Twierdzenie Greena przykład 1

Zobaczmy jak użyć twierdzenie Greena do obliczania konkretnych całek krzywoliniowych Zanim pokaże konkretny przykład chciałbym wyjaśnić jedną ważną sprawę związaną z twierdzeniem Greena Mianowicie we wszystkich przykładach mamy pewien obszar którego wnętrze jest po lewej stronie krzywej po której idziemy We wszystkich przykładach idziemy wzdłuż krzywej odwrotnie do kierunku wskazówek zegara a więc nasz obszar jest po lewej stronie takiego ruchu wzdłuż tej krzywej I to jest właśnie sytuacja gdy możemy użyć twierdzenia Greena Rozważmy całkę krzywoliniową wzdłuż tej krzywej całkę po krzywej zamkniętej oczywiście Wzdłuż krzywej C z fdr. To jest dokładnie równe całce podwójnej po obszarze R z pochodnej cząstkowej z Q po x minus pochodna cząstkowa z P po y Przypomnijmy, że Q i P są składowymi funkcji f gdzie f jest równa P(x,y) razy wersor w kierunku i plus Q(x,y) razy wersor w kierunku j Tak jest w sytuacji gdy obchodzimy obszar R w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara Jeżeli zmienimy kierunek krzywej na przeciwny to dodajemy tutaj minus Jeżeli więc zmienimy kierunek tej strzałki to dodajemy znak minus możemy tak zrobić bo wiemy, że licząc całkę krzywoliniową z pola wektorowego, jeżeli zmienimy kierunek krzywej to całka zmienia znak na przeciwny Pokazaliśmy to jakieś 4 lub 5 filmy temu. a więc mamy twierdzenie Greena w takiej postaci Spróbujmy rozwiązać jakiś konkretny przykład Załóżmy, że mamy całkę krzywoliniową wzdłuż krzywej którą zdefiniujemy za chwilę zaś całka którą liczymy to (x^2-y^2) po dx plus 2xy po dy Nasza krzywa będąca brzegiem obszaru R użyjmy innego koloru nasza krzywa jest brzegiem obszaru składającego się z punktów (x,y) takich, że x jest większe równe 0 i mniejsze równe 1 zaś y jest większe równe 2x do kwadratu i mniejsze równe 2x Narysujmy ten obszar mamy oś y i oś x zobaczmy, x zmienia się od 0 do 1 tutaj mamy zero i tutaj x=1 a więc to są wszystkie wartości x zaś y jest nad 2x do kwadratu i poniżej 2x Oczywiście jeżeli x są dostatecznie duże to 2x do kwadratu jest jest większe, ale dla x mniejszych niż 1 to jest mniejsze niż to Górna granica to 2x, a więc mamy punkt (1,2) i prostą y=2x która wygląda mniej więcej tak piszemy y=2x użyjmy żółtego koloru Dolna krzywa to 2x do kwadratu która wygląda mniej więcej tak Oczywiście obszar R to dokładnie ten obszar mamy więc krzywą która jest brzegiem naszego obszaru i obchodzimy ją w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara Oczywiście możemy zacząć z dowolnego punktu, ale my pójdziemy w ten sposób dochodzimy do tego punktu i wracamy wzdłuż prostej w ten sposób co zgadza się z warunkiem że wnętrze obszaru jest zawsze po lewej stronie obchodzonej krzywej, a więc możemy użyć twierdzenia Greena bez dodatkowej zmiany znaku weźmy więc nasz obszar weźmy więc nasz obszar i policzmy po nim całkę y zmienia sią od y=2x^2 do y=2x całkujemy najpierw po y i teraz x granice całkowania po x to 0 i 1 teraz musimy ustalić co wpisać tutaj. Użyjemy twierdzenia Greena Nasza funkcja f wygląda następująco f od x, y jest równa x do kwadratu minus y do kwadratu wersor i, plus 2xy wersor j. Widzieliśmy to już na kilku filmach A więc te wrażenie tutaj to nasze P(x,y) a wyrażenie tutaj to Q(x,y) a wyrażenie tutaj to Q(x,y) A więc wpisujemy tutaj to co mówi twierdzenie Greena Pochodna cząstkowa z Q po x, bierzemy więc pochodną z tego po x i dostajemy 2y i dostajemy 2y od tego odejmujemy pochodną cząstkową z P po y A więc jeżeli weźmiemy pochodną z tego po y to jest zerem i mamy pochodną po y jest równa -2y po y jest równa -2y właśnie tak A więc mamy 2y minus minus 2y czyli 2y plus 2y zgodnie z reguła - - =+ żeby zaoszczędzić trochę miejsca piszemy po prostu 4y