Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Całki podwójne 4
Another way to conceptualize the double integral. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Wydaje mi się, że to bardzo
ważne by mieć tyle sposobów ile możliwe by rozwiązać dany typ zagadnienia,
więc chcę wam przedstawić inny sposób. Niektórzy już na początku mogli
tego uczyć, ale sposób, którego ja nauczyłem w pierwszym filmie
o całkach podwójnych pokazuje jak sam zawsze rozumuję, gdy mam
takie zagadnienie do rozwiązania. Jednak czasem wygodniej jest
myśleć o tym w sposób, który zaraz pokażę, być może
nie będziecie widzieć różnicy, a może powiecie, och, Sal,
to są dokładnie te same rzeczy. Niektórzy właściwie wysłali mi
maila radząc bym zrobił to tak bym mógł przewijać rzeczy,
a ja na to, och, to nie jest zbyt trudne do zrobienia. Tak więc zrobiłem to
i właśnie przewinąłem rysunek. Tak czy siak, powiedzmy, że mamy
powierzchnię w 3 wymiarach. To funkcja od x i y. Jak dacie mi współrzędną
tu na dole, to powiem wam jak wysoko jest powierzchnia
w tym punkcie. A my chcemy znaleźć objętość
pod tą powierzchnią. Więc. Możemy bardzo łatwo znaleźć
objętość bardzo małej kolumny pod spodem powierzchni. Więc cała objętość to to,
co chcemy znaleźć, co nie, między
przerywanymi liniami. Myślę, że możecie to zobaczyć. Macie już teraz pewne doświadczenie
w wizualizacji tego. Powiedzmy, że mam tu
niewielki obszar. Możemy to nazwać da. Spójrzmy czy mogę to narysować. Powiedzmy, że mamy mały
obszar tu na dole, mały kwadrat w płaszczyźnie x-y. I w zależności z której strony na
to patrzycie, ta strona to dx, ta długość do dx, a wysokość,
jakbyście mogli powiedzieć, po tej stronie, to dy. Prawda? Ponieważ mamy tam niewielką
zmianę y, a tu niewielką zmianę x. A ten obszar, pole tego
niewielkiego kwadratu, to będzie dx razy dy. A jeśli byśmy chcieli znaleźć
objętość bryły pomiędzy tym niewielkim obszarem i
powierzchnią, moglibyśmy po prostu pomnożyć to pole razy funkcję. Prawda? Ponieważ wysokość w tym
punkcie to będzie z grubsza wartość funkcji
w tym punkcie. Prawda? To będzie nasze
przybliżenie, a potem weźmiemy nieskończoną sumę. Myślę, że wiecie,
dokąd to zmierza. Ale pozwólcie, że to zrobię. Przynajmniej narysuję małą
kolumnę, którą chcę wam pokazać. Czyli to jest jeden kraniec,
to kolejny, to jej frontowy kraniec,
a to kolejny. Czyli mamy niewielką figurę,
która mniej więcej tak wygląda. Małą kolumnę, tak? Ona przecina
wierzch powierzchni. A objętość tej kolumny,
to nie jest zbyt trudne. To będzie ten niewielki obszar
tu na dole, który moglibyśmy nazwać da. Czasem pisze się to tak. da. To niewielki obszar. Pomnożymy jego pole
razy wysokość tej kolumny, a to jest
funkcja w tym punkcie. Czyli f od x i y. I oczywiście moglibyśmy to także
zapisać jako, że to da to po prostu dx razy dy,
czy też dy razy dx. Mam zamiar zapisać to w każdy
możliwy sposób. Czyli możemy to także zapisać jako f od xy razy dx razy dy. I oczywiście, ponieważ
mnożenie jest łączne, mogę to także zapisać jako
f od xy razy dy dx. Te wszystkie zapisy są równoważne
i wszystkie reprezentują objętość tej kolumny, czyli między
tym niewielkim obszarem tutaj a tą powierzchnią. A teraz, chcąc znaleźć miarę całej powierzchni , mamy na to
kilka sposobów. Moglibyśmy zsumować wszystkie
miary w kierunku x, między dolnym i górnym
ograniczeniem x, a potem mielibyśmy coś na kształt
cienkiej kartki, chociaż miałaby ona pewną głębokość,
ponieważ nie dodawalibyśmy tylko iksów. Mamy tu także dy. Czyli mielibyśmy miarę
figury, która rozszerzałaby się od dolnego x całą drogę do
górnego x, doszła do dy i wróciła z powrotem tutaj. Gdybyśmy chcieli zsumować
wszystkie dx. I gdybyśmy chcieli to zrobić,
to jakiego wyrażenia byśmy użyli? Cóż, wpierw sumowalibyśmy po x,
tak byśmy mogli użyć tego wyrażenia, prawda? I właściwie moglibyśmy to zapisać tutaj, ale to po prostu staje się mylące. Jeśli sumujemy po x,
ale mamy wpierw tu napisane dy. To nie jest w prawdzie niepoprawne,
po prostu staje się trochę niejasne, czy sumujemy
po x czy po y. Ale tu, możemy powiedzieć, OK. Jeśli chcemy zsumować wszystkie dx wpierw,
zróbmy to. Bierzemy sumę po x,
pozwólcie, że napiszę tu faktyczne granice,
normalnie zapisuję tylko numery tutaj, ale tym razem powiem,
cóż, ograniczenie dolne to x równy a, a ograniczenie górne
