If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 2: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
Matematyka
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Całkowanie funkcji wielu zmiennych
Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Arc length of function graphs, examples

Google Classroom
Practice finding the arc length of various function graphs.

Kontekst

Przykład 1: Ćwiczenie z półokręgiem

Rozważmy półokrąg o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych, taki jak przedstawiony na rysunku. Wiemy z geometrii, że długość takiej krzywej jest równa pi. Przećwiczmy nowo poznaną metodę obliczania długości łuku krzywej, żeby na nowo odkryć długość półokręgu.
Zgodnie z definicją, wszystkie punkty left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis na okręgu znajdują się w odległości 1 od środka okręgu, zatem:
x, squared, plus, y, squared, equals, 1
Przekształcamy to równanie tak, by wyznaczyć y jako funkcję zmiennej x:
y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root
Żeby określić całkę pozwalającą wyznaczyć długość krzywej, możemy wyobrazić sobie przybliżenie tej krzywej za pomocą zestawu krótkich odcinków.
Zapisujemy tę całkę tymczasowo pomijając granice całkowania:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Podobnie jak we wcześniejszych rozważaniach, wyrażenie podcałkowe square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root odnosi się do długości krótkich odcinków przybliżających krzywą (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa).
Teraz podłączymy do tej całki dane wynikające z definicji rozważanej krzywej.

Krok 1: Wyznaczamy d, y w zależności od d, x

Wykorzystaj fakt, że y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root, żeby wyznaczyć d, y w zależności od d, x.
d, y, equals
d, x

Krok 2: Podstawiamy d, y w całce

Podstaw wyrażenie otrzymane dla d, y do całki, tak by funkcja podcałkowa zależała tylko od x i d, x.
integral
d, x

Krok 3: Określamy granice całkowania i obliczamy całkę

Ponieważ krzywa jest określona pomiędzy x, equals, minus, 1 i x, equals, 1, przyjmij te wartości jako granice całkowania i oblicz całkę.
(Niestety, nie ma okienka do wpisania odpowiedzi z uroczym zielonym znaczkiem, że odpowiedź jest poprawna. Wiemy z geometrii, że długość rozważanej krzywej jest równa pi. Ciekawe natomiast jest samo przejście przez te obliczenia, żeby zobaczyć, jak pojawia się pi, gdy wyznaczamy długość krzywej za pomocą całki).

Ćwiczenia w zapisywaniu całek wyrażających długość krzywej

Całka, która opisuje długość łuku krzywej, jest często trudna do obliczenia. Niemniej jednak warto wypracować umiejętność określania takiej całki w odniesieniu do konkretnych przypadków. Poćwiczmy to teraz, bez zamartwiania się wyznaczaniem ostatecznego wyniku (możesz skorzystać z kalkulatora bądź Wolframa Alpha, kiedy już będziesz miał konkretną całkę).

Przykład 2: Fragment sinusoidy

Jaka całka wyraża długość krzywej y, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis pomiędzy x, equals, 0 i x, equals, 2, pi?
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, x
a, equals
b, equals

Przykład 3: Do góry, zamiast w prawo

Rozważ krzywą przedstawiającą zależność:
y, equals, plus minus, square root of, x, end square root
dla wszystkich x, is less than or equal to, 4. Zapisz całkę wyrażającą długość tej krzywej. Jednak tym razem wszystko w całce uzależnij od zmiennej y, a nie x.
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, y
a, equals
b, equals

Przykład​ 4: Pełna ogólność

Niech f, left parenthesis, x, right parenthesis będzie dowolną funkcją, dla której istnieje pochodna f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Który z poniższych wzorów wyraża długość krzywej
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
pomiędzy x, equals, a i x, equals, b?
Wybierz 1 odpowiedź:

Ludzie, którzy uczą o długości łuku krzywej, często zaczynają od przedstawienia tego wzoru. Myślę, że to odbiera całą zabawę z samodzielnego odkrywania i nie pozwala nabrać wyczucia, co to naprawdę oznacza.

Podsumowanie

  • Używamy określenia długość łuku krzywej w odniesieniu do długości mierzonej wzdłuż krzywej. Jeśli wyobrazisz sobie krzywą jako sznurek, długość krzywej będzie równa długości tego sznurka po jego wyprostowaniu.
  • Można obliczyć długość krzywej korzystając z całki postaci
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Jeśli krzywa jest wykresem funkcji y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, zastępujemy d, y w całce wyrażeniem f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, a następnie wyciągamy d, x poza pierwiastek. Granice całkowania będą równe odpowiednio najmniejszej i największej wartości x przyjmowanej dla punktów rozważanego fragmentu krzywej.
  • Podczas formułowania całki wyrażającej długość krzywej, warto wyobrazić sobie, w jaki sposób rzeczywiście mógłby się odbywać ruch wzdłuż tej krzywej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.