Stokes' theorem intuition

Narysowałem kilka wersji tej samej powierzchni S, pięć kopii tej samej powierzchni. Chcę roważyć wartość całki krzywoliniowej, niech napiszę, wartość całki z F mnożone skalarnie z dr, gdzie F jest polem wektorowym, które narysowałem na różowo na każdym z rysunków. Jest ono oczywiście inne na każdym z tych rysunków. Jedyna część pola wektorowego jaką narysowałem, to ta, która przechodzi przez powierzchnię. Mógłbym narysować tą część pola wektorowego, która jest poza powierzchnią, ale będziemy rozważać jedynie to, co dzieje się na samej powierzchni Zatem nasze pole wektorowe mogłoby być równie dobrze zdefiniowane w całej przestrzeni trójwymiarowej. Są to oczywiście różne pola wektorowe, co widać, po sposobie w jaki zostały narysowane. I brzeg, na którym nam zależy, pamiętajcie, będziemy obliczać całkę krzywoliniową, więc krzywa droga ma znaczenie. Droga, którą roważamy, to brzeg powierzchni zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. To będzie to tutaj. Brzeg zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to jest to po czym będziemy całkować F razy (skalarnie) dr. To tutaj, narysuję orientację. Będzie ona przeciwna do do ruchu wskazówek zegara. Zrobimy to w każdej z naszych sytuacji, dla każdej powierzchni i dla każdego F. Chcę się zastanowić jak wartość F razy (skalarnie) dr może się zmieniać w zależności od przykładu. I oczywiście, jedyną róznicą między tymi sytuacjami jest zachowanie pola wektorowego F. Rozważmy najpierw ten pierwszy przykład. W tym fragmencie brzegu, tym tutaj na dole nasze pole wektorowe ma ten sam kierunek co droga (krzywa zorientowana), czyli brzeg powierzchni. Zatem dostaniemy tutaj dodatni wynik F razy (skalarnie) dr, i będziemy je sumować gdyż obliczamy całkę. Dalej, gdy idziemy wzdłuż krzywej, tak jakby pod górkę, o tutaj widzimy, że nasze pole wektorowe jest ortogonalne. Jest prostopadłe. Prostopadłe do naszego brzegu. Więc nasze F razy (skalarnie) dr nie dam nam żadnej wartości. W tej części brzegu F razy dr będzie równe 0. Więc nic stąd nie otrzymamy. Właściwie to napiszę "nic". Tutaj nic nie dostajemy Może napiszę 0. Tutaj dostajemy 0 A tutaj wyżej, gdy jesteśmy w tej części brzegu, nasze pole wektorowe jest skierowane w dokładnie przeciwnym kierunku do naszej drogi. W tum miejscu, nasza droga biegnie z prawej strony do lewej, podczas gdy pole wektorowe z lewej do prawej. Otrzymamy zatem ujemne wartości. Otrzymamy tutaj ujemne wartości i będą się sumowały do jakiejś rozsądnej ujemnej wartości. I jeśli pole wektorowe jest stałe, ja mniej więcej tak je narysowałem i jeśli ta długość jest równa tej długości to te dwie wartości się zniosą. Jeśli dodamy tą dodatnią sumę do tej ujemnej sumy, otrzymamy 0. I znowu, jeśli znowu skierujemy się w dół pole wektorowe jest prostopadłe do naszej drogi, więc otrzymamy 0. Więc bazując na sposobie w jaki ją opisałem, całka krzywoliniowa z F razy (skalarnie) dr dla tej wersji F w tym tutaj przykładzie może się wyzerować. Jeśli zrobimy takie założenia jak zrobiłem To może być równe 0. Więc w tym przykładzie całka z F razy dr może być równa 0. Zastanówmy się teraz co dzieje się w tej sytuacji. Tutaj, tak jak poprzednio, jeśli idziemy wzdłuż dolnej części pole wektorowe ma dokładnie ten sam kierunek co nasza droga, zatem otrzymamy dodatnią wartość. Jeśli pójdziemy w górę, pole wektorowe jest prostopadłe do drogi więc nic z tego nie otrzymamy. Więc wzdłuż tej części dostaniemy 0. Ale potem tutaj, nasze pole wektorowe zmienia kierunek i znowu ma ten sam kierunek co nasza droga, więc dostaniemy kolejną dodatnią wartość w tym miejscu. I jak pójdziemy tutaj w dół nic nie dostaniemy, ponieważ nasze pole wektorowe jest prostopadłe do drogi. Więc