Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Lekcja 8: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych w przypadku, gdy znamy rozkład mianowników na czynniki

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)

Nauczyłeś się już podstaw dodawania/odejmowania wyrażeń wymiernych? Świetnie! Teraz zapoznajmy się z trudniejszymi przykładami.

Co musimy wiedzieć zanim zaczniemy tą lekcję

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów.

Żeby dodać lub odjąć dwa wyrażenia wymierne mające taki sam mianownik, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a potem zapisujemy wynik nad wspólnym mianownikiem.

Kiedy mianowniki nie są takie same, musimy przekształcić je żeby stały się takie same. Innymi słowy, musimy znaleźć wspólny mianownik.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji poćwiczysz dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych z różnymi mianownikami. Będziesz używać najmniejszego wspólnego mianownika jako wspólnego mianownika w tych przykładach i odkrywać, dlaczego warto tak robić.

Rozgrzewka: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍

Żeby odjąć dwa wyrażenia wymierne, każde z nich musi mieć taki sam mianownik!

W tym przykładzie stworzymy wspólny mianownik mnożąc pierwszy ułamek przez

(\frac{x + 1}{x + 1})

i drugi ułamek przez

(\frac{x - 2}{x - 2})

Następnie możemy odjąć liczniki i zapisać wynik ze wspólnym mianownikiem.

\begin{aligned} \frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} \\ = \frac{3}{x - 2} (\frac{x + 1}{x + 1}) - \frac{2}{x + 1} (\frac{x - 2}{x - 2}) & wspólny mianownik \\ = \frac{3 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} \\ = \frac{3 (x + 1) - 2 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1)} & Odejmij \\ = \frac{3 x + 3 - 2 x + 4}{(x - 2) (x + 1)} \\ = \frac{x + 7}{(x - 2) (x + 1)} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) $\frac{5 x}{x + 3} + \frac{4}{x + 2} =$ ‍

Najmniejsze wspólne mianowniki

Ułamki zwykłe liczbowe

Czasami mianowniki dwóch ułamków są różne, a jednak niektóre czynniki mają wspólne.

Spójrzmy na przykład na

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{2}{2}) & Utwórz najmniejszy wspólny mianownik \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że wspólny mianownik użyty w tym przykładnie nie był iloczynem dwóch poszczególnych mianowników

(24)

. Zamiast tego była to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

4

6

(

czyli

12)

Najmniejsza wspólna wielokrotność

(NWW)

dwóch liczb całkowitych to najmniejsza liczba, która jest podzielna przez obie te liczby.

Kiedy dwie liczby całkowite nie mają wspólnego czynnika,

NWW

to po prostu iloczyn tych dwóch liczb. Jednakże jeśli dwie liczby mają wspólny czynnik, to

NWW

nie jest równa iloczynowi tych liczb. Jest tak ponieważ wspólny czynniki pojawia się tylko raz w

NWW

. Na przykład:

$4$ ‍ i $6$ ‍ mają wspólny czynnik $2$ ‍, więc $NWW$ ‍ $4$ ‍ i $6$ ‍ to $12$ ‍, a nie $4 \cdot 6 = 24$ ‍
$6$ ‍ i $15$ ‍ mają wspólny czynnik $3$ ‍, więc $NWW$ ‍ $6$ ‍ i $15$ ‍ to $30$ ‍, a nie $6 \cdot 15 = 90$ ‍

Najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dla dwóch lub więcej ułamków jest nazywana najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Wyrażenia ze zmiennymi

Zastosujmy teraz to rozumowanie do wykonania następującego dodawania:

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

Najpierw znajdź najmniejszy wspólny mianownik:

Więc najmniejszy wspólny mianownik to

(x - 2) (x + 1) (x + 3)

Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{x + 3}{x + 3}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{x - 2}{x - 2}) & Najmniejszy wspólny mianownik \\ = \frac{2 (x + 3)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 3) + 3 (x - 2)}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & Dodaj \\ = \frac{2 x + 6 + 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

2) $\frac{1}{x (x - 6)} + \frac{3}{(x + 1) (x - 6)} =$ ‍

3) $\frac{3 x}{2 (x - 1)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)} =$ ‍

Wyzwanie

4*)

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} =

Zauważ, że w tym przypadku mianowniki nie są w postaci iloczynowej. Musimy więc je przekształcić.

