Całki podwójne 4

Wydaje mi się, że to bardzo ważne by mieć tyle sposobów ile możliwe by rozwiązać dany typ zagadnienia, więc chcę wam przedstawić inny sposób. Niektórzy już na początku mogli tego uczyć, ale sposób, którego ja nauczyłem w pierwszym filmie o całkach podwójnych pokazuje jak sam zawsze rozumuję, gdy mam takie zagadnienie do rozwiązania. Jednak czasem wygodniej jest myśleć o tym w sposób, który zaraz pokażę, być może nie będziecie widzieć różnicy, a może powiecie, och, Sal, to są dokładnie te same rzeczy. Niektórzy właściwie wysłali mi maila radząc bym zrobił to tak bym mógł przewijać rzeczy, a ja na to, och, to nie jest zbyt trudne do zrobienia. Tak więc zrobiłem to i właśnie przewinąłem rysunek. Tak czy siak, powiedzmy, że mamy powierzchnię w 3 wymiarach. To funkcja od x i y. Jak dacie mi współrzędną tu na dole, to powiem wam jak wysoko jest powierzchnia w tym punkcie. A my chcemy znaleźć objętość pod tą powierzchnią. Więc. Możemy bardzo łatwo znaleźć objętość bardzo małej kolumny pod spodem powierzchni. Więc cała objętość to to, co chcemy znaleźć, co nie, między przerywanymi liniami. Myślę, że możecie to zobaczyć. Macie już teraz pewne doświadczenie w wizualizacji tego. Powiedzmy, że mam tu niewielki obszar. Możemy to nazwać da. Spójrzmy czy mogę to narysować. Powiedzmy, że mamy mały obszar tu na dole, mały kwadrat w płaszczyźnie x-y. I w zależności z której strony na to patrzycie, ta strona to dx, ta długość do dx, a wysokość, jakbyście mogli powiedzieć, po tej stronie, to dy. Prawda? Ponieważ mamy tam niewielką zmianę y, a tu niewielką zmianę x. A ten obszar, pole tego niewielkiego kwadratu, to będzie dx razy dy. A jeśli byśmy chcieli znaleźć objętość bryły pomiędzy tym niewielkim obszarem i powierzchnią, moglibyśmy po prostu pomnożyć to pole razy funkcję. Prawda? Ponieważ wysokość w tym punkcie to będzie z grubsza wartość funkcji w tym punkcie. Prawda? To będzie nasze przybliżenie, a potem weźmiemy nieskończoną sumę. Myślę, że wiecie, dokąd to zmierza. Ale pozwólcie, że to zrobię. Przynajmniej narysuję małą kolumnę, którą chcę wam pokazać. Czyli to jest jeden kraniec, to kolejny, to jej frontowy kraniec, a to kolejny. Czyli mamy niewielką figurę, która mniej więcej tak wygląda. Małą kolumnę, tak? Ona przecina wierzch powierzchni. A objętość tej kolumny, to nie jest zbyt trudne. To będzie ten niewielki obszar tu na dole, który moglibyśmy nazwać da. Czasem pisze się to tak. da. To niewielki obszar. Pomnożymy jego pole razy wysokość tej kolumny, a to jest funkcja w tym punkcie. Czyli f od x i y. I oczywiście moglibyśmy to także zapisać jako, że to da to po prostu dx razy dy, czy też dy razy dx. Mam zamiar zapisać to w każdy możliwy sposób. Czyli możemy to także zapisać jako f od xy razy dx razy dy. I oczywiście, ponieważ mnożenie jest łączne, mogę to także zapisać jako f od xy razy dy dx. Te wszystkie zapisy są równoważne i wszystkie reprezentują objętość tej kolumny, czyli między tym niewielkim obszarem tutaj a tą powierzchnią. A teraz, chcąc znaleźć miarę całej powierzchni , mamy na to kilka sposobów. Moglibyśmy zsumować wszystkie miary w kierunku x, między dolnym i górnym ograniczeniem x, a potem mielibyśmy coś na kształt cienkiej kartki, chociaż miałaby ona pewną głębokość, ponieważ nie dodawalibyśmy tylko iksów. Mamy tu także dy. Czyli mielibyśmy miarę figury, która rozszerzałaby się od dolnego x całą drogę do górnego x, doszła do dy i wróciła z powrotem tutaj. Gdybyśmy chcieli zsumować wszystkie dx. I gdybyśmy chcieli to zrobić, to jakiego wyrażenia byśmy użyli? Cóż, wpierw sumowalibyśmy po x, tak byśmy mogli użyć tego wyrażenia, prawda? I właściwie moglibyśmy to zapisać tutaj, ale to po prostu staje się mylące. Jeśli sumujemy po x, ale mamy wpierw tu napisane dy. To nie jest w prawdzie niepoprawne, po prostu staje się trochę niejasne, czy sumujemy po x czy po y. Ale tu, możemy powiedzieć, OK. Jeśli chcemy zsumować wszystkie dx wpierw, zróbmy to. Bierzemy sumę po x, pozwólcie, że napiszę tu faktyczne granice, normalnie zapisuję tylko numery tutaj, ale tym razem powiem, cóż, ograniczenie dolne to x równy a, a ograniczenie górne to x równy b. I to da nam miarę czegoś, co możecie