Line integrals and vector fields

.... Jednym z najbardziej fundamentalnych pojęć w fizyce jest pojęcie pracy. Teraz gdy poznajesz pojęcie pracy mówisz, och, praca to przecież siła razy przemieszczenie. Ale później, gdy uczysz się trochę więcej o wektorach, wiesz, że wektor pracy nie będzie miał zawsze tego samego zwrotu, co wektor przemieszczenia. Więc uczysz się, że praca jest właściwie długością wektora, napiszę to, długością wektora pracy, w kierunku, albo składnikiem siły w kierunku przemieszczenia, gdzie przemieszczenie to odległość wraz z pewnym kierunkiem, razy długość wektora przemieszczenia, albo, można powiedzieć, razy odległość, która została przebyta. Napiszę odległość. Klasyczny przykład. Może masz jakąś kostkę lodu albo podobną bryłę. Pomyślałem o lodzie, bo nie ma tam zbyt dużego tarcia. Załóżmy, że bryłka ta stoi na jakimś jeziorze, lodzie albo czymś podobnym. Załóżmy, że ciągniesz tę kostkę pod pewnym kątem, niech będzie takim jak ten. To jest wektor mojej siły. Powiedzmy, że jest ona równa - w zasadzie, to mój wektor siły. Powiedzmy, że jego długość wynosi 10 N (niutonów). Załóżmy również, że kierunek mojej siły, oczywiście każdy wektor musi mieć długość i kierunek, powiedzmy, że tu mamy kąt 30 stopni, albo lepiej kąt 60 stopni. To określa kierunek, w którym będę ciągnąć tę bryłkę. Załóżmy, że ją przesunąłem. Mam nadzieję, że to wszystko jest powtórką. Przesuńmy tę bryłę, z siłą powiedzmy 5 N. Zatem przesunięcie, czyli tutaj mamy wektor przesunięcia, długość tego wektora to 5 m (metrów). Z definicji pracy wiesz, że nie możesz po prostu powiedzieć: ciągnę bryłę z siłą 10 N i przesuwam ją o 5 m. Nie możesz tak po prostu mnożyć 10 N przez 5 m. Musisz znaleźć długość wektora składowego siły, o tym samym kierunku, co wektor przemieszczenia. Co muszę zrobić, to znaleźć jego długość. Jeśli wyobrazisz sobie, że jego długość wynosi 10 N, tyle wynosi długość wektora siły, ale musisz znaleźć długość wektora składowego tej siły, o tym samym kierunku co przemieszczenie. Korzystamy z prostej trygonometrii. Wiesz, że długość tego wektora to 10 razy cosinus 60 stopni, a cos(60) wynosi 1/2, zatem 1/2 razy 10 to 5. Więc ta długość, długość wektora siły o tym samym kierunku co wektor przemieszczenia w tym przypadku, to 5 N. Zapiszę tę wartość. I dopiero teraz możesz obliczyć wartość siły. Możesz powiedzieć, że siła jest równa 5 N razy, napiszę kropkę jako symbol mnożenia, nie chcę, żebyś myślał o iloczynie wektorowym, razy 5 m, co daje nam 25 niutonometrów, czyli można powiedzieć, że wykonano 25 J (dżuli) pracy. To była krótka powtórka z podstaw fizyki. Pomyślmy jednak, co tu się stało. Czym była praca, jeśli myślelibyśmy bardziej abstrakcyjnie? Praca jest równa 5 N. czyli długość mojego wektora siły, razy cosinus tego kąta. Nazwijmy go theta. Załóżmy, że jest generalnie mały. Zatem, razy kosinus kąta. Jest to wartość siły w kierunku przemieszczenia, kosinus kąta między nimi, razy długość wektora przemieszczenia. Zatem razy długość wektora przemieszczenia. Gdybym chciał to przepisać, to mógłbym napisać długość wektora przemieszczenia razy długość wektora siły razy kosinus kąta theta. Robiłem już wiele filmów na ten temat. Można je znaleźć w dziale algebry liniowej, fizyki. Chodzi mi o te, w których mówię o iloczynie