęgi 12. A ile będzie równe to? Ta część? Weźmy kalkulator. Wyciągamy kalkulator. Ile to będzie? Możemy liczyć na parę sposobów. To jest 1,08(3). Kalkulator… Sposobów jest kilka. Napiszę tak. Uzyskamy tę samą wartość, tego nie muszę przepisywać. Zrobiłem to, żebyście dostrzegli tu strukturę. 1 plus… 100% to po prostu jeden. 1 podzielić przez 12 do potęgi 12. Do potęgi 12. 2,613. Zaokrąglę. W przybliżeniu… W przybliżeniu 2,613. Bawi was to, zapomnieliście o kłopotach finansowych… Ciekawi was, co się stanie, jeśli będziemy kontynuować. Tu mamy 100% rocznie. Tu zrobiliśmy 50% co pół roku. Tutaj – 1/12 ze 100%, 8 i 1/3 procent co 12 miesięcy, aż osiągniemy tyle. A gdybyśmy robili to co dzień? Codziennie. Gdybym pożyczył 1$ i powiedział: „Za każdy dzień będę brał od ciebie jedną trzysta sześćdziesiątą piątą ze stu procent… 100% podzielić przez 365, i będę kapitalizował 365 razy". Włącza się matematyczna ciekawość. „Ile to będzie? Ile będziemy mieli po roku?”. Będziecie mieć pierwotny kapitał, przesunę w prawo, zrobię miejsce. Będziecie mieli pierwotny kapitał, razy… jeden plus 100% podzielone nie przez 12. Teraz podzieliliśmy 100% na 365 okresów. 365 okresów. Będziemy kapitalizować. Za każdym razem musimy to pomnożyć przez 1 plus 100% przez 365 za każdy dzień, gdy pożyczka nie zostaje spłacona. Do potęgi 365. Do potęgi 365. Powiecie: „No, no, podnieść coś do potęgi 365 – wyjdzie wielka liczba. Ale zaraz: „Nie jest tak źle, bo 100% przez 365 to mała liczba”. To będzie całkiem bliskie jednemu. A 1 możemy podnieść do dowolnej potęgi i nie wyjdzie dużo! Zobaczmy, jak będzie tutaj. Zobaczmy, jak będzie. To jest to samo, co 1 plus… 100% to jest to samo, co 1 podzielić przez 365… 365 do potęgi 365. I uzyskujemy 2,71456. Przesunę. Uzyskujemy… To jest w przybliżeniu równe… W przybliżeniu… To bardzo dokładne przybliżenie. 2,7… Mój kalkulator liczy tylko tyle. 2,7145675 i tak dalej. To naprawdę ciekawe. Bierzemy coraz większe liczby, ale nie wychodzi z tego jakaś gigantyczna wartość. To zbliża się do jakiejś magicznej, mistycznej liczby. I tak właśnie jest. Jeśli będziecie brać coraz większe… Dzieląc 100% przez coraz większe liczby, ale podnosząc to do tej potęgi, zbliżycie się do może najbardziej magicznej i mistycznej z liczb. Mowa o liczbie e. Jest tutaj, na kalkulatorze: funkcja e do potęgi X. Mogę to zrobić; e do potęgi… Podniosę do pierwszej potęgi, zobaczycie, co wyświetli kalkulator. Jak widzicie… Robimy 1 plus 1 przez 365 do potęgi 365 i uzyskujemy… zaczynamy się zbliżać do e. Popróbujcie z coraz większymi liczbami, a będziecie coraz bliżej tej magicznej tajemnicy. Bez oporu zapłacicie lichwiarzowi e dolarów, bo to taka piękna liczba.