Całki podwójne 3

. W poprzednim filmie znaleźliśmy objętość obszaru pomiędzy powierzchnią o równaniu: z = x*y^2, a płaszczyzną XY, gdzie x przyjmowało wartości między 0 a 2, natomiast y między 0 a 1. Jak to zrobiliśmy? Najpierw całkowaliśmy ze względu na x. Dla ustalonego y, obliczaliśmy pole pod krzywą. Po scałkowaniu ze względu na x, całkowaliśmy ze względu na y. Ale można było zrobić na odwrót. Zróbmy tak i zobaczymy, czy uzyskamy ten sam wynik. . Pamiętajmy, że otrzymaliśmy wynik 2/3, całkując najpierw po x, a potem po y. Ale zobaczymy, że można też zrobić na odwrót. Dobrze jest móc otrzymać ten sam wynik dwoma metodami. Narysujmy to jeszcze raz, abyście to lepiej zrozumieli. Rysujemy oś x, oś y i oś z. x,y,z. To jest płaszczyzna XY. . . y przyjmuje wartości od 0 do 1, x od 0 do 2. Oznaczamy x równy 1, x równy 2, y równy 1. Wykres narysuję najlepiej, jak umiem. Będzie on wyglądał mniej więcej tak. . Zobaczymy, co z tego wyjdzie. Z tej strony wygląda to w ten sposób, potem idziemy w dół, o tak. Interesuje nas objętość tego obszaru. Obszaru pod wykresem, który właśnie narysowaliśmy. . To jest górna część powierzchni z = xy^2. Nas interesuje obszar pod tą powierzchnią. Narysujmy ciemniejszym kolorem dolną część tej powierzchni. Zacieniuję go, żeby było lepiej widać. . Na szczęście możemy to ładnie zwizualizować. Ten sam obrazek widzieliśmy już poprzednio. Patrzymy z tej strony, obszar, którego objętość chcemy znaleźć znajduje się między zakolorowanymi powierzchniami. Zastanówmy się, jak to zrobić. Ostatnio najpierw całkowaliśmy ze względu na x. Teraz będziemy całkować najpierw ze względu na y. Ustalmy x. Niech wybrany x będzie na razie stały. . Zaznaczmy na rysunku wybrany x. . Pamiętajmy, że z jest funkcją x i y. Ustaliliśmy x. Jeśli na przykład x jest równy 1, to z jest równe y^2. Oczywiście x się zmienia, jednak możemy na razie traktować go jako stałą. Dla każdego danego x, otrzymujemy krzywą, jak ta zaznaczona na zielono. . Możemy znaleźć pole obszaru ograniczonego tą krzywą. Jak to zrobić? Jak już zauważyliśmy, górna powierzchnia to wykres funkcji z=xy^2. Ale tym razem traktujemy x jako stałą. Aby znaleźć pole zaznaczonego obszaru, bierzemy dy, czyli zmianę argumentu na osi y, następnie mnożymy ją przez wysokość, czyli xy^2. . Czyli mamy: xy^2 pomnożone przez dy. Jeśli chcemy obliczyć pole całego zielonego obszaru, całkujemy od y równego 0, do y równego 1. . W porządku. Skoro już mamy pole tego obszaru, a chcemy obliczyć całą szukaną przez nas objętość, będziemy musieli pomnożyć znalezione pole przez dx. Wybierzmy jakiś ładny kolor, aby to narysować. To jest nasze dx. Pomnożymy zielone pole przez dx. Otrzymamy coś trójwymiarowego, więc zamalujmy to dla kontrastu ciemniejszym kolorem. Mamy już objętość zielonego obszaru przemnożonego przez dx. Mnożymy więc naszą całkę razy dx. Jeśli chcemy obliczyć całą objętość obszaru między powierzchnią z=xy^2 a płaszczyzną XY w obrębie naszej dziedziny, całkujemy po prostu od x równego 0 do x równego 2. Zastanówmy się nad tym. Obszar zamalowany na zielono, od którego zaczęliśmy, jest funkcją od x. Co prawda x traktowaliśmy jako stałą, ale pole będzie się zmieniało, w zależności od tego, jaki x wybierzemy. A więc całkę wewnętrzną traktujemy jako funkcję od x. Obliczając tę całkę podwójną, otrzymamy szukaną objętość. Zróbmy to. Obliczmy najpierw całkę wewnętrzną. Niech x będzie stałe. Jaka jest funkcja pierwotna y^2 ? Jest to oczywiście y^3 dzielone przez 3. . x jest stałą, prawda? Znajdziemy wartość tego wyrażenia dla y równego 1 i y równego 0. To wszystko nadal całkujemy po x. Obliczmy to. Dla y równego 1, mamy: 1 do potęgi 3, czyli jeden. Dostajemy więc x/3 odjąć wartość tego wyrażenia dla y równego 0, czyli 0. Zostaje więc x/3. . Wciąż mamy całkę zewnętrzną, od x równego 0 do x równego 2. Więc dla ustalonego x, znamy już pole powierzchni zielonego obszaru, od którego zaczynaliśmy. Znamy je dla dowolnego x. . To pole wynosi x/3 i zależy tylko od wyboru x. Na przykład dla x równego 1, to pole wynosi 1/3. Teraz będziemy dalej całkować, aby otrzymać szukaną objętość. Jak już zauważliśmy, musimy scałkować funkcję od x. Zróbmy to. Taką całkę już umiemy obliczyć. Jaka jest funkcja pierwotna x? Oczywiście x^2 dzielone przez 2. Mamy jeszcze 1/3, więc otrzymujemy x^2 dzielone przez 2 razy 3. Czyli x^2 dzielone przez 6. Znajdziemy wartości tego wyrażenia dla x równego 2 i x równego 0. 2 do kwadratu przez 6 równa się 4/6. Odejmujemy od tego 0/6, czyli 0. Otrzymujemy 4/6. Co to za ułamek? Oczywiście 4/6 to inaczej 2/3. Czyli szukana objętość wynosi 2/3. Jeśli oglądaliście poprzedni film, zauważyliście na pewno, że wtedy, całkując w odwrotnej kolejności, czyli najpierw po x, potem po y, otrzymaliśmy ten sam wynik. Więc świat działa jak należy. Zrobiliśmy to zadanie szybciej niż myślałem. Więc dla zabawy możemy obrócić sobie nasz wykres i jeszcze raz docenić, jak ładnie obliczyliśmy objętość obszaru między powierznią z=xy^2 a płaszczyzną XY. Do zobaczenia w następnym filmie! .