If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 3

Lekcja 2: Aproksymacja funkcją kwadratową
Matematyka
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Zastosowania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Aproksymacja funkcją kwadratową
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

The Hessian

Google Classroom
The Hessian is a matrix which organizes all the second partial derivatives of a function.

Kontekst:

Hesjan

Hesjan (macierz Hessego) funkcji wielu zmiennych f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, oznaczany przez różnych autorów jako start bold text, H, end bold text, left parenthesis, f, right parenthesis, start bold text, H, end bold text, f lub start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript jest to macierz, której wyrazami są wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu tej funkcji:
Hf=[∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂x∂z⋯∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂y∂z⋯∂2f∂z∂x∂2f∂z∂y∂2f∂z2⋯⋮⋮⋮⋱]\textbf{H}f = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z}^2} & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
Warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
  • Ta konstrukcja ma sens tylko w przypadku funkcji o wartościach liczbowych.
  • Macierz start bold text, H, end bold text, f nie jest zwyczajną macierzą; jest to macierz, której wyrazy są funkcjami. To oznacza, że można ją wyznaczyć dla pewnego punktu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis.
    Hf(x0,y0,… )=[∂2f∂x2(x0,y0,… )∂2f∂x∂y(x0,y0,… )⋯∂2f∂y∂x(x0,y0,… )∂2f∂y2(x0,y0,… )⋯⋮⋮⋱]\textbf{H}f(x_0, y_0, \dots) = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
Skoro tak, można by nazwać obiekt start bold text, H, end bold text, f funkcją o "wartościach macierzowych". Imponujące, czyż nie?
Jedna ważna kwestia, określenie "hesjan" czasami odnosi się do wyznacznika tej macierzy, a nie do macierzy jako takiej.

Przykład: Wyznaczanie hesjanu

Zagadnienie: Wyznaczyć hesjan funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 2, x, y, minus, y, start superscript, 6, end superscript w punkcie left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis.
Rozwiązanie: Będziemy potrzebować wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji f, więc najpierw wyznaczmy obie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:
fx(x,y)=∂∂x(x3−2xy−y6)=3x2−2yfy(x,y)=∂∂y(x3−2xy−y6)=−2x−6y5\begin{aligned} \quad f_x(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (x^3 - 2xy - y^6) = 3x^2 - 2y \\\\ f_y(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (x^3 - 2xy - y^6) = -2x - 6y^5 \end{aligned}
Korzystając z tego, możemy wyznaczyć wszystkie cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
fxx(x,y)=∂∂x(3x2−2y)=6xfxy(x,y)=∂∂y(3x2−2y)=−2fyx(x,y)=∂∂x(−2x−6y5)=−2fyy(x,y)=∂∂y(−2x−6y5)=−30y4\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 2y) = 6x \\\\ f_{xy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y) = -2 \\\\ f_{yx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (-2x - 6y^5) = -2 \\\\ f_{yy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (-2x - 6y^5) = -30y^4 \end{aligned}
W tym przypadku macierz Hessego jest macierzą o wymiarach 2, times, 2, w której wyrazami są wyznaczone wcześniej funkcje.
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x−2−2−30y4]\textbf{H}f(x, y) = \left[ \begin{array}{cc} f_{xx}(x, y) & f_{yx}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6x & -2 \\ -2 & -30y^4 \end{array} \right]
Mieliśmy wykonać obliczenia dla punktu left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis, więc podstawiamy te wartości:
Hf(1,2)=[6(1)−2−2−30(2)4]=[6−2−2−480]\textbf{H}f(1, 2) = \left[ \begin{array}{cc} 6(1) & -2 \\ -2 & -30(2)^4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right]
Zagadnienie nie jest sformułowane jednoznacznie, ponieważ określenie "hesjan" może odnosić się do macierzy lub do jej wyznacznika. To co jest potrzebne, zależy od kontekstu. Na przykład w optymalizacji funkcji wielu zmiennych, używa się "testu pochodnych cząstkowych drugiego rzędu", który wykorzystuje wyznacznik macierzy Hessego. Natomiast w przypadku, gdy hesjan jest wykorzystywany do aproksymacji, używa się macierzy.
Gdybyśmy potrzebowali wyznacznika, oto co byśmy otrzymali:
det([6−2−2−480])=6(−480)−(−2)(−2)=−2884\text{det}\left( \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right] \right) = 6(-480) - (-2)(-2) = -2884

Wykorzystanie

Macierz Hessego przechowuje wszystkie informacje związane z pochodnymi drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych, odgrywa więc często podobną rolę, co zwykła druga pochodna funkcji jednej zmiennej. Hesjan pojawia się przede wszystkim w następujących dwóch zagadnieniach:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.