to x równy b. I to da nam miarę czegoś,
co możecie sobie wyobrazić jako kartkę papieru z wysokością, prawda? Ta kartka będzie
równoległa do osi Ox, prawda? I gdy już mamy tę kartkę,
w moim filmie, myślę, że to domokrążcy
chcą mi coś sprzedać. Tak czy owak. Gdy już mamy tę kartkę,
spróbuję to narysować tu, także, nie chcę mieć tego obrazka
zbyt zabazgranego, ale gdy już mamy tę kartkę,
możemy to całkować, możemy dodać dy, prawda? Ponieważ ta szerokość tutaj
to wciąż dy. Moglibyśmy dodać
te wszystkie różne dy, i otrzymalibyśmy miarę
całej figury. Gdy już weźmiemy tę sumę,
wówczas moglibyśmy wziąć tę sumę. Gdzie y idzie od ograniczenia
dolnego, co nazwaliśmy c, od y równego c, do
ograniczenia górnego y równego d. Dość jasne. I gdy już to wszystko obliczymy, mamy objętość tej bryły,
czy też objętość pod tą powierzchnią. Teraz możemy iść od
drugiej strony. Wiem, że to już się robi trochę
nieporządne, ale myślę, że już łapiecie o co mi chodzi. Zacznijmy od tego małego da,
które mieliśmy na początku. Zamiast iść w tę stronę,
zamiast sumować dx i otrzymywać tę kartkę,
zsumujmy wpierw dy, co nie? Czyli moglibyśmy sumować
wpierw w kierunku dy. Otrzymalibyśmy kartkę
równoległą do osi Oy, tym razem. Czyli wierzchnia kartka
wyglądałby mniej więcej tak. Czyli jeśli wpierw przechodzimy
przez dy, bralibyśmy sumę, bralibyśmy całkę po y i to by było, dolna granica to byłoby y
równe c, zaś górna granica to y równe d. I mielibyśmy tę kartkę
z niewielką wysokością, wysokość to dx, i moglibyśmy
wziąć sumę po tych wszystkich, przepraszam, mam
suche gardło. Dopiero co zjadłem
garść migdałów by być w stanie nagrać te filmy. Gdy jednak mam już jedną z tych kartek,
i jeśli chcę zsumować wszystkie x, wówczas mogę wziąć
nieskończoną sumę po nieskończenie małych kolumnach,
lub patrząc tak, kartek, o nieskończenie małej wysokości, dolne ograniczenie
to x równe a, zaś górne to x równe b. I jeszcze raz, chciałbym
znaleźć objętość tej figury. I wszystko co dziś pokazałem
sprowadza się do tego, że są dwa sposoby wykonywania
kolejności całkowania. Teraz, inny sposób na powiedzenie
tego, jeśli ten pierwotny kwadrat to da, a to jest skrót,
który można zobaczyć wszędzie, szczególnie w
książkach fizycznych, to całkowanie
wzdłuż dziedziny, prawda? Ponieważ płaszczyzna x-y
jest tutaj naszą dziedziną. Czyli zaraz wykonamy
podwójne całkowanie, dwuwymiarowe całkowanie, mówimy, że tu
dziedzina jest dwuwymiarowa i mamy zamiar to zrobić dla
f od x i y razy da. I powód, dla którego
chcę to wam pokazać jest taki, że można to spotkać w wielu
książkach fizycznych. Nie przepadam
za tym sposobem. Ponieważ to skrót i być może
wygląda prościej, ale dla mnie, kiedykolwiek widzę coś, czego nie
wiem jak policzyć, lub co nie jest oczywiste dla
mnie jak policzyć, to w rzeczywistości jest bardziej
mylące. Więc chciałem wam tylko pokazać,
że to co widzicie w tych książkach fizycznych, gdy ktoś coś
takiego napisze, to dokładnie to samo, co to, lub to. da może być albo dx razy dy,
albo dy razy dx, a gdy robione jest
to podwójne całkowanie po dziedzinie, to to samo, co
sumowanie tych wszystkich kwadratów. Gdy robimy to tutaj, mamy
swój ścisły porządek, prawda? Idziemy w kierunku x, a potem
je wszystkie do siebie dodajemy w kierunku y, dostajemy
całkowitą objętość. Albo możemy iść w
odwrotną stronę. Kiedy mówimy, że bierzemy
podwójną całkę, po pierwsze, to mówi nam,
że robimy to w dwóch wymiarach po dziedzinie, która
pozostawia trochę niejasności na temat tego, w jaki
sposób dodamy do siebie wszystkie da. I robią to celowo w książkach
fizycznych, ponieważ nie musicie tego robić używając
kartezjańskiego układu współrzędnych, używając x i y. Możecie to robić w współrzędnych
biegunowych, możecie to robić na milion różnych sposobów. Jednak chciałem wam tylko
pokazać, że to jest inny sposób uzyskania intuicji na temat
objętości pod powierzchnią. I to jest dokładnie to samo,
co ten typ notacji, który możecie spotkać w
książkach fizycznych. Czasem nie ma napisanej dziedziny,
czasem piszą, że nad powierzchnią. I później zrobimy
takie całki. Tu powierzchnia jest łatwa,
to płaszczyzna, jednak czasem okaże się to być powierzchnią
wypukłą, lub czymś podobnym. Tak czy owak, czas
prawie mi się kończy. Zobaczymy się
w następnym filmie.