If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

The Hessian

The Hessian is a matrix which organizes all the second partial derivatives of a function.

Hesjan

Hesjan (macierz Hessego) funkcji wielu zmiennych f(x,y,z,), oznaczany przez różnych autorów jako H(f), Hf lub Hf jest to macierz, której wyrazami są wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji:
Hf=[2fx22fxy2fxz2fyx2fy22fyz2fzx2fzy2fz2]
Warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
  • Ta konstrukcja ma sens tylko w przypadku funkcji o wartościach liczbowych.
  • Macierz Hf nie jest zwyczajną macierzą; jest to macierz, której wyrazy są funkcjami. To oznacza, że można ją wyznaczyć dla pewnego punktu (x0,y0,).
    Hf(x0,y0,)=[2fx2(x0,y0,)2fxy(x0,y0,)2fyx(x0,y0,)2fy2(x0,y0,)]
Skoro tak, można by nazwać obiekt Hf funkcją o "wartościach macierzowych". Imponujące, czyż nie?
Jedna ważna kwestia, określenie "hesjan" czasami odnosi się do wyznacznika tej macierzy, a nie do macierzy jako takiej.

Przykład: Wyznaczanie hesjanu

Zagadnienie: Wyznaczyć hesjan funkcji f(x,y)=x32xyy6 w punkcie (1,2).
Rozwiązanie: Będziemy potrzebować wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji f, więc najpierw wyznaczmy obie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:
fx(x,y)=x(x32xyy6)=3x22yfy(x,y)=y(x32xyy6)=2x6y5
Korzystając z tego, możemy wyznaczyć wszystkie cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
fxx(x,y)=x(3x22y)=6xfxy(x,y)=y(3x22y)=2fyx(x,y)=x(2x6y5)=2fyy(x,y)=y(2x6y5)=30y4
W tym przypadku macierz Hessego jest macierzą o wymiarach 2×2, w której wyrazami są wyznaczone wcześniej funkcje.
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x2230y4]
Mieliśmy wykonać obliczenia dla punktu (x,y)=(1,2), więc podstawiamy te wartości:
Hf(1,2)=[6(1)2230(2)4]=[622480]
Zagadnienie nie jest sformułowane jednoznacznie, ponieważ określenie "hesjan" może odnosić się do macierzy lub do jej wyznacznika. To co jest potrzebne, zależy od kontekstu. Na przykład w optymalizacji funkcji wielu zmiennych, używa się "testu pochodnych cząstkowych drugiego rzędu", który wykorzystuje wyznacznik macierzy Hessego. Natomiast w przypadku, gdy hesjan jest wykorzystywany do aproksymacji, używa się macierzy.
Gdybyśmy potrzebowali wyznacznika, oto co byśmy otrzymali:
det([622480])=6(480)(2)(2)=2884

Wykorzystanie

Macierz Hessego przechowuje wszystkie informacje związane z pochodnymi drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych, odgrywa więc często podobną rolę, co zwykła druga pochodna funkcji jednej zmiennej. Hesjan pojawia się przede wszystkim w następujących dwóch zagadnieniach:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.