Symetria modeli algebraicznych

Ale najpierw odświeżmy sobie naszą pamięć dotyczącą symetrii funkcji.

Teraz rzućmy okiem na przykład.

Energia zgromadzona w sprężynie, $E(x)$‍, w dżulach, jest funkcją deformacji sprężyny, $x$‍, w metrach, w porównaniu do stanu równowagi. Dodatnie $x$‍ oznacza rozciągniętą sprężynę, a ujemne $x$‍ oznacza ściśniętą sprężynę. Wykres $y=E(x)$‍ jest pokazany poniżej.

Czego możemy się nauczyć o kontekście na podstawie symetrii wykresu?

Zastosujmy naszą wiedzę odnośnie symetrii do funkcji $E$‍.

Jeśli odbijesz wykres funkcji $E$‍ względem osi $Y$‍, to wyląduje on na tym samym miejscu.

Zatem funkcja $E$‍ jest parzysta. Oznacza to, że $E(-x)=E(x)$‍ dla wszystkich $x$‍.

Co oznacza, że "$E(-x)=E(x)$‍ dla wszystkich $x$‍" ?

Ponieważ stwierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich $x$‍, możemy powiedzieć, że $E(-x)=E(x)$‍ jest prawdą kiedy $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍, itd. Zacznijmy od zastanowienia się co oznacza to stwierdzenie dla konkretnej wartości $x$‍, w tym przypadku dla $x=2$‍.

Jeśli $x=2$‍, to $E(-2)=E(2)$‍.

Skupienie się na tym, co przedstawia każda zmienna, pomoże nam z tą interpretacją. Pamiętaj, że dodatnie wejście oznacza rozciąganie się sprężyny a ujemne wejście oznacza ściskanie sprężyny, oraz że wartość wyjściowa oznacza energię zgromadzoną w sprężynie.

W tym świetle widzimy, że $E(-2)=E(2)$‍ oznacza, że $\text{sprężyna ściśnięta o }2\text{ metry}$‍ posiada tyle samo $\text{ energii}$‍ co $\text{ta sama sprężyna rozciągnięta o }2\text{ metry}$‍.

Teraz jesteśmy gotowi do ogólnego stwierdzenia, że $E(-x)=E(x)$‍, co jest naszym ostatecznym celem.

Korzystając jako wskazówki z przykładów powyżej, widzimy, że $E(-x)=E(x)$‍ oznacza, że sprężynka ściśnięta o $x$‍ metrów ma tyle samo energii potencjalnej co sprężynka rozciągnięta o $x$‍ metrów.

Innymi słowy: Sprężynka ściśnięta o daną długość ma tyle samo energii co sprężynka rozciągnięta o tę samą długość.

Spróbujmy rozwiązać inny przykład.

Patryk zwykle używa $20$‍ kilogramów drewna dziennie w swoim piecu na drewno żeby utrzymać temperaturę w domu na poziomie $25$‍ stopni Celsjusza. Próbuje dostosować ilość drewna, $w$‍, które spala, żeby zobaczyć jak zmieni się temperatura. Konkretnie, dodatnie $w$‍ oznacza dodanie $w$‍ kilogramów drewna, a ujemne $w$‍ oznacza odjęcie $w$‍ kilogramów drewna. Wykres $y=T(w)$‍ jest pokazany poniżej, $T(w)$‍ oznacza zmianę temperatury w domu Patryka.

Wykres funkcji $T$‍ jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Tak więc funkcja $T$‍ jest funkcją nieparzystą. Algebraicznie oznacza to, że $T(-w)=-T(w)$‍ dla wszystkich $w$‍.

Żeby zinterpretować symetrię w tym przypadku, musimy zamienić zdanie matematyczne “dla każdej wartości $w$‍, $T(-w)=-T(w)$‍” na słowa odpowiadające kontekstowi.

I ponownie, zacznijmy od myślenia o znaczeniu tego zdania dla konkretnej wartości $w$‍. Następnie się cofniemy i będziemy mogli uogólnić.

Skupmy się na tym, że dodatni argument oznacza dodawanie a ujemny argument* oznacza odejmowanie drewna, oraz że wartościami wyjściowymi funkcji są zmiany temperatury.

Widzimy więc, że $T(-1)=-T(1)$‍ oznacza $\text{zmianę temperatury}$‍, która wynika ze spalenia o $1\text{ kilogram drewna mniej}$‍ i jest przeciwieństwem wyniku spalenia o $1\text{ kilogram drewna więcej}$‍.

Możemy teraz uogólnić i zinterpretować zdanie symetrii dla $w$‍ w ogóle.

Innymi słowy: Zwiększenie i zmniejszenie spalanego drewna o określoną ilość będą miały dokładnie odwrotny wpływ na temperaturę w domu.

Ogólnie kiedy interpretujemy znaczenie symetrii wykresu funkcji, pomocne są następujące kroki:

Krok $1$‍: Zdecyduj, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta i określ, co to algebraicznie znaczy.

Krok $2$‍: Zrozum co przedstawia która zmienna na podstawie kontekstu.

Krok $3$‍: Wymyśl zdanie, które będzie używało znaczenia zmiennych i porównywało wartości wyjściowe dla przeciwnych wartości wejściowych.

Malwina uczy się prowadzić nowy rodzaj pojazdu. Prędkość pojazdu zależy od ustawienia pokrętła. Prędkość pojazdu, $V(x)$‍, kilometrach na godzinę, jest funkcją pozycji pokrętła, $x$‍. Zauważ, że $x>0$‍ oznacza, że pokrętło jest obrócone o $x$‍ jednostek zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a $x<0$‍ oznacza, że pokrętło jest obrócone o $x$‍ jednostek przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Wykres $y=V(x)$‍ jest pokazany poniżej.