\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x - 4} = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)}

Teraz łatwiej nam będzie znaleźć najmniejszy wspólny mianownik.

Najmniejszy wspólny mianownik to

(x - 1) (x + 1) (x - 4)

Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} \\ = \frac{2}{(x - 1) (x + 1)} (\frac{x - 4}{x - 4}) + \frac{1}{(x - 4) (x + 1)} (\frac{x - 1}{x - 1}) & Najmniejszy wspólny mianownik \\ = \frac{2 (x - 4)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} + \frac{1 (x - 1)}{(x - 4) (x + 1) (x - 1)} \\ = \frac{2 (x - 4) + 1 (x - 1)}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} & Dodaj \\ = \frac{2 x - 8 + x - 1}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \\ = \frac{3 x - 9}{(x - 1) (x + 1) (x - 4)} \end{aligned}

Dlaczego używamy najmniejszego wspólnego mianownika?

Możesz się zastanawiać dlaczego to takie ważne żeby używać tego najmniejszego wspólnego mianownika przy dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń wymiernych.

W końcu nie jest to wymagane, a wystarczająco łatwo używa się innych mianowników z ułamkami liczbowymi.

Na przykład w poniższej tabeli są obliczenia dla

\frac{3}{4} + \frac{1}{6}

przy użyciu dwóch różnych wspólnych mianowników — jedno używa najmniejszego wspólnego mianownika

(12)

a drugie używa iloczynu dwóch mianowników

(24)

Najmniejszy wspólny mianownik $(12)$ ‍	‍Wspólny mianownik $(24)$ ‍
$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{3}{3}) + \frac{1}{6} (\frac{2}{2}) \\ = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{3}{4} + \frac{1}{6} & = \frac{3}{4} (\frac{6}{6}) + \frac{1}{6} (\frac{4}{4}) \\ = \frac{18}{24} + \frac{4}{24} \\ = \frac{22}{24} \\ = \frac{11}{12} \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że używając

24

jako wspólnego mianownika musisz wykonać więcej pracy. Liczby są większe a ułamek w wyniku musi zostać dodatkowo uproszczony.

Stanie się tak jeśli nie użyjesz najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Jednakże przy wyrażeniach wymiernych całe rozwiązywanie jest o wiele trudniejsze, ponieważ liczniki i mianowniki będą wielomianami, a nie liczbami całkowitymi! Będziesz musieć wykonywać działania arytmetyczne z wielomianami wyższego stopnia i rozkładać te wielomiany na czynniki żeby uprościć ułamek.

Przypomnij sobie następujące zadanie.

$\frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)}$ ‍

Załóżmy, że otrzymaliśmy wspólny mianownik mnożąc pierwszy ułamek przez mianownik drugiego i drugi ułamek przez mianownik pierwszego. Zauważ, że jest to wspólny mianownik, ale nie najmniejszy wspólny mianownik.

\begin{aligned} \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} (\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}) + \frac{3}{(x + 1) (x + 3)} (\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} + \frac{3 (x - 2) (x + 1)}{(x + 1)^{2} (x + 3) (x - 2)} \\ = \frac{2 (x + 1) (x + 3) + 3 (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & Dodaj \\ = \frac{2 (x^{2} + 4 x + 3) + 3 (x^{2} - x - 2)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{2 x^{2} + 8 x + 6 + 3 x^{2} - 3 x - 6}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x^{2} + 5 x}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} \\ = \frac{5 x (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)^{2} (x + 3)} & Wyłącz przed nawias 5 x \\ = \frac{5 x}{(x - 2) (x + 1) (x + 3)} & Skróć czynnik x + 1 \end{aligned}

Zauważ, że podczas gdy nadal otrzymasz prawidłową odpowiedź na końcu, to musisz wykonać o wiele więcej pracy!

Całej tej dodatkowej pracy można uniknąć używając najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Co musimy wiedzieć zanim zaczniemy tą lekcję

Czego nauczysz się w tej lekcji

Rozgrzewka: 3x−2−2x+1‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Najmniejsze wspólne mianowniki

Ułamki zwykłe liczbowe

Wyrażenia ze zmiennymi

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyzwanie

Dlaczego używamy najmniejszego wspólnego mianownika?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozgrzewka: $\frac{3}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}$ ‍