Stokes example part 2

Teraz, gdy już zapisaliśmy naszą całkę powierzchniową możemy spróbować sparametryzować powierzchnię. Jednym sposobem na to jest: chcemy aby nasze x i y przyjmowały wszystkie wartość wewnątrz koła jednostkowego, które zacieniowuję tutaj. I aby nasze "z" było funkcją y. Możemy to wyrazić za pomocą tego równania: z = 2 - y Wtedy możemy wyliczyć jak wysoko trzeba iść aby dostać z. Robiąc to, będziemy w stanie otrzymać dowolny punkt leżący na naszej płaszczyźnie. Zastanówmy się teraz jak możemy otrzymać każdą wartość x i y wewnątrz koła jednostkowego. Skupmy się na płaszczyźnie xy. Obróciliśmy ją trochę, żeby wyglądała bardziej tradycyjnie. Zatem to jest moja oś X, a moja oś Y będzie wyglądać w ten sposób. Narysuję to trochę inaczej. To jest moja oś Y. I gdybym miał narysować koło jednostkowe, tą jakby podstawę tej bryły, lub chociaż to gdzie ona przecina płaszczyznę xy. Tak właściwie to to będzie ciągnęło się w dół, gdybym chciał narysować x^2 + y^2 = 1. Ale jeśli narysuję to, gdzie przecina się z płaszczyzną xy, dostaniemy koło jednostkowe. Zatem narysuję. To najlepsze koło jakie potrafię narysować. Dostajemy koło jednostkowe i musimy pomyśleć o użyciu parametrów, żeby dostać dostać wszystkie punkty wewnątrz koła jednostkowego. Aby to zrobić, wprowadzę jeden parametr, który jest właściwie kątem utworzonym z osią X. Nazwę ten parametr theta. Zatem theta to kąt utworzony z osią X. Zatem theta będzie zamiatało rzeczy dookoła. Zatem theta biegnie od 0 do 2pi. Zatem theta przyjmuje wartości od 0 do 2pi. Jeśli ustalimy promień w jakimś punkcie, powiedzmy promień 1. To dostaniemy wszystkie punkty na okręgu jednostkowym. Ale my chcemy także wszystkie punkty wewnątrz. Musimy zatem również zmieniać promień. Wprowadźmy inny parametr. Nazwijmy go r. Będzie to promień. Dla każdego danego r, jeśli będziemy zmieniać theta zatoczymy cały okrąg o tym promieniu. I jeśli zmienimy promień odrobinę zatoczymy inny okrąg. Jeśli będziemy zmieniać promień od 0 do 1 dostaniemy wszystkie okręgi, które zapełnią cały ten obszar. Zatem promień będzie między 0 a 1. Innym sposobem myślenia o tym jest: jeśli dla dowolnego danego theta zaczniemy zmieniać promień dostaniemy wszystkie punkty na tej linii. I jeśli wtedy zmienimy theta dostaniemy całe koło. Więc obojętnie jak o tym myślisz. Mając to, zdefiniujmy x i y w tych terminach. Moglibyśmy powiedzieć, że x jest równe r*cos(theta) To będzie ta składowa, będzie ona równa r*cos(theta). A składowa y (to tylko prosta trygonometria) będzie równa r*sin(theta). A składowa z, jak już powiedzieliśmy, z może być wyrażone jako funkcja od y. Możemy to tutaj przepisać jako: z = 2 - y To nam powie jak wysoko należy iść aby wylądować na tej płaszczyźnie. Zatem jeśli z = 2 - y oraz y = r*sin(theta) możemy to przepisać jako z = 2 - r*sin(theta) Zatem mamy gotowe. Oto nasza parametryzacja. Jeśli chcielibyśmy zapisać to jako wektor położenia z dwoma parametrami, nazwę go "s" r już użyłem. s, czyli nasza powierzchnia będzie sparametryzowana przy pomocy r i theta. Możemy zapisać to jako r<i>cos(theta)</i>i + r<i>sin(theta)</i>j + (2-r<i>sin(theta))</i>k.