Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 6: Całki podwójne (artykuły)

Całka podwójna po obszarze o dowolnym kształcie

Całka podwójna po obszarze, który nie ma kształtu prostokąta, wymaga wykonania delikatnej operacji wyznaczenia granic całkowania. Z tego artykułu dowiesz się, jak to zrobić i zapoznasz się z kilkoma przykładami. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu wolontariuszy.

Kontekst

Całki podwójne

Do czego zmierzamy

Żeby obliczyć całkę podwójną po obszarze, który leży w płaszczyźnie $O X Y$ ‍ i nie ma kształtu prostokąta, musisz wyrazić granice całkowania wewnętrznej całki jako funkcje zmiennej, względem której odbywa się całkowanie w zewnętrznej całce.
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{to jest jakaś funkcja zmiennej y}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍
lub alternatywnie
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{to jest jakaś funkcja zmiennej x}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

Problem z obszarem, który nie jest prostokątny

Rozważmy funkcję

$f (x, y) = x y^{2}$ ‍

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Wyznaczymy objętość bryły zawartej pod fragmentem tego wykresu. Inaczej niż w poprzednim artykule, bryła nie będzie leżała nad prostokątnym obszarem znajdującym się w płaszczyźnie

O X Y

. Zamiast tego wyznaczymy objętość bryły, której podstawą będzie trójkąt. Konkretnie rzecz ujmując, będzie trójkąt przedstawiony na poniższym rysunku.

To jest trójkąt równoramienny. Jedno z jego ramion łączy punkty

(0, 0)

(2, 0)

na osi

X

, a drugie łączy punkty

(2, 0)

(2, 2)

. Bryła zawarta pomiędzy tym trójkątem i wykresem funkcji

f (x, y) = x y^{2}

wygląda następująco:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

To zagadnienie jest podobne do problemu, który przedstawiłem w poprzednim artykule, wprowadzającym całki podwójne. I okazuje się, że sposób rozwiązania jest też podobny.

Za pomocą całki wyznacz wzór na pola powierzchni plasterków.
Użyj drugiej całki, żeby dodać do siebie objętości nieskończenie wielu plasterków i uzyskać całą objętość bryły.

Tym razem wyznaczenie granic całkowania jest trudniejsze. Rozważmy przykładowo plasterki bryły które odpowiadają stałym wartościom zmiennej

x

. Poniższa animacja przedstawia wygląd tych plasterków w zależności od ustalonej wartości zmiennej

x

w zakresie od

0

2

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Wysokość w każdym takim plasterku zmienia się w zależności od wartości funkcji

f (x, y) = x y^{2}

. Ale długość podstawy plasterka również się zmienia. Na przykład, gdy

x = 0, 5

, wartość

y

w podstawie zmienia się w zakresie od

0

0, 5

, tak jak na pionowym czerwonym pasku przedstawionym na rysunku poniżej.

Natomiast gdy

x = 1, 5

, wartość

y

zmienia się w zakresie od

0

1, 5

To oznacza, że gdy zapisujemy całkę wyrażającą pole powierzchni jednego z plasterków odpowiadających ustalonej wartości zmiennej

x

, górna granica całkowania musi być wyrażona jako funkcja zmiennej $x$ ‍.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} f (x, y) d y = \int_{0}^{x} x y^{2} d y \end{array}$ ‍

Podczas obliczeń jest to zupełnie w porządku, gdy któraś z granic całkowania zależy od zmiennej

x

. Po obliczeniu tej całki i tak przecież dostajemy wyrażenie zależne od

x

. Przekonaj się jak to działa, wyznaczając tę całkę:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} x y^{2} d y = \end{array}$ ‍

[Odpowiedź]

Od tego miejsca nie ma już nic nowego. Mnożymy otrzymaną wartość przez

d x

, żeby dokładając odrobinę głębokości, otrzymać bryłę o nieskończenie małej objętości. Potem, kiedy całkujemy względem zmiennej

x

, granice całkowania są stałe,

x = 0

oraz

x = 2

, ponieważ odnoszą się do podstawy naszego trójkąta znajdującej się na osi

X

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{x^{4}}{3} d x & = {[\frac{x^{5}}{(5) (3)}]}_{0}^{2} \\ = \frac{2^{5}}{15} - \frac{0^{5}}{15} \\ = \frac{32}{15} \end{aligned}$ ‍

Zatem objętość całej bryły jest równa

\frac{32}{15} \approx 2, 13

Całkowanie po dysku

Spróbujmy teraz czegoś odrobinę trudniejszego: wyznaczymy objętość bryły, która znajduje się pod wykresem pewnej funkcji i której podstawę stanowi dysk jednostkowy. Dysk jednostkowy w płaszczyźnie

O X Y

składa się z punktów spełniających warunek

x^{2} + y^{2} \leq 1

Na przykład bryła pod wykresem funkcji

f (x, y) = 3 + y - x^{2}

określonej na dysku jednostkowym, wygląda następująco:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Ponownie rozważamy takie plasterki tej bryły, które odpowiadają ustalonej wartości zmiennej

x

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Zastanów się, jak wyglądają podstawy tych plasterków na płaszczyźnie

O X Y

. Każdemu plasterkowi odpowiada pewien pionowy pasek na dysku jednostkowym.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy na tym pasku wyznaczyć najmniejszą i największą wartość

y

jako funkcje zmiennej

x

, która ten pasek reprezentuje.

Możemy teraz wyznaczyć pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości

x

, całkując funkcję

f (x, y)

względem

y

. Rozwiązanie wygląda inaczej niż w przypadku, gdy rozważaliśmy funkcje określone na obszarze prostokątnym, ponieważ tutaj obie granice całkowania są funkcjami zmiennej

x

Pytanie kontrolne: Która z następujących całek opisuje pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości zmiennej

x

w rozważanej przez nas bryle?

