Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Arc length of parametric curves

How to find the length of a parametric curve?  This will lead to the idea of a line integral.

Do czego zmierzamy

  • Żeby wyznaczyć długość łuku krzywej, zaczynamy od całki postaci
    (dx)2+(dy)2
  • Interesuje nas teraz przypadek, gdy krzywa jest zdefiniowana parametrycznie, czyli x i y są określone jako funkcje pewnej nowej zmiennej t. W celu obliczenia długości łuku za pomocą całki, najpierw musimy zróżniczkować obie te funkcje, żeby wyznaczyć dx i dy w zależności od dt.
    dx=dxdtdt
    dy=dydtdt
Podstawiamy te wyrażenia do całki i wyciągamy czynnik dt poza pierwiastek.

Długość krzywej zadanej parametrycznie

Rozważmy krzywą określoną parametrycznie za pomocą następującego układu równań:
x(t)=t3t
y(t)=2et2
If we let t range from 1.5 to 1.5, the resulting curve looks like this:
Kluczowe pytanie: Jaka jest długość tego łuku krzywej?
Możesz sobie wyobrazić, że prostujesz tę krzywą, jakby to był kawałek sznurka, a potem mierzysz długość za pomocą linijki. Jaką wartość otrzymałbyś w ten sposób?
Filmy wideo na Khan Academy
W poprzednim artykule dowiedzieliśmy się, jak wyznaczyć długość krzywej, w przypadku gdy jest to wykres funkcji, a nie gdy krzywa jest zadana parametrycznie. Zaczęliśmy od zapisania następującej całki:
(dx)2+(dy)2
Przypomnijmy krótko znaczenie tego zapisu.
  • Wyobraź sobie przybliżenie łuku krzywej za pomocą zestawu krótkich odcinków.
  • Długość każdego z odcinków można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
    dx2+dy2
dx i dy odpowiadają małym zmianom wartości zmiennych x i y od początku do końca odcinka.
Taką samą całkę można z powodzeniem zastosować również w przypadku krzywych określonych parametrycznie. Tym razem x i y są funkcjami zmiennej t, więc różniczkując te funkcje wyznaczamy dx i dy w zależności od dt.
Różniczkując funkcję określającą x, otrzymujemy:
x=t3td(x)=d(t3t)dx=(3t21)dt
Podobnie dla y:
y=2et2d(y)=d(2et2)dy=(2(2t)et2)dtdy=4tet2dt
Możesz sobie wyobrazić te wyrażenia jako odpowiedzi na pytanie "O ile zmienią się x i y, jeśli weźmiesz pewną wartość t i zwiększysz ją o pewną niewielką wartość dt?" Odpowiedź jest uzależniona od t i dt.
Wstawiając te wyrażenia do całki, otrzymujemy:
(dx)2+(dy)2=((3t21)dt)2+((4tet2)dt)2=((3t21)2+(4tet2)2)dt2=9t46t2+1+16t2e2t2dt
Teraz już wszystko pod całką jest przedstawione w zależności od parametru t, więc granice całkowania muszą odpowiadać początkowej i końcowej wartości t. W tym przypadku ustaliliśmy, że t przyjmuje wartości z zakresu od 1,5 do 1,5, zatem mamy:
1,51,59t46t2+1+16t2e2t2dt
Ta całka wygląda naprawdę paskudnie. Nie jestem nawet pewien, czy istnieje funkcja pierwotna. Jednak udało nam się przynajmniej doprowadzić zagadnienie wyznaczania długości krzywej do takiego stanu, że możemy znaleźć rozwiązanie za pomocą komputera.

Poćwicz wyznaczanie długości krzywej zadanej parametrycznie

Przyjrzyjmy się krzywej zdefiniowanej za pomocą równań parametrycznych:
x(t)=t33t
y(t)=3t2
Rozważmy fragment tej krzywej zawarty między punktami otrzymanymi dla t=2 i t=2.
Jaka jest długość tego łuku krzywej?
Ponieważ krzywa jest wyrażona za pomocą x i y, zaczynamy od całki, która wygląda następująco:
dx2+dy2
Żeby uzyskać całkę zapisaną za pomocą t, musimy przedstawić dx i dy za pomocą pewnych wyrażeń zmiennej t.

Krok 1: Wyznaczamy dx i dy w zależności od t

Wyraź dx za pomocą t:
dx=
dt

Wyraź dy za pomocą t:
dy=
dt

Krok 2: Wstawiamy otrzymane wyrażenia do całki

Jak wygląda nasza całka, kiedy wstawimy wyrażenia otrzymane dla dx i dy? Uprość zapis do postaci, w której nie występuje symbol pierwiastka.
dt

Krok 3: Wstawiamy granice całkowania i obliczamy całkę.

Z opisu zagadnienia wynika, że parametr t zmienia się od 2 do 2. Oblicz całkę w tych granicach całkowania.

Co dalej?

Długość łuku krzywej jest pierwszym krokiem do nauki o całkach krzywoliniowych, jednego z głównych pojęć rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Żeby uchronić się przed nadmiernym bałaganem, muszę najpierw przedstawić bardziej zwięzły wariant zapisu całek wyrażających długość krzywej, z czym możesz się zapoznać w następnym artykule.

Podsumowanie

  • Żeby wyznaczyć długość łuku krzywej, zaczynamy od całki postaci
    (dx)2+(dy)2
  • Kiedy krzywa jest zadana parametrycznie, tzn. x i y są określone za pomocą pewnych funkcji parametru t, wyznaczamy pochodne obu tych funkcji, żeby otrzymać dx i dy w zależności od dt.
    dx=dxdtdt
    dy=dydtdt
    Podstawiamy uzyskane wyrażenia do całki i wyciągamy dt poza pierwiastek.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.