otrzymamy 0. Ale zauważcie, teraz te dwa końce się nie zniosą nawzajem Dostaniemy dodatnią wartość. Dostaniemy dodatnią wartosć. Jaka była różnica między tymi dwiema wersjami F, tego pola wektorowego i tego pola wektorowego tutaj? Cóż, to pole wektorowe zmienia kierunki tak, że górna część nie zniosła się z tą dolną. Inaczej można o tym myśleć, że miało pewną rotację. Mamy tu do czynienia z pewnym "kręceniem się". Gdyby to opisywało prędkość płynu i gdyby położyć tutaj patyk na powierchni, kij zacząłby się kręcić. Ma pewien spin lub rotację, jakkolwiek to nazwiemy. To pole tutaj, nie ma rotacji. Jeśli położymy tutaj patyk popłynie on po prostu razem z cieczą. Ale sam patyk nie będzie się kręcił. Więc dostajemy dodatnią wartość całki w tej sytuacji. I mamy również, tak przynajmniej wygląda, dodatnią rotację. Zastanówmy się teraz nad tym. W tej sytuacji, jeśli pójdziemy wzdłuż tej części naszego brzegu nasze pole wektorowe ma ten sam kierunek, zatem otrzymamy dodatnie wartości. Teraz jeśli pójdziemy w górę, nasze pole wektorowe F jest również skierowane w tym kierunku, więc dostaniemy kolejne dodatnie wartości. I jeśli teraz pójdziemy w tym kierunku nasze pole wektorowe F ciągle ma ten sam kierunek co nasza droga, dostaniemy więcej dodatnich wartości. I jeśli pójdziemy w dół, znów nasze pole wektorowe F ma ten sam kierunek co droga, więc dostaniemy jeszcze więcej dodatnich wartości. Zatem w tej sytuacji, wartość całki krzywoliniowej jest "jeszcze bardziej dodatnia". I jak widzimy pole wektorowe na tej powierzchni (i pamiętajcie, że pole wektorowe może robić różne dziwne rzeczy poza tą powierzchnią) Właściwie to narysuję je tym samym różowym kolorem. Może ono robić różne dziwaczne rzeczy poza tą powierzchnią ale to co nas obchodzi to jest to, co dzieje się na powierzchni. I ponieważ to pole wektorowe, myślę że można tak powiedzieć, rotuje albo kręci się na powierzchni. Pozwala mu to kierować się wzdłuż brzegu, we wszystkich punktach i otrzymujemy dodatnią wartość tej całki krzywoliniowej. Więc mamy większą rotację. Więc "bardziej skręcone" pole daje większą (dodatnią) wartość całki. Zastanówmy się teraz, co dzieje się w tej sytuacji. Ta tutaj sytuacja. Nasze pole wektorowe ma ten sam kierunek co nasza droga. Zatem otrzymujemy dodatnie wartości. Tak samo jak w pierwszej sytuacji, gdy idziemy pod górkę w ten sposób lub w górę po powierzchni, nasze pole wektorowe jest prostopadłe do powierzchni, zatem nie dodamy nic do naszej całki krzywoliniowej. Jeśli pójdziemy wzdłuż tej górnej części, pierwszy fragment górnej częći, o, tutaj, pole wektorowe będzie miało przeciwny do nas kierunek. Więc tutaj dostajemy coś ujemnego. Kierunek jest dokładnie odwrotny do kierunku naszej drogi. I potem, zanim dojdziemy do końca pole wektorowe zmienia kierunek i dostajemy odrobinę dodatniej wartości w tym miejsu, gdyż część tego ma ten sam kierunek. Następnie wracamy w dół. Gdy wracamy w dół, nic się nie dodaje, ponieważ nasze pole wektorowe jest prostopadłe do naszej drogi. Zatem duża różnica między tym przypadkiem, a tym przypadkiem tutaj polega na... Cóż... Właściwie mógłbym porównać te dwa albo te dwa. Ale różnica między tym a tym polega na tym, że przynajmniej ta cześć pola wektorowego zmieniła kierunek. Więc dostajemy tutaj trochę dodatniej wartości. I jednym ze sposobów myślenia o tym jest: to tutaj będzie "mniej dodatnie" niż to jeśli weźmiemy całkę krzywoliniową, ale "bardziej dodatnie" niż to. Inny sposób myślenia o tym: Tutaj mamy troszkę rotacji Nasze pole wektorowe zmieniło kierunek w pobliżu tego miejsca lub, myślę że można tak powiedzieć, kręci się wokół tego miejsca. Więc jeśli położymy tam patyk, gdyby to była woda, zacznie się kręcić Ale wszędzie