sobie wyobrazić jako kartkę papieru z wysokością, prawda? Ta kartka będzie równoległa do osi Ox, prawda? I gdy już mamy tę kartkę, w moim filmie, myślę, że to domokrążcy chcą mi coś sprzedać. Tak czy owak. Gdy już mamy tę kartkę, spróbuję to narysować tu, także, nie chcę mieć tego obrazka zbyt zabazgranego, ale gdy już mamy tę kartkę, możemy to całkować, możemy dodać dy, prawda? Ponieważ ta szerokość tutaj to wciąż dy. Moglibyśmy dodać te wszystkie różne dy, i otrzymalibyśmy miarę całej figury. Gdy już weźmiemy tę sumę, wówczas moglibyśmy wziąć tę sumę. Gdzie y idzie od ograniczenia dolnego, co nazwaliśmy c, od y równego c, do ograniczenia górnego y równego d. Dość jasne. I gdy już to wszystko obliczymy, mamy objętość tej bryły, czy też objętość pod tą powierzchnią. Teraz możemy iść od drugiej strony. Wiem, że to już się robi trochę nieporządne, ale myślę, że już łapiecie o co mi chodzi. Zacznijmy od tego małego da, które mieliśmy na początku. Zamiast iść w tę stronę, zamiast sumować dx i otrzymywać tę kartkę, zsumujmy wpierw dy, co nie? Czyli moglibyśmy sumować wpierw w kierunku dy. Otrzymalibyśmy kartkę równoległą do osi Oy, tym razem. Czyli wierzchnia kartka wyglądałby mniej więcej tak. Czyli jeśli wpierw przechodzimy przez dy, bralibyśmy sumę, bralibyśmy całkę po y i to by było, dolna granica to byłoby y równe c, zaś górna granica to y równe d. I mielibyśmy tę kartkę z niewielką wysokością, wysokość to dx, i moglibyśmy wziąć sumę po tych wszystkich, przepraszam, mam suche gardło. Dopiero co zjadłem garść migdałów by być w stanie nagrać te filmy. Gdy jednak mam już jedną z tych kartek, i jeśli chcę zsumować wszystkie x, wówczas mogę wziąć nieskończoną sumę po nieskończenie małych kolumnach, lub patrząc tak, kartek, o nieskończenie małej wysokości, dolne ograniczenie to x równe a, zaś górne to x równe b. I jeszcze raz, chciałbym znaleźć objętość tej figury. I wszystko co dziś pokazałem sprowadza się do tego, że są dwa sposoby wykonywania kolejności całkowania. Teraz, inny sposób na powiedzenie tego, jeśli ten pierwotny kwadrat to da, a to jest skrót, który można zobaczyć wszędzie, szczególnie w książkach fizycznych, to całkowanie wzdłuż dziedziny, prawda? Ponieważ płaszczyzna x-y jest tutaj naszą dziedziną. Czyli zaraz wykonamy podwójne całkowanie, dwuwymiarowe całkowanie, mówimy, że tu dziedzina jest dwuwymiarowa i mamy zamiar to zrobić dla f od x i y razy da. I powód, dla którego chcę to wam pokazać jest taki, że można to spotkać w wielu książkach fizycznych. Nie przepadam za tym sposobem. Ponieważ to skrót i być może wygląda prościej, ale dla mnie, kiedykolwiek widzę coś, czego nie wiem jak policzyć, lub co nie jest oczywiste dla mnie jak policzyć, to w rzeczywistości jest bardziej mylące. Więc chciałem wam tylko pokazać, że to co widzicie w tych książkach fizycznych, gdy ktoś coś takiego napisze, to dokładnie to samo, co to, lub to. da może być albo dx razy dy, albo dy razy dx, a gdy robione jest to podwójne całkowanie po dziedzinie, to to samo, co sumowanie tych wszystkich kwadratów. Gdy robimy to tutaj, mamy swój ścisły porządek, prawda? Idziemy w kierunku x, a potem je wszystkie do siebie dodajemy w kierunku y, dostajemy całkowitą objętość. Albo możemy iść w odwrotną stronę. Kiedy mówimy, że bierzemy podwójną całkę, po pierwsze, to mówi nam, że robimy to w dwóch wymiarach po dziedzinie, która pozostawia trochę niejasności na temat tego, w jaki sposób dodamy do siebie wszystkie da. I robią to celowo w książkach fizycznych, ponieważ nie musicie tego robić używając kartezjańskiego układu współrzędnych, używając x i y. Możecie to robić w współrzędnych biegunowych, możecie to robić na milion różnych sposobów. Jednak chciałem wam tylko pokazać, że to jest inny sposób uzyskania intuicji na temat objętości pod powierzchnią. I to jest dokładnie to samo, co ten typ notacji, który możecie spotkać w książkach fizycznych. Czasem nie ma napisanej dziedziny, czasem piszą, że nad powierzchnią. I później zrobimy takie całki. Tu powierzchnia jest łatwa, to płaszczyzna, jednak czasem okaże się to być powierzchnią wypukłą, lub czymś podobnym. Tak czy owak, czas prawie mi się kończy. Zobaczymy się w następnym filmie.