If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 2: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
Matematyka
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Całkowanie funkcji wielu zmiennych
Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Arc length of function graphs, introduction

Google Classroom
The length of a curve, called its "arc length", can be found using a certain integral.

Kontekst

Co to jest długość łuku krzywej?

Filmy wideo na Khan Academy
Zobacz transkrypcję filmu
Zwykle długość mierzymy wzdłuż linii prostej, ale przecież krzywe również mają długość. Znanym przykładem jest obwód koła, który ma długość 2, pi, r, gdy promień koła jest równy r. Na ogół mówiąc o długości mierzonej wzdłuż krzywej, używamy określenia długość łuku krzywej.

Do czego zmierzamy

  • Możesz wyznaczyć długość łuku krzywej za pomocą całki, która wygląda podobnie do poniższej:
    integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
Granice całkowania tej całki zależą od tego jak zdefiniujesz krzywą.
  • Jeśli krzywa jest wykresem funkcji y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, zastępujemy wyrażenie d, y wyrażeniem f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, a następnie wyciągamy d, x poza pierwiastek.

Rozgrzewka: wyznaczanie przybliżonej wartości długości łuku

Przyjrzyjmy się paraboli zdefiniowanej następującym równaniem:
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared
Rozważmy fragment krzywej pomiędzy x, equals, minus, 2 i x, equals, 2.
Kluczowe pytanie: Jaka jest długość tego łuku krzywej?
Skoro już pytanie zostało postawione, wyobraź sobie teraz krzywą jako kawałek sznurka. Możesz wyprostować ten sznurek i zmierzyć go linijką.
Filmy wideo na Khan Academy
Zobacz transkrypcję filmu
Gdybyś musiał odgadnąć tę długość, mógłbyś zacząć od przybliżania krzywej kawałkami odcinków. Mogłoby to wyglądać następująco:
  • Odcinek od left parenthesis, minus, 2, comma, 4, right parenthesis do left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis
  • Odcinek od left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis do left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis
  • Odcinek od left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis do left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis
  • Odcinek od left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis do left parenthesis, 2, comma, 4, right parenthesis
To byłoby dość pracochłonne, ale mógłbyś wyznaczyć długości wszystkich odcinków korzystając z twierdzenia Pitagorasa, a potem je do siebie dodać.
Pytanie kontrolne: Jaka jest długość odcinka od left parenthesis, minus, 2, comma, 4, right parenthesis do left parenthesis, minus, 1, comma, 1, right parenthesis?
Podaj dokładną odpowiedź, używając pierwiastka kwadratowego:

Żeby uzyskać dokładniejsze oszacowanie, mógłbyś przybliżyć krzywą za pomocą wielu króciutkich odcinków.
Obliczanie wszystkich ich długości i dodawanie ich do siebie boleśnie porażałoby umysł, ale zatrzymajmy się na tym czym teraz dysponujemy. Oto zbliżenie jednego z malutkich odcinków:
Najpierw przyjrzyjmy się zmianie wartości zmiennej x od początku odcinka do jego końca. Oznaczmy tę zmianę przez delta, x. Analogicznie oznaczmy zmianę wartości zmiennej y przez delta, y. Następnie zapisujemy długość rozważanego odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root
Nasze przybliżenie długości łuku krzywej będzie sumą długości wszystkich krótkich odcinków. Chcąc wyrazić tego typu pomysł za pomocą symboli, piszący często swobodnie podchodzą do notacji, zapisując coś w rodzaju:
sum, start subscript, start text, w, s, z, y, s, t, k, i, e, space, k, r, o, with, \', on top, t, k, i, e, space, o, d, c, i, n, k, i, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