skalarnym i wektorowym, a tutaj mamy iloczyn skalarny wektorów d i f. Ogólnie mówiąc, jeśli próbujesz znaleźć pracę przy stałym przemieszczeniu i jeśli masz stałą siłę, wykorzystujesz po prostu iloczyn skalarny tych dwóch wektorów. Jeśli kompletnie nie znasz pojęcia iloczynu skalarnego, powinieneś zobaczyć moje filmy, myślę, że zrobiłem ich wiele, 4 albo 5. Poznasz wtedy intuicję za nim stojącą i czym się wyróżnia. Żeby jednak dać ci ślad intuicji, iloczyn skalarny, f kropka d, albo d kropka f, i to co mi daje, mnożę długość wektora.. właściwie mógłbym to na głos przeczytać. Idea stojąca za iloczynem skalarnym jest taka, weź część tego wektora o tym sam ym kierunek co ten wektor, w tym przypadku to jest tyle, a później mnożymy te dwie długości. Tak właśnie zrobiliśmy tutaj. Zatem praca będzie równa: wektor siły, kropka, biorąc część skalarną wektora siły z wektorem przemieszczenia, a to jest oczywiście skalar. W przyszłości będziemy pracować nad kilkoma przykładami, zobaczysz, że tak jest w istocie. Zatem to była powtórka ze względnie podstawowej wiedzy fizycznej. Zajmijmy się teraz bardziej złożonym przykładem, który odzwierciedla w zasadzie to samo. Zdefiniujmy pole wektorowe. Pole wektorowe. Powiedzmy, że mamy pole wektorowe f i za chwilę zastanowimy się, co to znaczy. Jest to funkcja zmiennych x i y, równa pewnej funkcji skalarnej zmiennych x i y, pomnożonej przez wektor jednostkowy i, albo poziomy wektor jednostkowy, plus inna skalarna funkcja tych zmiennych, x i y, razy pionowy wektor jednostkowy. Jak to będzie wyglądać? To jest nasze pole wektorowe. Jest to pole wektorowe w przestrzeni dwuwymiarowej. Jesteśmy w płaszczyźnie XY. To pole wektorowe w płaszczyźnie XY, mógłbyś nawet powiedzieć w R2. W każdym razie, nie chcę się zbytnio wgłębiać zbytnio w to wgłębiać. Co ono robi? Jeśli narysowałbym moją płaszczyznę XY, to jest moja, znowu mam problem z narysowaniem prostej linii. W porządku, udało się. To moja oś Y, a to moja oś X. Rysuję tylko pierwszą ćwiartkę, ale mógłbyś też wybrać inną, w innym kierunku, jeśli wolisz. Co robi to pole wektorowe? Dokładnie mówiąc - popatrz. Jeśli ustalimy jakiegokolwiek x i y w płaszczyźnie XY, to one sprawią, że otrzymamy jakieś liczby, prawda? Jeśli wstawimy nasze x i y tutaj, otrzymamy pewną wartość, jeśli wstawisz x i y tutaj, to też otrzymasz jakąś wartość. Więc otrzymasz pewną kombinację wektorów jednostkowych i oraz j. Czyli otrzymasz wektor. Zatem pole wektorowe definiuje nam wektor, który jest związany z każdym punktem płaszczyzny XY. Moglibyśmy powiedzieć, że biorąc dowolny punkt tej płaszczyzny i wstawiając go tutaj dostanę coś razy i dodać coś razy j, a dodając je, otrzymując jakiś taki wektor. Możesz to zrobić dla każdego punktu. Biorę dowolne pary. Być może gdy będę tutaj, mój wektor będzie wyglądać jakoś tak. Gdy pójdę tutaj, wektor będzie wyglądać tak, w tym miejscu wektor jest taki, a tutaj taki. Wybieram punkty całkowicie przypadkowo. Pole wektorowe definiuje wektor dla każdych współrzędnych x,y gdy te funkcje są dobrze zdefiniowane. I to właśnie nazywamy polem wektorowym. Definiuje, jak wygląda siła potencjalna albo inna siła, w każdym punkcie płaszczyzny. W każdym, jeśli jest tam istotnie jakaś cząstka. Prawdopodobnie tak wygląda siła w tym punkcie. Mógłbym je wybierać w nieskończoność, wypełniając wszystkie luki. Mam nadzieję, że rozumiesz ogólną ideę. Pole wektorowe wiąże wektor z każdym punktem płaszczyzny XY. Ponieważ nazwane jest polem wektorowym, to prawdopodobnie rozsądne, że może być użyte do opisu każdego typu pola. Może to być pole grawitacyjne, elektryczne, magnetyczne. I ono mówi ci dokładnie, jak duża siła działałaby na pewną cząsteczkę w danym punkcie tego pola. Dokładnie to jest opisywane przez pole wektorowe. Załóżmy teraz, że w tym polu mamy pewną cząsteczkę, która porusza się w płaszczyźnie XY. Załóżmy, że zaczyna swą podróż tutaj, i wyniku działania wszystkich tych sił, które na nią działają, może jest na jakimś torze, więc nie zawsze będzie się poruszać dokładnie w kierunku, w którym pole próbuje ją przesunąć. Powiedzmy, że porusza się po mniej więcej takiej ścieżce. Załóżmy o tej ścieżce, czy krzywej, że jest zdefiniowana przez funkcję wektorową. Załóżmy więc, że jest ona zdefiniowana przez r(t), które jest równe x(t) razy i dodać y(t) razy j. Mamy tu r(t). Żeby ścieżka ta była skończona, parametryzacja ta będzie mieć sens dla t większego lub równego a oraz mniejszego lub równego b. To jest ścieżka, którą będzie biegła sobie cząsteczka, w efekcie działania tych wszystkich sił. Zatem gdy cząstka jest w tym miejscu, oraz to jest działający na nią w tym punkcie wektor, być może siła działa w ten sposób. Jednak skoro jest na pewnym torze, to porusza się w tym kierunku. Kiedy jest tutaj, pole wektorowe może działać jakoś tak, ale cząstka porusza się w tym kierunku, bo jest już na pewnym torze. Wszystko co do tej pory zrobiłem w tym filmie prowadzi do fundamentalnego pytania: Ile wynosi praca wykonana przez pole wektorowe podczas przenoszenia cząsteczki? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy wgłębić się w rysunek. Będę powiększał tylko bardzo małe fragmenty naszej ścieżki. Spróbujmy znaleźć, ile wynosi praca wykonana na bardzo krótkim odcinku naszej ścieżki, ponieważ stale się on zmienia. Pole zmienia kierunek, i cząsteczka zmienia kierunek. Załóżmy zatem, że jestem tutaj i że, powiedzmy, poruszyłem się o niewielką część mojej ścieżki. Załóżmy, że ta część jest nieskończenie mała, ok? Mam różniczkę, wektor różniczki, oraz nieskończenie małe przemieszczenie. Dodatkowo załóżmy też, że pole wektorowe działające w małym otoczeniu, wygląda jakoś tak. Zapewnia ono siłę jakąś taką. Jest to więc pole wektorowe w tym obszarze, albo siła działająca na tą cząsteczkę, gdy jest ona w tym punkcie. Zgadasz się? Rozważamy nieskończenie mały odcinek czasu w przestrzeni. Mógłbyś powiedzieć, że, no dobrze, wokół tego małego punktu mamy stałą siłę. Jaka praca została tutaj wykonana? Mógłbyś zapytać, jaki jest mały przedział pracy? Możesz stwierdzić, że jest to różniczka pracy. Tak jak robiliśmy to w poprzednim prostym przykładzie, jest to długość wektora siły w kierunku naszego przemieszczenia razy długość wektora tego przemieszczenia. Wiemy co to jest, z poprzedniego przykładu. To dokładnie iloczyn skalarny. Jest to iloczyn skalarny siły i naszego bardzo małego przemieszczenia. Jest to zatem równe produktowi skalarnego naszej siły i naszego bardzo małego przemieszczenia. Kontynuując to rozumowanie, obliczamy pracę nad bardzo bardzo małym dr. Ale co