Główna zawartość

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Lekcja 6: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Mnożenie wyrażeń wymiernych

Naucz się znajdowania iloczynu dwóch wyrażeń wymiernych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.

Możemy uprościć wyrażenia wymierne usuwając wspólne czynniki z licznika i mianownika.

Jeśli jeszcze tego nie znasz, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak mnożyć wyrażenia wymierne.

Mnożenie ułamków zwykłych

Zacznijmy od przypomnienia sobie jak się mnoży zwykłe ułamki liczbowe.

Zastanów się nad tym przykładem:

\begin{aligned} \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{9} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} & Rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} & Skróć takie same czynniki \\ = \frac{5}{6} & Pomnóż na krzyż \end{aligned}

Podsumowując, mnożenie dwóch ułamków zwykłych wymaga rozłożenia ich na czynniki, pozbycia się wspólnych czynników i pomnożenia na krzyż.

Przykład 1: $\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x}$ ‍

Możemy pomnożyć wyrażenia wymierne w ten sam sposób, w jaki mnożymy ułamki zwykłe.

\begin{aligned} \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x} \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3 \cdot x} & Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki \\ (Uwaga x \neq 0) \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3 \cdot x} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{x}{3} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Pamiętaj, że początkowe wyrażenie jest określone dla

x \neq 0

. Uproszczone wyrażenie musi mieć te same ograniczenia. Z tego powodu musimy zapisać, że

x \neq 0

Zapisujemy uproszczony iloczyn w ten sposób:

\frac{x}{3}

dla

x \neq 0

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\frac{4 x^{6}}{5} \cdot \frac{1}{12 x^{3}} =

dla

x \neq

\begin{aligned} \frac{4 x^{6}}{5} \cdot \frac{1}{12 x^{3}} \\ = \frac{4 \cdot x^{3} \cdot x^{3}}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot x^{3}} & Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki \\ (Uwaga x \neq 0) \\ = \frac{4 \cdot x^{3} \cdot x^{3}}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot x^{3}} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{x^{3}}{15} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Pamiętaj, że początkowe wyrażenie jest określone dla

x \neq 0

. Uproszczone wyrażenie musi mieć te same ograniczenia. Z tego powodu musimy zapisać, że

x \neq 0

Zapisujemy uproszczony iloczyn w ten sposób:

$\frac{x^{3}}{15}$ ‍ dla $x \neq 0$ ‍

Przykład 2: $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3}$ ‍

I jeszcze raz wyłączamy i skracamy wszystkie wspólne czynniki, a następnie mnożymy na krzyż. Na koniec zapisujemy wszystkie wartości wyłączone z dziedziny.

\begin{aligned} \frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3} \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{5}{x - 3} & Rozłóż na czynniki \\ (Zauważ, że x \neq - 1 i x \neq 3) \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{5}{x - 3} & Skróć takie same czynniki \\ = \frac{x + 2}{x + 1} & Pomnóż na krzyż \end{aligned}

Początkowe wyrażenie jest określone dla

x \neq - 1, 3

. Uproszczony iloczyn musi mieć te same ograniczenia.

Ogólnie iloczyn dwóch wyrażeń wymiernych jest nieokreślony dla każdej wartości, dla której jakiekolwiek początkowe wyrażenie jest nieokreślone.

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\frac{5 x^{3}}{5 x + 10} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} =

Jakie ograniczenia musi mieć dziedzina otrzymanego wyrażenia?

3) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{x - 4}{x - 3} =

Jakie ograniczenia musi mieć dziedzina otrzymanego wyrażenia?

Co dalej?

Jeśli czujesz się już pewnie w mnożeniu, możesz przejść do dzielenia wyrażeń wymiernych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Matematyka III

Kurs: Matematyka III > Rozdział 13

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Mnożenie ułamków zwykłych

Przykład 1: 3x22⋅29x‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: x2−x−65x+5⋅5x−3‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Co dalej?

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: $\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x}$ ‍

Przykład 2: $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3}$ ‍