Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny (artykuł)

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Miejsca zerowe wielomianu

f

odpowiadają przecięciom z osią

O X

wykresu

y = f (x)

Na przykład przypuśćmy, że

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Ponieważ miejsca zerowe

f

- 3

1

, wykres

y = f (x)

będzie miał przecięcia z osią

O X

w punktach

(- 3, 0)

(1, 0)

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Chociaż przecięcia z osią

O X

są ważną cechą wykresu funkcji, potrzebujemy wiedzieć więcej, aby ją dobrze naszkicować.

Poznanie znaku wielomianu między dwoma miejscami zerowymi może nam pomóc uzupełnić niektóre luki.

W tym artykule nauczymy sie jak określić przedziały w których wielomian jest dodatni a w których jest ujemny i połączyć to z wykresem.

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia/ujemna

Znak wielomianu między dowolnymi dwoma kolejnymi miejscami zerowymi jest albo zawsze dodatni albo zawsze ujemny.

[Dlaczego?]

Na przykład rozważmy funkcję

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że

f (x)

jest zawsze...

...ujemna, gdy $- \infty < x < - 1$ ‍.
...dodatnia, gdy $- 1 < x < 1$ ‍.
...ujemna, gdy $1 < x < 3$ ‍.
...dodatnia, gdy $3 < x < \infty$ ‍.

Jednakże nie zawsze funkcja wielomianowa zmienia znak między swoimi miejscami zerowymi.

Na przykład rozważmy funkcję

g (x) = x (x + 2)^{2}

narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że

g (x)

jest zawsze...

...ujemna kiedy $- \infty < x < - 2$ ‍.
...ujemna kiedy $- 2 < x < 0$ ‍.
...dodatnia kiedy $0 < x < \infty$ ‍.

Zauważ, że

g (x)

nie zmienia znaku w pobliżu

x = - 2

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Znajdźmy przedziały, w których wielomian

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

jest dodatni i przedziały, w których wielomian ten jest ujemny.

Miejsca zerowe

f

- 3

1

. Stąd mamy trzy przedziały w których znak

f

jest stały:

Znajdźmy znak

f

dla

- \infty < x < - 3

Wiemy, że

f

będzie albo zawsze dodatnia albo zawsze ujemna w tym przedziale. Możemy określić z którym przypadkiem mamy do czynienia znajdując wartość

f

dla jednego argumentu z tego przedziału. Skoro

- 4

należy do tego przedziału to znajdźmy

f (- 4)

Ponieważ interesuje nas tutaj tylko znak tego wielomianu, nie musimy dokładnie liczyć ile to wynosi:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Określ tylko znak wyniku. \\ = (-) (+) & Minus jeden do kwadratu daje liczbę dodatnią. \\ = - & Minus razy plus daje minus. \end{aligned}

Widzimy tutaj, że

f (- 4)

jest ujemne, więc

f (x)

będzie zawsze ujemne dla

- \infty < x < - 3

Możemy powtórzyć to samo dla pozostałych przedziałów.

[Chciałbym to zobaczyć, proszę!]

Wyniki są podsumowane w tabeli.

Przedział	Wartość konkretnej $f (x)$ ‍ wewnątrz tego przedziału	Znak $f$ ‍ w tym przedziale	Powiązanie z wykresem $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	ujemny	Poniżej osi $X$ ‍-ów
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) > 0$ ‍	dodatni	Powyżej osi $X$ ‍-ów
$1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	positive	Powyżej osi $X$ ‍-ów

Jest to zgodne z wykresem

y = f (x)

Sprawdź, czy rozumiesz

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

ma miejsca zerowe w

x = - 6

x = - 1

Jaki jest znak $g$ ‍ w przedziale $- 6 < x < - 1$ ‍?

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

ma miejsca zerowe w

x = - 5

x = 2

, i

x = 3

Jaki jest znak $h (x)$ ‍ w przedziale $- 5 < x < 2$ ‍?

Wyzwanie

3*) Który z poniższych może być wykresem $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny, na podstawie wykresu

Inny sposób określenia przedziałów, w których wielomian jest dodatni albo ujemny, polega na naszkicowaniu wykresu wielomianu, na podstawie jego zachowania na końcach i krotności jego miejsc zerowych.

Przeczytaj nasz artykuł na temat wykresów wielomianów dla dalszych szczegółów.

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 4

Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny