If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Lekcja 6: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
Matematyka
Matematyka III
Funkcje wymierne
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Google Classroom
Naucz się znajdowania ilorazu dwóch wyrażeń wymiernych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.
Możemy mnożyć wyrażenia wymierne w bardzo podobny sposób do tego jak mnożymy ułamki liczbowe — rozkładając na czynniki, skracając wspólne czynniki i mnożąc przez siebie liczniki i mianowniki.
Jeśli jeszcze tego nie znasz, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się dzielenia wyrażeń wymiernych.

Dzielenie ułamków zwykłych

Żeby podzielić ułamki liczbowe, mnożymy dzielną (pierwszy ułamek) przez odwrotność dzielnika (drugi ułamek). Na przykład:
=29:83=29⋅38Pomnoˊz˙ przez odwrotnosˊcˊ=23⋅3⋅32⋅4Rozłoˊz˙ na czynniki liczniki i mianowniki=23⋅3⋅32⋅4Skroˊcˊ wspoˊlne czynniki=112Wymnoˊz˙\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\mathbin{:}{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Pomnóż przez odwrotność}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Skróć wspólne czynniki}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Wymnóż}}} \end{aligned}
Możemy użyć też tej metody do dzielenia wyrażeń wymiernych.

Przykład 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, colon, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44:9x10=3x44⋅109xPomnoˊz˙ przez odwrotnosˊcˊ=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xRozłoˊz˙ na czynniki liczniki i mianowniki=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xSkroˊcˊ wspoˊlne czynniki=5x36Wymnoˊz˙\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\mathbin{:}\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Pomnóż przez odwrotność}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Skróć wspólne czynniki}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Wymnóż}}} \end{aligned}
Jak zawsze musimy pomyśleć o wartościach wyłączonych z dziedziny. Kiedy dzielimy dwa wyrażenia wymierne, iloraz jest nieokreślony...
  • dla każdej wartości, dla której jakiekolwiek z początkowych wyrażeń jest nieokreślone,
  • i dla każdej wartości, dla której mianownik będzie równy zero.
Podsumowując, wyrażenie, które jest wynikiem start fraction, A, divided by, B, end fraction, colon, start fraction, C, divided by, D, end fraction jest nieokreślone, jeśli B, equals, 0, C, equals, 0 albo D, equals, 0.
Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona.
  • Dzielna start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x.
  • Dzielnik start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction jest zdefiniowany dla wszystkich wartości xi jest równy zeru dla x, equals, 0.
Możemy więc powiedzieć, że otrzymany iloczyn jest zdefiniowany dla x, does not equal, 0. Nasza ostateczna odpowiedź to:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction dla x, does not equal, 0

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, colon, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
dla x, does not equal
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Przykład 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, colon, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Jak zawsze, mnożymy dzielną przez odwrotność dzielnika. Następnie wyłączamy i skracamy wspólne czynniki, a potem mnożymy. Na koniec zaznaczamy, które wartości są wyłączone z dziedziny.
=x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Pomnoˊz˙ przez odwrotnosˊcˊ=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Rozłoˊz˙ na czynniki=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Skroˊcˊ wspoˊlne czynniki=x−5x+5Wykonaj mnoz˙enie\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\mathbin{:} \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Pomnóż przez odwrotność}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Rozłóż na czynniki}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Skróć wspólne czynniki}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Wykonaj mnożenie}}} \end{aligned}
Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona. Łatwiej użyć tych wyrażeń w postaci rozkładu na czynniki (iloczynowej).
  • Dzielna start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction jest zdefiniowana dla x, does not equal, minus, 5, comma, 2.
  • Dzielnik start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction jest określony dla x, does not equal, 5, i jest równy zero dla x, equals, minus, 3.
Możemy więc stwierdzić, że wynikowy iloraz będzie określony dla x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5.
Oryginalne wyrażenie ma warunek x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3. Nie musimy zapisywać, że x, does not equal, minus, 5, bo wynika to z wyrażenia. To nasza ostateczna odpowiedź:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction dla x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, colon, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Jakie ograniczenia ma dziedzina otrzymanego wyrażenia?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

3) Divide and simplify the result.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, colon, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Jakie ograniczenia ma dziedzina otrzymanego wyrażenia?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.