[Odpowiedź]

Zmierz się z tym: To wymaga bardziej skomplikowanych obliczeń niż w poprzednich przykładach, ale jeśli czujesz się siłach, to wyznacz tę całkę, żeby otrzymać wyrażenie, które opisuje pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości

x

, w zależności od

x

Pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości

x

[Odpowiedź]

Wartości zmiennej

x

na dysku jednostkowym zmieniają się w zakresie od

x = - 1

x = 1

, więc żeby wyznaczyć szukaną objętość, trzeba scałkować otrzymane wcześniej wyrażenie względem zmiennej

x

w granicach od

- 1

1

. Podobnie jak poprzednio, możesz to sobie wyobrazić jako dodawanie do siebie objętości wielu cienkich jak papier plasterków.

Ta całka nie jest prosta do obliczenia, więc ze względów praktycznych możemy posłużyć się Wolframem Alpha lub jakimkolwiek narzędziem do całkowania numerycznego.

Objętość bryły: $\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (6 - 2 x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{11 π}{4} \approx 8,639 4 \end{array}$ ‍

Inny sposób podziału na plasterki: obszar w kształcie płetwy rekina

Czasami łatwiej jest rozważyć cięcia na plasterki, charakteryzujące się stała wartością

y

, to znaczy plasterki leżące w płaszczyźnie

X O Y

równolegle do osi

X

. Dla przykładu rozważmy obszar na płaszczyźnie

X Y

opisany przez następujące nierówności:

$x \geq y^{2}$ ‍
$x \leq y + 2$ ‍
$y \geq 0$ ‍

Ten obszar wygląda jak grzbietowa płetwa rekina:

Górny prawy róg tego regionu jest punktem przecięcia wykresów funkcji

x = y^{2}

x = y + 2

. Współrzędne tego punktu wynoszą

(4, 2)

Obliczmy teraz wysokość bryły, której podstawą jest przed chwilą przez nas opisana "płetwa rekina", a wysokość jest prostą funkcją obu zmiennych

x

y

f (x, y) = x + 2 y

Oto jak wygląda ta bryła:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Tym razem wyobraźmy sobie, że tniemy całą objętość tej bryły na plasterki odpowiadające stałym wartościom zmiennej

y

. W ten sposób obliczymy powierzchnię plasterka, leżącego powyżej paska będącego częścią naszej płetwy rekina, takiego jak ten zaznaczony na czerwono na poniższym rysunku..

Sprawdź, czy rozumiesz: Rozważmy jeden z pasków, odpowiadający pewnej wartości

y

. Ile wynoszą granice całkowania po zmiennej

x

w przypadku tego paska? To znaczy, ile wynoszą współrzędne

x

lewego i prawego końca paska, wyrażone jako funkcja

y

Dolna granica: $x =$ ‍
Górna granica: $x =$ ‍

[Odpowiedź]

Sprawdź, czy rozumiesz: Która z poniższych całek odpowiada polu powierzchni plasterka, którego podstawa jest jeden z tych pasków, a wysokość dana jest wzorem

f (x, y) = x + 2 y

, jako funkcja

y

Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
$\begin{array}{r} \int_{y^{2}}^{y + 2} (x + 2 y) d x \end{array}$ ‍
(Choice B)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (x + 2 y) d y \end{array}$ ‍

[Odpowiedź]

Sprawdź, czy rozumiesz: Oblicz tę całkę i wyznacz w ten sposób pole powierzchni jednego z plasterków, na które podzieliliśmy objętość naszej bryły, odpowiadającego stałej wartości

y

Pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości $y$ ‍:

[Odpowiedź]

Sprawdź, czy rozumiesz: ile wyniosą granice całkowania dla całki po

y

, dającej w wyniku objętość tej figury?

Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{4} \dots d y \end{array}$ ‍
(Choice B)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \dots d y \end{array}$ ‍

[Odpowiedź]

Postaw kropkę nad i: oblicz tę całkę i wyznacz w ten sposób objętość bryły zdefiniowanej na początku tego rozdziału. (Jeśli chcesz, możesz użyć kalkulatora).

Objętość:

[Odpowiedź]

Podsumowanie

Jeśli napotkasz inny problem, w którym także trzeba będzie obliczyć całkę podwójną po obszarze, który ma skomplikowany kształt (nie jest prostokątem), możesz naśladować rachunek, który przedstawiliśmy w szczegółach tutaj.

Zacznij od pocięcia obszaru całkowania na plasterki albo na paski, wzdłuż jednej ze współrzędnych, tak by druga pozostawała stała. Na przykład, plasterek określony przez stałą wartość współrzędnej $x$ ‍ będzie miał za podstawę pionowy pasek wewnątrz obszaru, po którym będziesz całkować.
Wyznacz granice całkowania po plasterku w funkcji drugiej zmiennej. Na przykład, górna i dolna granica pionowego paska będą zadane pewnymi funkcjami zmiennej $x$ ‍.
Całka podwójna będzie zorganizowana a taki sposób, że wewnętrzne całkowanie odbywać się będzie wzdłuż jednego z pasków, w granicach wyznaczonych przez wartość zewnętrznej zmiennej. Jeśli wewnętrzna całka odpowiada paskowi określonemu przez stałą wartość zmiennej $x$ ‍, całka podwójna będzie wyglądała jakoś tak:
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{to jest pewna funkcja zmiennej y}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

Jeśli natomiast wewnętrzne całkowanie odbywać się będzie po pasku określonym przez stałą wartość zmiennej

y

, całka podwójna będzie miała postać:

\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{to jest jakaś funkcja zmiennej x}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} f (x, y) d x)}} d y \end{array}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.