indziej, nie ma zbyt dużo rotacji. Więc jest trochę rotacji, ale na małym obszarze powierzchni. Podczas gdy tutaj, mamy rotację na większym obszarze powierzchni. Więc tutaj jest więcej rotacji i większa wartość całki. Tutaj rotacja występuje na mniejszym obszarze powierzchni i otrzymujemy mniejszą wartość całki krzywoliniowej. Teraz zastanówmy się nad tym tutaj. To pole wektorowe na powierzchni ma trochę rotacji Rotacja występuje tutaj Jeśli położy się kij na wodzie, jeśli rozumiemy to jako prędkość wody, kij zacznie się kręcić. Więc występuje rotacja. Ale potem zmienia ono znów swój kierunek więc tutaj również mamy trochę rotacji i jest to rotacja w przeciwnym kierunku. Więc do pewnego stopnia, gdyby to wszystko zsumować może wszystko by się znisło. I to ma sens. Ma sen, żeby się zniosło ponieważ gdy obliczasz całkę krzywoliniową wokół całości, tak jak w pierwszej sytuacji, wygląda, że wyjdzie 0. Chociaż występuje trochę rotacji, to rotacje kasują się nawzajem. W tej górnej części powierzchni pole wektorowe ma ten sam kierunek co w dolnej części powierzchni. Więc gdyby obliczyć całkę krzywoliniową, ta samą o której rozmawiamy, tak jak w pierwszej sytuacji byłaby ona dodatnia tu na dole oraz równa 0 gdy idziemy w górę krzywej. Potem, gdy pójdziemy tutaj, pole wektorowe zmienia kierunek 2 razy, więc wciąż ma przeciwny kierunek do naszej drogi tak jak w pierwszej sytuacji. Więc tutaj wartość byłaby ujemna. A gdy pójdziemy tutaj, będzie równa 0. Więc ten przypadek również wygląda jak ten pierwszy, ponieważ zasadniczo roracja kasuje się. Zmieniliśmy kierunek 2 razy. Więc tutaj, nasza całka może być równa 0. Powodem, dla którego omówiłem te przykłady było wyrobienie intuicji dlaczego to może mieć sens: dlaczego jeśli mamy więcej rotacji na większym obszarze powierzchni to wartość całki krzywoliniowej może być większa. Mam nadzieję, że poczujecie intuicyjnie, że być może, ale tylko być może, wartość tej całki krzywoliniowej z F razy dr wzdłuż brzegu, tego brzegu, który jest zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (o samej orientacji porozmawiamy później w kolejnych filmach), że być może jest równa sumie rotacji na powierzchni. Zastanówmy się nad tym. To może być całka powierzchniowa. więc przechodzimy przez powierzchnię i to co nas interesuje to rotacja pola F. Interesuje nas rotacja F, lecz nie w ogólności, ponieważ F może rotować w kierunku, który wskazuje poza powierzchnię. Interesuje nas jak bardzo rotuje na powierzchni. To co chcemy zrobić to wziąć rotację F i przemnożyć skalarnie z wektorem normalnym w każdym punkcie powierzchni a potem pomnożyć to przez samą powierzchnię. To jakby powiedzieć, że im więcej powierzchni gdzie występuje rotacja, tym większa może być wartość całki. Widzieliśmy to gdy porównywaliśmy te trzy przykłady. Innym sposobem zapisania tego wszystkiego jest całka powierzchniowa, niech zapiszę powierzchnię w tym samym brązowym kolorze, całka powierzchniowa z rotacji F, która będzie po prostu wektorem, który mówi nam jak bardzo się obracamy w ogólności, ale nam zależy na tym, jak bardzo się kręcimy na samej powierzchni. Więc mnożymy to skalarnie z wektorem normalnym. Innym sposobem na zapisanie tego wszystkiego, jest napisanie: razy (skalarnie) ds. Więc zasadniczo, jeśli obliczymy sumę po całej powierzchni tego jak bardzo się kręcimy, jak bardzo kręcimy się na tej powierzchni, wtedy być może to będzie równe wartości całki krzywoliniowej po brzegu tej powierzchni. I okazuje się, że w tym przypadku, czego oczywiście nie udowodniłem, lecz mam nadzieję, że macie już pewną intuicję dlaczego to ma sens. I ten pomysł, że to jest równe temu nazywa się Twierdzeniem Stokesa, którym zajmiemy się w kolejnych filmach.