If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:4:44

Transkrypcja filmu video

Teraz, gdy już odkryliśmy odrobinę twierdzenie Stokesa chcę opowiedzieć o sytuacjach gdzie możemy go użyć. Zobaczycie, że jest to bardzo ogólne twierdzenie. Musimy jednak zastanowić się z jakimi rodzajami powierzchni i z jakimi rodzajami brzegów tych powierzchni mamy do czynienia. W przypadku Twierdzenia Stokesa, potrzebujemy powierzchni, które są kawałkami gładkie. Powierzchnie kawałkami gładkie. Ta powierzchnia tutaj jest właściwie gładka, nie tylko kawałkami gładka. Brzmi jak bardzo wyszukane sformułowanie, ale gładka znaczy posiadająca ciągłe pochodne. Jako, że mówimy o powierzchniach musimy mieć ciągłe pochodne cząstkowe niezależnie od wybranego kierunku. Zatem to oznacza ciągłe pochodne cząstkowe. Innym sposobem myślenia o tym konceptualnie, jest: jeśli wybierzemy kierunek na powierzchni, jeśli powiemy, że idziemy w tym kierunku, to nachylenie w tym kierunku zmienia się stopniowo, nie skacze. Jeśli wybierzemy ten kierunek tutaj nachylenie zmienia się stopniowo. Mamy ciągłą pochodną. A co znaczy "kawałkami"? Cóż, słowo "kawałkami" pozwala nam używać Tw. Stokesa do większej ilości powierzchni. Ponieważ, jeśli mamy powierzchnię, która wygląda jak... Powiedzmy, że wygląda w ten sposób. Powiedzmy, że wygląda jak kubek. To jest górna część kubka. Powiedzmy, że nie ma zamknięcia, tak że widzimy tylna część kubka. To jest bok kubka a to jest jego dno. Gdyby był przezroczysty moglibyśmy widzieć przez nie. Powierzchnia jak ta nie jest całkiem gładka, gdyż ma krawędzie. Te punkty tutaj. Ta krawędź. Jeśli weźmiemy... Powiedzmy, że obieramy ten kierunek i jeśli pójdziemy w tym kierunku po dnie to, jak tylko dotrzemy do krawędzi, nachylenie zmienia się dramatycznie. Wręcz skacze. Więc nachylenie nie jest ciągłe. Nachylenie skacze i zaczynamy iść prosto w górę. Zatem cała ta powierzchnia nie jest gładka. Ale słowo "kawałkami" daje nam wyjście. Mówi nam, że wszystko jest w porządku dopóki możemy rozbić powierzchnię na kawałki, które są gładkie. Możemy oczywiście rozbić ten kubek , robiliśmy to już gdy mierzyliśmy się z całkami powierzchniowymi. Możemy rozbić go na na dolną część, która jest gładką powierzchnią ma ciągłe pochodne. Ściana, która "owija się" wokół jest również gładką powierzchnią. Zatem większość rzeczy jakie spotkacie w tradycyjnym kursie analizy, szczególnie powierzchni, jest kawałkami gładkich. A rzeczy, które nie są są bardzo trudne do zwizualizowania. Mogę sobie wyobrazić te wszystkie poszarpane, przypominające fraktale rzeczy, które ciężko rozbić na kawałki, które są gładkie. To tyle jeśli chodzi o powierzchnie, ale interesuje nas również brzeg powierzchni, aby móc stosować Twierdzenie Stokesa. Brzeg musi być prosty. To znaczy, ze nie może się sam przecinać. Prosty, zamknięty, kawałkami gładki brzeg. Zatem raz jeszcze: prosty i zamknięty. Co oznacza, że to nie jest prosty brzeg. Mimo, że można rozbić go na dwa proste brzegi. Ale coś takiego jak to jest prostym brzegiem. Zatem to jest prosty brzeg. Ponadto musi być zamknięty, co oznacza, że musi tworzyć pętlę. Nie możemy mieć czegoś takiego. Musi się zamykać i tworzyć pętlę aby używać Twierdzenia Stokesa. I raz jeszcze, musi być kawałkami gładki. Teraz jednak mówimy o drodze lub krzywej. A kawałkami gładki oznacza, że możemy rozbić go na kawałki, gdzie pochodna jest ciągła. Tak jak narysowałem ten, ten i ten. Nachylenie zmienia się stopniowo. Zatem tutaj - nachylenie wygląda tak i zmienia się stopniowo w miarę okrążania drogi. Coś co nie jest gładkie, droga, która nie jest gładka może wyglądać w ten sposób. A miejsca, w których nie jest gładka to krawędzie. Nie jest gładka tutaj, tutaj i tutaj. Ale musi być prosta i zamknięta, a ta jest prosta i zamknięta. I nie jest gładka, lecz kawałkami gładka. Możemy ją rozbić na ten fragment, który jest gładki. Ten fragment jest gładki, ten fragment jest gładki i ten fragment jest gładki. Robiliśmy to gdy obliczaliśmy całki krzywoliniowe. Rozbijaliśmy to na gładkie fragmenty, których można użyć do obliczenia całki krzywoliniowej. Zatem jeśli masz brzeg, gdzie... Jeśli masz powierzchnię kawałkami gładką i jej brzeg jest krzywą zamkniętą, prostą (krzywa Jordana) to możesz używać Twierdzenia Stokesa.