Wprowadzenie do wyrażeń wymiernych (artykuł)

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji poznasz wyrażenia wymierne. Dowiesz się, jak określić, kiedy wyrażenie wymierne jest niezdefiniowane i jak znaleźć jego dziedzinę.

Co to jest wyrażenie wymierne?

Wielomian to wyrażenie, które składa się z sumy wyrazów zawierających całkowite, nieujemne potęgi

x

, np.

3 x^{2} - 6 x - 1

Wyrażenie wymierne to po prostu stosunek dwóch wielomianów. Innymi słowy, to ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami.

Tutaj podano przykłady wyrażeń wymiernych:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Zauważ, że licznik może być liczbą stałą i że wielomiany mogą być różnego stopnia i rożnego rodzaju..

Nieokreślone wartości wyrażeń wymiernych

Rozważmy wyrażenie wymierne postaci

\frac{2 x + 3}{x - 2}

Możemy określić jaka jest wartość tego wyrażenia dla konkretnej wartości

x

. Na przykład, obliczmy wartość wyrażenia dla

x = 1

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Stąd widzimy, że wartość wyrażenia dla

x = 1

wynosi

- 5

Teraz znajdźmy wartość wyrażenia dla

x = 2

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = niezdefiniowane! \end{aligned}$ ‍

Argument

2

powoduje, że mianownik wynosi

0

. Ponieważ dzielenie przez

0

jest niezdefiniowane,

x = 2

nie jest możliwym argumentem tego wyrażenia!

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną dowolnego wyrażenia nazywamy zbiór wszystkich możliwych jego argumentów.

W przypadku wyrażenia wymiernego, argumentem może być każda liczba poza taką, która spowoduje, że mianownik będzie wynosił

0

(ponieważ dzielenie przez

0

nie jest zdefiniowane).

Innymi słowy, dziedzina wyrażenia wymiernego zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, poza takimi dla których mianownik wynosi zero.

Przykład: Znalezienie dziedziny $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Znajdźmy takie wartości x dla których mianownik wynosi zero i wykluczmy je z dziedziny:

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 or x + 4 = 0 & Iloczyn dwóch liczb wynosi zero \\ x = 3 or x = - 4 & Rozwiązać na x \end{aligned}$ ‍

Więc piszemy, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste bez $3$ ‍ i $-4$ ‍, albo po prostu

x \neq 3, - 4

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jaka jest dziedzina $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

2) Jaka jest dziedzina $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

3) Jaka jest dziedzina $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Sprawdź się!

4*) Jaka jest dziedzina $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

5*) Jak jest dziedzina $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Wprowadzenie do wyrażeń wymiernych

Czego nauczysz się w tej lekcji

Co to jest wyrażenie wymierne?

Nieokreślone wartości wyrażeń wymiernych

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Przykład: Znalezienie dziedziny $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Sprawdź się!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Czego nauczysz się w tej lekcji

Co to jest wyrażenie wymierne?

Nieokreślone wartości wyrażeń wymiernych

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Przykład: Znalezienie dziedziny x+1(x−3)(x+4)‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Sprawdź się!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład: Znalezienie dziedziny $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