If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Jednostka 13

Lekcja 6: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
Matematyka
Matematyka III
Funkcje wymierne
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Mnożenie wyrażeń wymiernych

Google Classroom
Naucz się znajdowania iloczynu dwóch wyrażeń wymiernych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.
Możemy uprościć wyrażenia wymierne usuwając wspólne czynniki z licznika i mianownika.
Jeśli jeszcze tego nie znasz, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak mnożyć wyrażenia wymierne.

Mnożenie ułamków zwykłych

Zacznijmy od przypomnienia sobie jak się mnoży zwykłe ułamki liczbowe.
Zastanów się nad tym przykładem:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Rozłoˊz˙ liczniki i mianowniki na czynniki=32⋅2⋅2⋅53⋅3Skroˊcˊ takie same czynniki=56Pomnoˊz˙ na krzyz˙\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Skróć takie same czynniki}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Pomnóż na krzyż}}} \end{aligned}
Podsumowując, mnożenie dwóch ułamków zwykłych wymaga rozłożenia ich na czynniki, pozbycia się wspólnych czynników i pomnożenia na krzyż.

Przykład 1: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Możemy pomnożyć wyrażenia wymierne w ten sam sposób, w jaki mnożymy ułamki zwykłe.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xRozłoˊz˙ na czynniki liczniki i mianowniki(Uwaga x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xSkroˊcˊ wspoˊlne czynniki=x3Wykonaj mnoz˙enie\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Uwaga } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Skróć wspólne czynniki}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Wykonaj mnożenie}}} \end{aligned}
Pamiętaj, że początkowe wyrażenie jest określone dla x, does not equal, 0. Uproszczone wyrażenie musi mieć te same ograniczenia. Z tego powodu musimy zapisać, że x, does not equal, 0.
Zapisujemy uproszczony iloczyn w ten sposób:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction dla x, does not equal, 0

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
dla x, does not equal
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Przykład 2: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

I jeszcze raz wyłączamy i skracamy wszystkie wspólne czynniki, a następnie mnożymy na krzyż. Na koniec zapisujemy wszystkie wartości wyłączone z dziedziny.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Rozłoˊz˙ na czynniki(Zauwaz˙, z˙e x≠−1 i x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Skroˊcˊ takie same czynniki=x+2x+1Pomnoˊz˙ na krzyz˙\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Rozłóż na czynniki}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Zauważ, że }\goldD{x\neq -1}} \text{ i }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Skróć takie same czynniki}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Pomnóż na krzyż}}} \end{aligned}
Początkowe wyrażenie jest określone dla x, does not equal, minus, 1, comma, 3. Uproszczony iloczyn musi mieć te same ograniczenia.
Ogólnie iloczyn dwóch wyrażeń wymiernych jest nieokreślony dla każdej wartości, dla której jakiekolwiek początkowe wyrażenie jest nieokreślone.

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Jakie ograniczenia musi mieć dziedzina otrzymanego wyrażenia?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

3) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Jakie ograniczenia musi mieć dziedzina otrzymanego wyrażenia?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Co dalej?

Jeśli czujesz się już pewnie w mnożeniu, możesz przejść do dzielenia wyrażeń wymiernych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.