Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4
Lekcja 6: Całki podwójne (artykuły)Całki podwójne
Całki podwójne są metodą całkowania po dwuwymiarowym obszarze. Służą między innymi do wyznaczania objętości brył.
Do czego zmierzamy
- Dla nieujemnej funkcji dwóch zmiennych
, można wyznaczyć objętość bryły zawartej pomiędzy wykresem tej funkcji i prostokątnym obszarem położonym w płaszczyźnie , obliczając całkę z całki:
Nazywamy to całką podwójną.
- Możemy obliczyć tę samą objętość, zmieniając kolejność całkowania:
Obliczenia będą przebiegać odmiennie, ale otrzymamy ten sam wynik.
Objętość bryły zawartej pod wykresem funkcji
Rozważmy funkcję
Wykres tej funkcji wygląda następująco:
Rozważmy teraz prostokąt w płaszczyźnie zdefiniowany nierównościami:
i
Ile wynosi objętość bryły zawartej pomiędzy tym prostokątem i wykresem funkcji ?
Krótkie przypomnienie wiadomości dotyczących pola obszaru pod krzywą
Z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej wiemy, że za pomocą całki można wyznaczyć pole obszaru pod krzywą. Na przykład pole obszaru pod wykresem funkcji , zawartego pomiędzy i , można zapisać następująco:
Żeby zrozumieć sens tego zapisu, można wyobrazić sobie dodawanie pól nieskończenie wielu, nieskończenie wąskich prostokątów, rozciągających się pod krzywą w określonym obszarze:
Dla każdego z prostokątów, wartość funkcji może być interpretowana jako jego wysokość, a jako nieskończenie mała szerokość. będzie wówczas potężną maszyną sumującą, która jest w stanie obsłużyć nieskończenie wiele, nieskończenie małych składników. Możemy to zapisać w ogólniejszej postaci:
Krojenie bryły na plasterki
Możemy postąpić podobnie, żeby znaleźć rozwiązanie naszego zagadnienia dotyczącego objętości. Oto nasza strategia:
- Podzielimy bryłę na plasterki o dwuwymiarowej powierzchni
- Obliczymy pola powierzchni tych plasterków
- Dodamy do siebie objętości plasterków, żeby otrzymać objętość całej bryły.
Wyobraźmy sobie dwuwymiarowe plasterki bryły pod wykresem funkcji . W szczególności weźmy pod uwagę wszystkie plasterki charakteryzujące się stałą wartością :
Rozważmy pewien pojedynczy plasterek, na przykład dla . Pole powierzchni tego plasterka można wyznaczyć za pomocą całki:
Bardziej ogólnie, pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości , można zapisać jako:
Zauważ, że całkujemy względem zmiennej , na co wskazuje symbol , więc " " w tej całce reprezentuje stałą.
Kiedy obliczymy tę całkę, otrzymamy jakieś wyrażenie zawierające zmienną .
Zobacz jak to działa: Oblicz całkę, żeby wyznaczyć pola powierzchni plasterków odpowiadających ustalonej wartości:
Kiedy podstawisz konkretną wartość do tego wyrażenia, na przykład , otrzymasz pole powierzchni przekroju bryły odpowiadającego wybranej wartości .
Now if we multiply the area of each one of these slices by , a tiny change in the -direction, we will get a tiny slice of volume. For example, might represent the area of a slice, but represents the infinitesimal volume of that slice.
Using yet another integral, this time with respect to , we can effectively sum up all those tiny volume slices to get the total volume under the surface:
Zobacz jak to działa: Co otrzymasz, jeśli podstawisz wyznaczone wcześniej wyrażeniei obliczysz drugą całkę?
Dwie możliwości wyboru kierunku
Objętość, którą chcemy obliczyć, może być również wyznaczona w inny sposób. Zamiast plasterków, które odpowiadają stałym wartościom zmiennej , możemy wziąć plasterki, które odpowiadają stałym wartościom zmiennej i dodać do siebie ich objętości.
Pytanie kontrolne: Która z poniższych całek przedstawia pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości zmiennej ?
Wyobraź sobie, że mnożysz każde z tych pól przez - wielkość, która odpowiada niewielkiemu krokowi w kierunku wyznaczonym przez oś , czyli w kierunku prostopadłym do plasterka. W ten sposób uzyskujemy coś w rodzaju nieskończenie małej objętości. Dodając te nieskończenie małe objętości dla zmieniającego się w zakresie od do , otrzymamy objętość bryły pod wykresem.
Pytanie kontrolne: Która z poniższych całek podwójnych wyraża objętość bryły pod wykresem naszej funkcji
na obszarze określonym nierównościami
i ?
Zobacz, jak to działa!: Oblicz całkę podwójną, żeby wyznaczyć objętość bryły pod wykresem funkcji. (Wyznaczyłeś już oczywiście tę objętość w poprzedniej sekcji, ale warto zobaczyć, jak to obliczyć innym sposobem).
Na szczęście w wyniku tych obliczeń dostajemy tę samą objętość, którą otrzymaliśmy w poprzedniej sekcji. Gdyby tak nie wyszło, to musiało by być coś nie tak w naszym rozumowaniu.
Krótko mówiąc, kolejność całkowania nie ma znaczenia. To może się wydawać oczywiste, ze względu na to, że obie metody służą do wyznaczenia tej samej objętości. Z drugiej strony, oba podejścia wymagają zupełnie różnych obliczeń, więc fakt, że wychodzi ten sam wynik, okazuje się być użytecznym matematycznym trikiem.
Na przykład niektóre dowody w teorii prawdopodobieństwa opierają się na uzasadnieniu, że dwie wielkości są równe, poprzez wykazanie, że te wielkości uzyskuje się za pomocą tej samej całki podwójnej, tylko obliczonej w inny sposób.
Inny przykład
Rozważmy funkcję
Ile wynosi objętość bryły pod wykresem tej funkcji na obszarze określonym nierównościami
i
?
Oto jak wygląda ta bryła:
Pytanie kontrolne: Wyobraź sobie, że bryła pod wykresem funkcji została przecięta płaszczyzną o równaniu . Która z poniższych całek odpowiada polu powierzchni tego przecięcia?
Ćwiczenie: Co otrzymasz obliczając tę całkę przy dowolnej wartości , zamiast tylko dla ?
Ćwiczenie: Wyrażenie, które właśnie otrzymałeś, odpowiada polu powierzchni przekroju bryły otrzymanego dla ustalonej wartości . Wykorzystaj to wyrażenie do zapisania całki odpowiadającej objętości bryły pod wykresem funkcji i oblicz tę całkę.
Podsumowanie
- Dla nieujemnej funkcji dwóch zmiennych
, można wyznaczyć objętość bryły zawartej pomiędzy wykresem tej funkcji i prostokątnym obszarem położonym w płaszczyźnie , obliczając całkę z całki:
Nazywamy to całką podwójną.
- Możemy obliczyć tę samą objętość, zmieniając kolejność całkowania:
Obliczenia będą przebiegać odmiennie, ale otrzymamy ten sam wynik.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji