Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Lekcja 1: Upraszczanie wspólnych czynników w wyrażeniach wymiernych

Upraszczanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)

Umiesz już podstawy upraszczania wyrażeń wymiernych? Świetnie! Teraz zdobądź więcej doświadczenia z trudniejszymi przykładami.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Wyrażenie wymierne można uznać za uproszczone, jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników.

Jeśli jest to dla ciebie nowość, rzuć okiem na wstęp do upraszczania wyrażeń wymiernych.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Podczas tej lekcji nauczysz się upraszczać bardziej skomplikowane wyrażenia wymierne. Najpierw zobaczysz dwa przykłady, a następnie zajmiemy się rozwiązywaniem zadań!

Przykład 1: Uproszczenie wyrażenia $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Ważne jest, by zauważyć, nawet jeśli licznik jest jednomianem, możemy dokonać rozkładu.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 0$ ‍ oraz że $x \neq 9$ ‍.

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ for $x \neq 0$ ‍

Najważniejsza informacja

W tym przykładzie widzimy, że czasami będziemy musieli rozkładać na czynniki jednomiany, żeby uprościć wyrażenie wymierne.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Uprość $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 0$ ‍ oraz że $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

Zauważ, że warunkiem dla wyrażenia wyjściowego jest $x \neq 0, \frac{3}{4}$ ‍. Uproszczone wyrażenie ma takie same warunki. Nie musimy ograniczać żadnych innych wartości.

Przykład 2: Uproszczenie wyrażenia $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Chociaż może się wydawać, że nie ma wspólnych czynników,

x - 3

3 - x

są ze sobą powiązane. Rzeczywiście, możemy wyłączyć

- 1

przed nawias w liczniku i otrzymać wspólny czynnik

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Przemienność \end{aligned}

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że

x \neq 3

oraz

x \neq - 1

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

Ostatni krok mnożenia licznik przez

- 1

nie jest konieczny, jednak często się tak robi.

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

\frac{1 - x}{x + 1}

dla

x \neq 3

Najważniejsza informacja

Czynniki

x - 3

3 - x

są przeciwne, ponieważ

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

W tym przykładzie widzieliśmy, że te czynniki można skrócić, otrzymując dodatkowy czynnik

- 1

. Innymi słowy, skracając czynniki

x - 3

3 - x

, otrzymujemy

-1

Ogólna zasada jest taka, że skracając czynniki

a - b

b - a

, otrzymuje się

- 1

, jeśli

a \neq b

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Uprość $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Licznik i mianownik są już rozłożone na czynniki.

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 2$ ‍ oraz że $x \neq - 5$ ‍.

Krok 3: Skróć przeciwne wspólne czynniki

Możemy skrócić

(x - 2)

(2 - x)

do czynnika

- 1

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍ for $x \neq 2$ ‍

3) Uprość $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

dla

x \neq

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 0$ ‍ oraz że $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

Krok 3: Skróć przeciwne wspólne czynniki

Możemy skrócić

(3 - 2 x)

(2 x - 3)

do czynnika

- 1

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍ for $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

Spróbuj rozwiązać kilka zadań

4) Uprość $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

$\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x} = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 0$ ‍ oraz że $x \neq \frac{2}{5}$ ‍.

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} & = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} \\ = \frac{1}{5 x - 2} \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że jeśli całkowicie skrócimy licznik, i tak zostanie w nim czynnik równy

1

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$\frac{1}{5 x - 2}$ ‍ for $x \neq 0$ ‍

5) Uprość $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

dla

x \neq

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Zauważ, że w liczniku występuje wspólny czynnik

3 x

. Możemy wyłączyć go przed nawias, a następnie rozłożyć na czynniki otrzymany trójmian.

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 1$ ‍.

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$x (x - 4)$ ‍ for $x \neq 1$ ‍

6) Uprość $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Zauważ, że w liczniku występuje wspólny czynnik

6 x

, a w mianowniku

3 x

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Z postaci iloczynowej wynika, że $x \neq 0$ ‍ oraz że $x \neq 2$ ‍.

Krok 3: Skróć wspólne czynniki i czynniki przeciwne

Zauważ, że możemy zapisać

6 x

jako

2 \cdot 3 x

. Następnie możemy usunąć

3 x

zarówno z licznika, jak i z mianownika.

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Następnie możemy skrócić czynniki przeciwne

(x - 2)

(2 - x)

, otrzymując

- 1

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

$- 2$ ‍ for $x \neq 0, 2$ ‍

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Przykład 1: Uproszczenie wyrażenia 10x32x2−18x‍

Najważniejsza informacja

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: Uproszczenie wyrażenia (3−x)(x−1)(x−3)(x+1)‍

Najważniejsza informacja

Sprawdź, czy rozumiesz

Spróbuj rozwiązać kilka zadań

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: Uproszczenie wyrażenia $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Przykład 2: Uproszczenie wyrażenia $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