If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 2: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
Matematyka
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Całkowanie funkcji wielu zmiennych
Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnych (artykuły)
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Arc length of parametric curves

Google Classroom
How to find the length of a parametric curve?  This will lead to the idea of a line integral.

Kontekst:

Do czego zmierzamy

  • Żeby wyznaczyć długość łuku krzywej, zaczynamy od całki postaci
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Interesuje nas teraz przypadek, gdy krzywa jest zdefiniowana parametrycznie, czyli x i y są określone jako funkcje pewnej nowej zmiennej t. W celu obliczenia długości łuku za pomocą całki, najpierw musimy zróżniczkować obie te funkcje, żeby wyznaczyć d, x i d, y w zależności od d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
Podstawiamy te wyrażenia do całki i wyciągamy czynnik d, t poza pierwiastek.

Długość krzywej zadanej parametrycznie

Rozważmy krzywą określoną parametrycznie za pomocą następującego układu równań:
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, e, start superscript, minus, t, squared, end superscript
If we let t range from minus, 1, point, 5 to 1, point, 5, the resulting curve looks like this:
Kluczowe pytanie: Jaka jest długość tego łuku krzywej?
Możesz sobie wyobrazić, że prostujesz tę krzywą, jakby to był kawałek sznurka, a potem mierzysz długość za pomocą linijki. Jaką wartość otrzymałbyś w ten sposób?
Filmy wideo na Khan Academy
Zobacz transkrypcję filmu
W poprzednim artykule dowiedzieliśmy się, jak wyznaczyć długość krzywej, w przypadku gdy jest to wykres funkcji, a nie gdy krzywa jest zadana parametrycznie. Zaczęliśmy od zapisania następującej całki:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Przypomnijmy krótko znaczenie tego zapisu.
  • Wyobraź sobie przybliżenie łuku krzywej za pomocą zestawu krótkich odcinków.
  • Długość każdego z odcinków można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
    square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root
d, x i d, y odpowiadają małym zmianom wartości zmiennych x i y od początku do końca odcinka.
Taką samą całkę można z powodzeniem zastosować również w przypadku krzywych określonych parametrycznie. Tym razem x i y są funkcjami zmiennej t, więc różniczkując te funkcje wyznaczamy d, x i d, y w zależności od d, t.
Różniczkując funkcję określającą x, otrzymujemy:
x=t3−td(x)=d(t3−t)dx=(3t2−1)dt\begin{aligned} x &= t^3 - t \\\\ d(x) &= d(t^3 - t) \\\\ \blueE{dx} &\blueE{= (3t^2 - 1)dt} \\\\ \end{aligned}
Podobnie dla y:
y=2e−t2d(y)=d(2e−t2)dy=(2(−2t)e−t2) dtdy=−4te−t2 dt\begin{aligned} y &= 2e^{-t^2} \\\\ d(y) &= d(2e^{-t^2}) \\\\ dy &= (2(-2t)e^{-t^2})\,dt \\\\ \redE{dy} &\redE{= -4te^{-t^2}\,dt} \\\\ \end{aligned}
Możesz sobie wyobrazić te wyrażenia jako odpowiedzi na pytanie "O ile zmienią się x i y, jeśli weźmiesz pewną wartość t i zwiększysz ją o pewną niewielką wartość d, t?" Odpowiedź jest uzależniona od t i d, t.
Wstawiając te wyrażenia do całki, otrzymujemy:
∫(dx)2+(dy)2=∫((3t2−1)dt)2+((−4te−t2)dt)2=∫((3t2−1)2+(−4te−t2)2)dt2=∫9t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int \sqrt{(\blueE{dx})^2 + \redE{(dy)}^2} &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}dt)^2 + (\redE{(-4te^{-t^2})}dt)^2} \\ \\ &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}^2 + \redE{(-4te^{-t^2})}^2)dt^2} \\ \\ &= \int \sqrt{\blueE{9t^4 -6t^2 + 1} + \redE{16t^2e^{-2t^2}}}\;dt \\ \\ \end{aligned}
Teraz już wszystko pod całką jest przedstawione w zależności od parametru t, więc granice całkowania muszą odpowiadać początkowej i końcowej wartości t. W tym przypadku ustaliliśmy, że t przyjmuje wartości z zakresu od minus, 1, comma, 5 do 1, comma, 5, zatem mamy:
∫−1,51,59t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \sqrt{9t^4 -6t^2 + 1 + 16t^2e^{-2t^2}}\;dt \\ \end{aligned}
Ta całka wygląda naprawdę paskudnie. Nie jestem nawet pewien, czy istnieje funkcja pierwotna. Jednak udało nam się przynajmniej doprowadzić zagadnienie wyznaczania długości krzywej do takiego stanu, że możemy znaleźć rozwiązanie za pomocą komputera.

Poćwicz wyznaczanie długości krzywej zadanej parametrycznie

Przyjrzyjmy się krzywej zdefiniowanej za pomocą równań parametrycznych:
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, 3, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, t, squared
Rozważmy fragment tej krzywej zawarty między punktami otrzymanymi dla t, equals, minus, 2 i t, equals, 2.
Jaka jest długość tego łuku krzywej?
Ponieważ krzywa jest wyrażona za pomocą x i y, zaczynamy od całki, która wygląda następująco:
∫dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
Żeby uzyskać całkę zapisaną za pomocą t, musimy przedstawić d, x i d, y za pomocą pewnych wyrażeń zmiennej t.

Krok 1: Wyznaczamy d, x i d, y w zależności od t

Wyraź d, x za pomocą t:
d, x, equals
d, t

Wyraź d, y za pomocą t:
d, y, equals
d, t

Krok 2: Wstawiamy otrzymane wyrażenia do całki

Jak wygląda nasza całka, kiedy wstawimy wyrażenia otrzymane dla d, x i d, y? Uprość zapis do postaci, w której nie występuje symbol pierwiastka.
integral
d, t

Krok 3: Wstawiamy granice całkowania i obliczamy całkę.

Z opisu zagadnienia wynika, że parametr t zmienia się od minus, 2 do 2. Oblicz całkę w tych granicach całkowania.

Co dalej?

Długość łuku krzywej jest pierwszym krokiem do nauki o całkach krzywoliniowych, jednego z głównych pojęć rachunku całkowego funkcji wielu zmiennych. Żeby uchronić się przed nadmiernym bałaganem, muszę najpierw przedstawić bardziej zwięzły wariant zapisu całek wyrażających długość krzywej, z czym możesz się zapoznać w następnym artykule.

Podsumowanie

  • Żeby wyznaczyć długość łuku krzywej, zaczynamy od całki postaci
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Kiedy krzywa jest zadana parametrycznie, tzn. x i y są określone za pomocą pewnych funkcji parametru t, wyznaczamy pochodne obu tych funkcji, żeby otrzymać d, x i d, y w zależności od d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
    Podstawiamy uzyskane wyrażenia do całki i wyciągamy d, t poza pierwiastek.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.