Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 2: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)

Arc length of function graphs, introduction

Google Classroom

The length of a curve, called its "arc length", can be found using a certain integral.

Kontekst

Całka oznaczona

Co to jest długość łuku krzywej?

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Zwykle długość mierzymy wzdłuż linii prostej, ale przecież krzywe również mają długość. Znanym przykładem jest obwód koła, który ma długość

2 π r

, gdy promień koła jest równy

r

. Na ogół mówiąc o długości mierzonej wzdłuż krzywej, używamy określenia długość łuku krzywej.

Do czego zmierzamy

Możesz wyznaczyć długość łuku krzywej za pomocą całki, która wygląda podobnie do poniższej:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍

Granice całkowania tej całki zależą od tego jak zdefiniujesz krzywą.

Jeśli krzywa jest wykresem funkcji $y = f (x)$ ‍, zastępujemy wyrażenie $d y$ ‍ wyrażeniem $f^{'} (x) d x$ ‍, a następnie wyciągamy $d x$ ‍ poza pierwiastek.

Rozgrzewka: wyznaczanie przybliżonej wartości długości łuku

Przyjrzyjmy się paraboli zdefiniowanej następującym równaniem:

$y = f (x) = x^{2}$ ‍

Rozważmy fragment krzywej pomiędzy

x = - 2

x = 2

Kluczowe pytanie: Jaka jest długość tego łuku krzywej?

Skoro już pytanie zostało postawione, wyobraź sobie teraz krzywą jako kawałek sznurka. Możesz wyprostować ten sznurek i zmierzyć go linijką.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Gdybyś musiał odgadnąć tę długość, mógłbyś zacząć od przybliżania krzywej kawałkami odcinków. Mogłoby to wyglądać następująco:

Odcinek od $(- 2, 4)$ ‍ do $(- 1, 1)$ ‍
Odcinek od $(- 1, 1)$ ‍ do $(0, 0)$ ‍
Odcinek od $(0, 0)$ ‍ do $(1, 1)$ ‍
Odcinek od $(1, 1)$ ‍ do $(2, 4)$ ‍

To byłoby dość pracochłonne, ale mógłbyś wyznaczyć długości wszystkich odcinków korzystając z twierdzenia Pitagorasa, a potem je do siebie dodać.

Pytanie kontrolne: Jaka jest długość odcinka od

(- 2, 4)

(- 1, 1)

Podaj dokładną odpowiedź, używając pierwiastka kwadratowego:

Żeby uzyskać dokładniejsze oszacowanie, mógłbyś przybliżyć krzywą za pomocą wielu króciutkich odcinków.

Obliczanie wszystkich ich długości i dodawanie ich do siebie boleśnie porażałoby umysł, ale zatrzymajmy się na tym czym teraz dysponujemy. Oto zbliżenie jednego z malutkich odcinków:

Najpierw przyjrzyjmy się zmianie wartości zmiennej

x

od początku odcinka do jego końca. Oznaczmy tę zmianę przez

Δ x

. Analogicznie oznaczmy zmianę wartości zmiennej

y

przez

Δ y

. Następnie zapisujemy długość rozważanego odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Nasze przybliżenie długości łuku krzywej będzie sumą długości wszystkich krótkich odcinków. Chcąc wyrazić tego typu pomysł za pomocą symboli, piszący często swobodnie podchodzą do notacji, zapisując coś w rodzaju:

$\sum_{wszystkie krótkie odcinki} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Możesz być przyzwyczajony do sum, które wyglądają podobnie do tej:

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{100} n^{2} \end{array}$ ‍

Zmienna $n$ ‍ bywa nazywana zmienną indeksującą.
Zmienna indeksująca przyjmuje wartości z określonego zakresu, w tym przypadku od $1$ ‍ do $100$ ‍.
Wyrażenie wewnątrz sumy, w tym przypadku $n^{2}$ ‍, jest nazywane składnikiem i jest zależne od $n$ ‍.

W porównaniu z tym, suma zapisana jako przybliżenie długości łuku paraboli jest znacznie mniej formalna.

$\begin{array}{r} \sum_{wszystkie krótkie odcinki} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \end{array}$ ‍

Nie ma zmiennej indeksującej,
Nie ma określonego zakresu,
Składnik z pewnością nie jest uzależniony od zmiennej indeksującej (bo jej nie ma).

Zrozumienie sensu tego zapisu jest pozostawione inteligencji czytelnika. W kontekście naszego zagadnienia rozważaliśmy wiele krótkich odcinków przybliżających parabolę, więc umieściłem określenie "wszystkie krótkie odcinki" pod symbolem

Σ

. Powinno być zrozumiałe, że wartość składnika

\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

zależy od tego, który konkretny odcinek jest brany pod uwagę. Również wyrażenia

Δ x

Δ y

nie są dane za pomocą wzorów, tylko przedstawione opisowo w poprzedzającym tekście.

To ważne, żeby umieć czytać ze zrozumieniem nieformalne zapisy tego typu. W całej analizie funkcji wielu zmiennych, spotykamy podobne formuły w zapisie całek, w których wyrażenia podcałkowe i granice całkowania odwołują się do kontekstu dyskusji. Prawdę mówiąc, spotkasz taki przykład już w następnej sekcji.