Wprowadzenie całek

Hmmm, zastanówmy się... przybliżamy krzywą wieloma krótkimi odcinkami, potem dodajemy do siebie wielką liczbę małych rzeczy. Przy mniejszych odcinkach i większej liczbie składników dostaniemy lepsze przybliżenie. Brzmi znajomo?
Do takich właśnie zagadnień zostały stworzone całki.
Większość ludzi najpierw dowiaduje się o całkowaniu w kontekście wyznaczania pola pod krzywą. Możesz sobie wyobrazić przybliżenie takiego obszaru za pomocą zestawu wąskich prostokątów. Szerokość każdego z nich jest określona jako "d, x", jest to pewna mała zmiana wartości zmiennej x. Wysokość prostokąta dla danej wartości x jest równa f, left parenthesis, x, right parenthesis. Zatem pole każdego z prostokątów można wyrazić jako:
start overbrace, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, h, e, i, g, h, t, end text, end superscript, start underbrace, d, x, end underbrace, start subscript, start text, w, i, d, t, h, end text, end subscript
The full area under the curve is then expressed with an integral:
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Taka całka to potężne narzędzie, jak \Sigma ze wspomaganiem. Nie tylko dodaje wartości wyrażeń f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x dla pewnej małej wartości d, x, ale uwzględnia graniczną wartość takiej sumy w przypadku, gdy d, x dąży do 0. Czyli wtedy, gdy przybliżenie obszaru za pomocą prostokątów coraz lepiej odpowiada prawdziwemu obszarowi pod krzywą.
To potężne narzędzie może być również wykorzystane w wielu sytuacjach nie związanych z obszarem pod krzywą. Kiedykolwiek odczujesz potrzebę dodawania do siebie bardzo wielu bardzo małych wartości, całka może sprawić, by rozwiązanie stało się zarazem mniej nużące i bardziej dokładne.
Potrzebę dodawania wielu małych wartości odczuwamy na przykład wtedy, gdy przybliżamy długość łuku krzywej za pomocą takiej nieprecyzyjnie określonej sumy:
sum, start subscript, start text, w, s, z, y, s, t, k, i, e, space, k, r, o, with, \', on top, t, k, i, e, space, o, d, c, i, n, k, i, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root
Przeobrazimy ten zapis, wprowadzając całkę:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Z tego zapisu bezpośrednio nie wynika, że d, y, czyli zmiana wysokości mierzona wzdłuż jednego z małych odcinków, jest zależna od d, x, czyli poziomej składowej odcinka. W naszym konkretnym przykładzie krzywa jest określona za pomocą równania y, equals, x, squared. Możemy obustronnie zróżniczkować to równanie, żeby zobaczyć w jaki sposób d, y zależy od d, x.
y=x2d(y)=d(x2)dy=2x dx\begin{aligned} y &= x^2 \\ d(y) &= d(x^2) \\ dy &= 2x\,dx \end{aligned}
Kiedy podstawimy to do naszej całki, otrzymamy wyrażenie, które wygląda nieco bardziej znajomo.
∫(dx)2+(dy)2=∫(dx)2+(2x dx)2=∫(1+(2x)2)(dx)2=∫1+4x2dx\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} &= \int \sqrt{(dx)^2 + (2x\,dx)^2} \\ &= \int \sqrt{(1 + (2x)^2)(dx)^2} \\ &= \int \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}
Do tej pory celowo unikałem podawania granic całkowania, ale teraz wszystko wewnątrz całki jest wyrażone za pomocą zmiennej x, bez żadnego plączącego się d, y. Sensowne jest więc określenie granic całkowania w odniesieniu do zmiennej x, która w tym przypadku przyjmuje wartości od minus, 2 do 2.
∫−221+4x2dx\begin{aligned} \int_{-2}^2 \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}
To wygląda jak coś, co umiemy obliczyć. Cóż, właściwie w tym przypadku całka okazuje się dość skomplikowana, ale w dzisiejszych czasach możemy do tego użyć komputera, jeśli jest taka potrzeba. Chodzi przede wszystkim o to, że pomysł przybliżania długości łuku krzywej w wykorzystaniem małych odcinków, początkowo zapisany w dość swobodny sposób, teraz przyjął postać konkretnej całki, którą można obliczyć.
Teraz, zamiast koncentrować się na szczegółach obliczania tej całki (będzie tego dużo w następnym artykule), chciałbym podkreślić kilka kluczowych kwestii w tym przykładzie.

Do zapamiętania

  • Główne wyrażenie do zapamiętania to square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, co przedstawia długość niewielkiego fragmentu łuku wyrażoną w zależności od x i y.
  • Całka, która posłuży do wyznaczenia długości łuku krzywej, zaczyna swoje istnienie mniej więcej w takiej formie:
    integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
  • Zanim obliczymy tę całkę, musimy wyznaczyć różniczkę d, y w zależności od różniczki d, x. W tym celu różniczkujemy równanie opisujące krzywą.
  • Ogólnie rzecz biorąc, całkę oblicza się względem jednej zmiennej, a do znalezienia zależności między różniczkami można użyć pochodnej.
  • Być może najważniejsza myśl do zapamiętania z tych rozważań jest taka, że całki mogą być używane do rozwiązywania innych zagadnień, niż tylko wyznaczanie pola obszaru pod krzywą.

Ćwiczenie

Żeby ugruntować swoją wiedzę, zajrzyj do kolejnego artykułu, w którym znajdziesz więcej zadań dotyczących długości krzywej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.