chcemy zrobić, to je zsumować. Chcemy zsumować wszystkie dr, żeby obliczyć wartość całkowitą, wartość wszystkich tych f kropka dr, aby znaleźć całkowitą wykonaną pracę. Tu pojawia się całka. Będziemy używać całki krzywoliniowej, w zasadzie mógłbyś myśleć o tym na dwa sposoby. Mógłbyś napisać po prostu d kropka w, ale możemy też powiedzieć, oblicz całkę krzywoliniową po krzywej C, mogę nazwać ją C, albo wzdłuż r, cokolwiek chcesz powiedzieć, z dw. To da nam pracę całkowitą. Załóżmy , że praca jest istotnie temu równa. Moglibyśmy napisać też całkę po tej samej krzywej z f, z f kropka dr. To może się wydawać dość... abstrakcyjne. Jak właściwie obliczamy coś takiego, Szczególnie, gdy wyraziliśmy wszystko w zależności od t? Jak to wyrazić w zależności od t? Pomyśl o tym, czym jest f kropka r? Albo, czym jest f kropka dr? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przypomnijmy sobie, jak wyglądało dr. Jak pamiętasz, dr/dt jest równe x'(t), zapiszę to tak, mogłem napisać dx dt, razy wektor jednostkowy i dodać y'(t) razy wektor jednostkowy j. Aby dostać dr, możemy pomnożyć obie strony, trochę machamy rękami przy tych różniczkach, nie jesteśmy zbyt konsekwentni. Mamy, że dr jest równe x'(t) dt razy wektor jednostkowy i dodać y'(t) razy różniczka dt i razy wektor jednostkowy j. Mamy więc nasze dr. To ten napis tutaj. Przypomnijmy sobie, czym było nasze pole wektorowe. Jest ono tu zapisane. Skopiuję i wkleję to niżej. Widzimy więc, że iloczyn skalarny nie jest właściwie zbyt skomplikowany. Kopiuję, spróbuję wkleić to gdzieś tutaj niżej. Zatem, jak będzie wyglądać szukana całka? Ta całka wyraża całkowitą pracą wykonaną przez pole wektorowe na cząsteczce, gdy porusza się ona wzdłuż ścieżki. Te proste fakty to podstawa bardziej skomplikowanej fizyki, którą być może się bardziej zainteresujesz. Możemy więc powiedzieć... Będzie to całka, powiedzmy, że od t równego a do t równego b. Zgadza się? a to punkt, w którym zaczęła się ścieżka, t od a do b. Możesz sobie wyobrazić, że mierzymy czas, w którym porusza się cząstka, ilość czas wzrasta. Ale wtedy, czym jest f kropka dr?! Jeśli wiesz, czym jest iloczyn skalarny, możesz wziąć iloczyn odpowiednich składowych twojego wektora i je dodać. Zatem będziemy mieć całkę od t równego a, do t równego b, z funkcji P(x,y), a właściwie zamiast pisać x, y, mamy x(t), prawda? x jako funkcja t, y jako funkcja t. Mamy to. Mnożymy jeszcze przez tę część, przez tę składową, zgadzasz się? Mnożymy składową wektora jednostkowego i. Mamy więc razy x'(t) i później dodać ten fragment, i to samo zrobimy dla funkcji Q. Mamy więc Q, dodać, przejdę do następnej linii, mam nadzieję, że rozumiesz, że mogłem po prostu pisać dalej, ale kończy mi się miejsce. Dodać Q od x(t) i y(t), razy składowa naszego dr, razy składowa y, albo składowa j, y'(t) dt. I koniec. Zrobione. To wciąż może wydawać się abstrakcyjne, ale jak zobaczymy w następnym filmie, wszystko mamy wyrażone w zależności od t, mamy więc do obliczenia zwykłą całkę względem dt. Moglibyśmy wyciągnąć przed nawias dt, wtedy całość będzie wyglądać bardziej przyjaźnie. Tylko to zostało nam do obliczenia. Zobaczymy jeszcze kilka konkretnych przykładów całki krzywoliniowej dla pola wektorowego, albo funkcji wektorowych, ale to w następnym filmie. Koniec.