Taka swobodna notacja jest używana wtedy, kiedy głównym celem jest przedstawienie pewnej ogólnej koncepcji, a nie konkretne obliczenia. Kiedy jednak przychodzi do obliczeń, ta swobodna notacja musi zostać ujęta w bardziej formalne ramy.

Wprowadzenie całek

Hmmm, zastanówmy się... przybliżamy krzywą wieloma krótkimi odcinkami, potem dodajemy do siebie wielką liczbę małych rzeczy. Przy mniejszych odcinkach i większej liczbie składników dostaniemy lepsze przybliżenie. Brzmi znajomo?

Do takich właśnie zagadnień zostały stworzone całki.

Większość ludzi najpierw dowiaduje się o całkowaniu w kontekście wyznaczania pola pod krzywą. Możesz sobie wyobrazić przybliżenie takiego obszaru za pomocą zestawu wąskich prostokątów. Szerokość każdego z nich jest określona jako "

d x

", jest to pewna mała zmiana wartości zmiennej

x

. Wysokość prostokąta dla danej wartości

x

jest równa

f (x)

. Zatem pole każdego z prostokątów można wyrazić jako:

$\overset{height}{\overset{⏞}{f (x)}} \underset{width}{\underset{⏟}{d x}}$ ‍

The full area under the curve is then expressed with an integral:

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍

Taka całka to potężne narzędzie, jak

Σ

ze wspomaganiem. Nie tylko dodaje wartości wyrażeń

f (x) d x

dla pewnej małej wartości

d x

, ale uwzględnia graniczną wartość takiej sumy w przypadku, gdy

d x

dąży do

0

. Czyli wtedy, gdy przybliżenie obszaru za pomocą prostokątów coraz lepiej odpowiada prawdziwemu obszarowi pod krzywą.

To potężne narzędzie może być również wykorzystane w wielu sytuacjach nie związanych z obszarem pod krzywą. Kiedykolwiek odczujesz potrzebę dodawania do siebie bardzo wielu bardzo małych wartości, całka może sprawić, by rozwiązanie stało się zarazem mniej nużące i bardziej dokładne.

Potrzebę dodawania wielu małych wartości odczuwamy na przykład wtedy, gdy przybliżamy długość łuku krzywej za pomocą takiej nieprecyzyjnie określonej sumy:

$\sum_{wszystkie krótkie odcinki} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Przeobrazimy ten zapis, wprowadzając całkę:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

Z tego zapisu bezpośrednio nie wynika, że

d y

, czyli zmiana wysokości mierzona wzdłuż jednego z małych odcinków, jest zależna od

d x

, czyli poziomej składowej odcinka. W naszym konkretnym przykładzie krzywa jest określona za pomocą równania

y = x^{2}

. Możemy obustronnie zróżniczkować to równanie, żeby zobaczyć w jaki sposób

d y

zależy od

d x

$\begin{aligned} y & = x^{2} \\ d (y) & = d (x^{2}) \\ d y & = 2 x d x \end{aligned}$ ‍

Kiedy podstawimy to do naszej całki, otrzymamy wyrażenie, które wygląda nieco bardziej znajomo.

$\begin{aligned} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} & = \int \sqrt{(d x)^{2} + (2 x d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{(1 + (2 x)^{2}) (d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{aligned}$ ‍

Do tej pory celowo unikałem podawania granic całkowania, ale teraz wszystko wewnątrz całki jest wyrażone za pomocą zmiennej

x

, bez żadnego plączącego się

d y

. Sensowne jest więc określenie granic całkowania w odniesieniu do zmiennej

x

, która w tym przypadku przyjmuje wartości od

- 2

2

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{array}$ ‍

To wygląda jak coś, co umiemy obliczyć. Cóż, właściwie w tym przypadku całka okazuje się dość skomplikowana, ale w dzisiejszych czasach możemy do tego użyć komputera, jeśli jest taka potrzeba. Chodzi przede wszystkim o to, że pomysł przybliżania długości łuku krzywej w wykorzystaniem małych odcinków, początkowo zapisany w dość swobodny sposób, teraz przyjął postać konkretnej całki, którą można obliczyć.

Teraz, zamiast koncentrować się na szczegółach obliczania tej całki (będzie tego dużo w następnym artykule), chciałbym podkreślić kilka kluczowych kwestii w tym przykładzie.

Do zapamiętania

Główne wyrażenie do zapamiętania to $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍, co przedstawia długość niewielkiego fragmentu łuku wyrażoną w zależności od $x$ ‍ i $y$ ‍.
Całka, która posłuży do wyznaczenia długości łuku krzywej, zaczyna swoje istnienie mniej więcej w takiej formie:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
Zanim obliczymy tę całkę, musimy wyznaczyć różniczkę $d y$ ‍ w zależności od różniczki $d x$ ‍. W tym celu różniczkujemy równanie opisujące krzywą.
Ogólnie rzecz biorąc, całkę oblicza się względem jednej zmiennej, a do znalezienia zależności między różniczkami można użyć pochodnej.
Być może najważniejsza myśl do zapamiętania z tych rozważań jest taka, że całki mogą być używane do rozwiązywania innych zagadnień, niż tylko wyznaczanie pola obszaru pod krzywą.

Ćwiczenie

Żeby ugruntować swoją wiedzę, zajrzyj do kolejnego artykułu, w którym znajdziesz więcej zadań dotyczących długości krzywej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.