Główna zawartość

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 4

Lekcja 2: Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Miejsca zerowe wielomianów oraz ich wykresy

Odkryj związek pomiędzy miejscami zerowymi, pierwiastkami i przecięciami z osią X wielomianów. Dowiedz się też, jak radzić sobie z wielokrotnościami miejsc zerowych. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Ucząc się o wielomianach, często możesz usłyszeć takie terminy jak miejsca zerowe, pierwiastki, czynniki czy przecięcia z osią

O X

W tym artykule, zbadamy te cechy wielomianów i zależności między nimi.

Podstawowe własności funkcji wielomianowych

Dla wielomianu

f

i liczby rzeczywistej

k

następujące stwierdzenia są równoważne:

$x = k$ ‍ jest pierwiastkiem albo rozwiązaniem równania $f (x) = 0$ ‍
$k$ ‍ jest miejscem zerowym funkcji $f$ ‍
$(k, 0)$ ‍ jest przecięciem wykresu funkcji $y = f (x)$ ‍ z osią $O X$ ‍
$x - k$ ‍ jest czynnikiem liniowym $f (x)$ ‍

Spróbujmy to zrozumieć korzystając z wielomianu

g (x) = (x - 3) (x + 2)

, który można zapisać jako

g (x) = (x - 3) (x - (- 2))

Po pierwsze widzimy, że czynniki liniowe dla

g (x)

wynoszą

(x - 3)

(x - (- 2))

Jeśli podstawimy

g (x) = 0

i rozwiążemy to równanie ze względu na

x

, dostaniemy

x = 3

albo

x = - 2

. To są rozwiązania albo pierwiastki równania.

Miejsce zerowe funkcji to taka wartość

x

dla której funkcja osiąga wartość

0

. Ponieważ

x = 3

x = - 2

są rozwiązaniami równania

g (x) = 0

, to

3

- 2

są miejscami zerowymi

g

Wreszcie, miejsca przecięcia wykresu funkcji

y = g (x)

z osią

O X

spełniają równanie

0 = g (x)

, które było rozwiązane powyżej. Miejsca przecięcia z osią

O X

tego równania to

(3, 0)

(- 2, 0)

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jakie są miejsca zerowe $f (x) = (x + 4) (x - 7)$ ‍?

2) Wykres funkcji $g$ ‍ przecina oś $X$ ‍-ów w punkcie $(2, 0)$ ‍. Jaki musi być pierwiastek równania $g (x) = 0$ ‍?

x =

3) Miejsca zerowe funkcji $h$ ‍ to $- 1$ ‍ i $3$ ‍. Które z następujących wyrażeń może przedstawiać $h (x)$ ‍?

Miejsca zerowe i ich krotność

Kiedy jakiś czynnik liniowy występuje wielokrotnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki, to wtedy to miejsce zerowe ma krotność.

Na przykład, w wielomianie

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

, liczba

4

jest miejscem zerowym o krotności równej

2

Zauważ, że kiedy rozwiniemy

f (x)

, czynnik

(x - 4)

piszemy

2

razy.

f (x) = (x - 1) (x - 4) (x - 4)

W pewnym sensie, kiedy rozwiążesz równanie

f (x) = 0

, rozwiązanie

x = 4

otrzymasz dwa razy.

\begin{aligned} 0 & = (x - 1) (x - 4) (x - 4) \\ x - 1 = 0 x - 4 = 0 x - 4 = 0 \\ x = 1 x = 4 x = 4 \end{aligned}

Ogólnie, jeśli

x - k

pojawia się

m

razy w rozkładzie na czynniki wielomianu, to

k

jest miejscem zerowym o krotności

m

. Miejsce zerowe o krotności

2

nazywa się dwukrotnym miejscem zerowym.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Które miejsce zerowe funkcji $f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}$ ‍ ma krotność $3$ ‍?

5) Które miejsce zerowe $g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}$ ‍ jest dwukrotnym miejscem zerowym?

Związek z wykresem wielomianu

Krotność miejsc zerowych jest ważna, ponieważ mówi nam o tym, jak się będzie zachowywał wykres tego wielomianu w otoczeniu zera.

Na przykład, zauważ, że wykres

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

zachowuje się inaczej w otoczeniu miejsca zerowego równego

1

niż w otoczeniu miejsca zerowego wynoszącego

4

, które jest dwukrotnym miejscem zerowym.

Dokładniej, podczas gdy wykres funkcji przecina oś

X

-ów w

x = 1

, to tylko dotyka oś

X

-ów w

x = 4

Spójrzmy na wykres funkcji, które ma takie same miejsca zerowe, ale o innej krotności. Na przykład, rozważmy

g (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

. Zauważ, że teraz dla tej funkcji

1

jest dwukrotnym miejscem zerowym, podczas gdy

4

jest jednokrotnym miejscem zerowym.

Teraz widzimy, że wykres funkcji

g

dotyka oś

X

-ów w

x = 1

i przecina oś

X

-ów w

x = 4

W ogólności, jeśli funkcja

f

ma miejsce zerowe o nieparzystej krotności, wykres

y = f (x)

przetnie oś

O X

dla tego argumentu

x

. Jeśli funkcja

f

ma miejsce zerowe o parzystej krotności, wykres funkcji

y = f (x)

dotknie oś

O X

w tym punkcie.

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Czy funkcja przedstawiona na wykresie ma parzystą czy nieparzystą krotność miejsca zerowego $6$ ‍?

7) Który z poniższych jest wykresem funkcji $h (x) = x^{2} (x - 3)$ ‍?

Wyzwanie

8*) Który z poniższych jest wykresem funkcji $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$ ‍?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.