Główna zawartość
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 3
Lekcja 2: Aproksymacja funkcją kwadratowąThe Hessian
The Hessian is a matrix which organizes all the second partial derivatives of a function.
Kontekst:
Hesjan
Hesjan (macierz Hessego) funkcji wielu zmiennych , oznaczany przez różnych autorów jako , lub jest to macierz, której wyrazami są wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji:
Warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
- Ta konstrukcja ma sens tylko w przypadku funkcji o wartościach liczbowych.
- Macierz
nie jest zwyczajną macierzą; jest to macierz, której wyrazy są funkcjami. To oznacza, że można ją wyznaczyć dla pewnego punktu .
Skoro tak, można by nazwać obiekt funkcją o "wartościach macierzowych". Imponujące, czyż nie?
Jedna ważna kwestia, określenie "hesjan" czasami odnosi się do wyznacznika tej macierzy, a nie do macierzy jako takiej.
Przykład: Wyznaczanie hesjanu
Zagadnienie: Wyznaczyć hesjan funkcji w punkcie .
Rozwiązanie: Będziemy potrzebować wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji , więc najpierw wyznaczmy obie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:
Korzystając z tego, możemy wyznaczyć wszystkie cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
W tym przypadku macierz Hessego jest macierzą o wymiarach , w której wyrazami są wyznaczone wcześniej funkcje.
Mieliśmy wykonać obliczenia dla punktu , więc podstawiamy te wartości:
Zagadnienie nie jest sformułowane jednoznacznie, ponieważ określenie "hesjan" może odnosić się do macierzy lub do jej wyznacznika. To co jest potrzebne, zależy od kontekstu. Na przykład w optymalizacji funkcji wielu zmiennych, używa się "testu pochodnych cząstkowych drugiego rzędu", który wykorzystuje wyznacznik macierzy Hessego. Natomiast w przypadku, gdy hesjan jest wykorzystywany do aproksymacji, używa się macierzy.
Gdybyśmy potrzebowali wyznacznika, oto co byśmy otrzymali:
Wykorzystanie
Macierz Hessego przechowuje wszystkie informacje związane z pochodnymi drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych, odgrywa więc często podobną rolę, co zwykła druga pochodna funkcji jednej zmiennej. Hesjan pojawia się przede wszystkim w następujących dwóch zagadnieniach:
- Aproksymacja funkcji wielu zmiennych funkcją kwadratową, która przypomina przybliżanie funkcji wielomianem Taylora drugiego stopnia.
- Test pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, który przydaje się do wyznaczania maksimum/minimum funkcji wielu zmiennych.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji