Niezależność całki krzywoliniowej od drogi

W tym filmie chcę ustalić możliwie W tym filmie chcę ustalić możliwie silny warunek, dzięki któremu ustalimy, że pole wektorowe, lub całka krzywoliniowa pola wektorowego jest niezależna od drogi. Kiedy to mówię, mam na myśli, że kiedy wezmę całkę krzywoliniową wzdłuż drogi C z f kropka dr, i niech moja droga wygląda tak. i niech moja droga wygląda tak. To moje osie x i y, i powiedzmy, ze moja droga wygląda mniej więcej tak: zaczynam tu, i poruszam się aż do punktu c. Punkt, gdzie krzywa się kończy oznaczam C. Więc liczyłbym tą całkę krzywoliniową, tego pola wektorowego wzdłuż tej krzywej To będzie pole wektorowe niezależne od drogi, można je nazwać zachowawczym polem wektorowym, jeśli ta rzecz jest równa Takiej samej całce ale wzdłuż innej drogi, która ma te same końce. Więc oznaczmy to c1, więc tu c1, a tu c2. To pole wektorowe jest zachowawcze, jeśli zaczynając w tym samy punkcie, ale poruszając się inną drogą... Powiedzmy, że poruszam się mniej więcej tak: jeśli wybiorę inną drogę (np. c2) uzyskam tą samą wartość. To pokazuje, że jedyne co jest potrzebne, żeby obliczyć te całki, to punkty - startowy i końcowy. Nie jest ważne co robię pomiędzy. Nie jest ważne jak trafiam z punktu startowego do punktu końcowego. Te dwie całki mają ten sam punkt początkowy i ten sam koniec, więc niezależnie od drogi będą takie same. To właśnie znaczny, że f jest polem zachowawczym, albo inaczej, że całka jest niezależna od drogi. Zanim wykażę warunek, zajmę się narzędziami, których będę używał. Być może widzieliście już regułę łańcuchową wielu zmiennych. regułę łańcuchową wielu zmiennych. Nie będę jej tu dowodził, ale myślę że jest dosyć intuicyjna. Więc może nie potrzebuje dowodu, albo w końcu ją udowodnię, ale teraz podam intuicję. Reguła mówi, ze jeśli mamy funkcję -- powiedzmy mamy f(x,y), ale x i y są funkcjami trzeciej zmiennej, t, więc f(x(t),y(t)) -- to pochodna f względem t jest... f jest funkcją wielu zmiennych. Mam tu dwie zmienne x i y. to będzie równe pochodnej cząstkowej f względem x Jak szybko zmienia się f, kiedy x się zmienia, razy pochodna x względem t -- x(t) to funkcja jednej zmiennej, prawda? więc można wziąć zwykła pochodną. Więc jak szybko zmienia się x względem t. Tu jest zwykła pochodna, a tu pochodna cząstkowa, bo na tym etapie mamy do czynienia z dwoma zmiennymi. Ale to nie wszystko! - dodajemy jeszcze zmianę f względem y. razy pochodna y względem t, więc dy/dt. I nie będę tego dowodził, ale myślę, że jest to dosyć intuicyjne. To pokazuje, jak kiedy przesunę troszkę dt, jaka będzie zmiana df, czyli jak szybka jest zmiana f względem t. To pokazuje, że f może się zmienić na dwa sposoby: może się zmienić względem x, albo może się zmienić względem y. Więc czemu by nie dodać tych dwóch rzeczy, bo one obie zmieniają się względem t? O to właśnie chodzi, i jeśli sobie wyobrazisz, że można skrócić tą pochodną cząstkową po x z dx, a tą pochodną cząstkową po y z dym można sobie wyobrazić pochodną cząstkową f względem t w części x-owej, i dodać pochodną cząstkową względem t w wymiarze y. I to daje całkowita zmianę f względem t. Może argument nie jest przekonywujący, ale dla mnie jest to dosyć oczywisty wzór. Więc to jest nasze narzędzie: reguła łańcuchowa wielu zmiennych. Odłożymy to na bo na chwilkę. Teraz powiedzmy, że mam pole wektorowe f --i jest różne niż to f, więc będzie w innym kolorze-- Mam pole wektorowe, które jest funkcją od x i y. I powiedzmy, że złożyło się tak, że jest ono gradientem pewnego pola skalarnego. pewnego pola skalarnego. Oznaczę je F. I jest to gradient, co znaczy, że F jest też funkcją x i y -- Nie chcę go pisać w nowej linijce, mogę je napisać tutaj.-- F też jest funkcją x i y -- i gradient znaczy, że to jest pole wektorowe f(x,y) -- małe f(x,y) jest równe pochodnej cząstkowej dużego F względem x razy wektor jednostkowy (i) plus pochodna cząstkowa dużego F względem y razy wektor jednostkowy (j). To właśnie jest definicja gradientu. I jeśli sobie wyobrazisz, że duże F jest pewnego rodzaju powierzchnią -- więc to jest duże F(x,y) -- gradient F(x,y) będzie polem wektorowym które pokazuje kierunek najstromszego spadku w każdym punkcie Więc będzie określony na płaszczyźnie xy. Więc na płaszczyźnie xy powie nam -- narysuję to; to jest pionowa oś, to oś x, a to y.-- więc gradient tego, jeśli weźmiesz dowolny punkt z płaszczyzny xy wskaże ci kierunek w którym jest największy spadek. I w tym punkcie gradient będzie miej więcej taki. miej więcej taki. A w tym punkcie będzie w tę stronę, bo będzie wskazywał w stronę tego minimum. W każdym razie, nie chcę się za bardzo w to angażować. Robię to, nie żeby wytłumaczyć jak rozumieć gradient, są o tym inne filmy. Moim celem jest zdobycie warunku pokazującego, czy coś jest niezależne o drogi, czy pole wektorowe jest niezależne od drogi, czy jest zachowawcze. I okazuje się, że taki warunek istnieje, i teraz go udowodnię. Jeśli f jest gradientem pola skalarnego, to f jest zachowawcze. to f jest zachowawcze. Można tez powiedzieć, że nie ma znaczenia jaką drogę wybierzemy biorąc całkę krzywoliniową z f, ważne są tylko punkt początkowy i końcowy. Teraz sprawdźmy, czy będę umiał to udowodnić. Zacznijmy od założenia, że f może być zapisane w ten sposób, jako gradient, to małe f może być zapisane jako gradient jakiegoś dużego F. Więc w tym przypadku nasza całka -- zacznijmy od określenia drogi. Więc nasza funkcja wektora wodzącego -- zawsze takiej potrzebujemy żeby zrobić całkę krzywoliniową -- r(t) określmy jako x(t) razy i plus y(t) razy j. dla t z przedziału a,b. To było już wiele razy - definicja w zasadzie każdej drogi w dwóch wymiarach. A teraz powiemy, że f(x,y) będzie równe temu: pochodna cząstkowa dużego F względem x -- więc zakładamy, że to istnieje, że to jest prawdą -- razy i plus pochodna cząstkowa F względem y razy j. Teraz jaki będzie iloczyn skalarny f i dr wzdłuż tej drogi? Ta droga jest określona przez tą funkcję. Żeby wiedzieć jaki będzie iloczyn skalarny musimy zrozumieć czym jest dr, i to było już w kilku filmach. Zrobię to tu po prawej. dr, jak już kilka razy widzieliśmy... W zasadzie wyliczę je od nowa. dr/dt z definicji jest równe dx/dt razy i plus -- nie wiem, czemu jest takie grube-- dy/dt razy j. To jest dr/dt. Więc jeśli chcemy policzyć dr, jeśli chcemy tak pogrywać z różniczkami, musimy pomnożyć obie strony przez dt. I potraktuję dt jak liczbę, wymnożę je. I potraktuję dt jak liczbę, wymnożę je. Więc będzie dx/dt razy dti plus dy/dt razy dtj Więc jeśli liczymy iloczyn skalarny f z dr, co otrzymamy? co otrzymamy? Więc to będzie całka po krzywej od -- napiszę c tutaj; całkę możemy uzależnić od końców C kiedy wiemy, że mamy wszystko zależne od t.-- ale to będzie równe to kropka to, czyli -- postaram się używać tych samych kolorów -- pochodna cząstkowa dużego F względem x razy to, razy dx/dt -- napiszę to dt w innym kolorze -- razy dt plus pochodna cząstkowa F względem y razy -- mnożymy teraz wartości przy j, prawda? Kiedy liczysz iloczyn skalarny mnożysz wartości przy i, a później dodajesz iloczyn wartości przy j. więc wartości przy j to pochodna cząstkowa F względem y pomnożone przez --żółte-- dy/dt razy to dt. i możemy wyłączyć dt przed nawias. i możemy wyłączyć dt przed nawias. W zasadzie nie muszę tego teraz pisać drugi raz. Ale jednak to zrobię. Więc to jest równe całce i powiedzmy, ze mamy to zależne od t; napisaliśmy wszystko w zależności od t, więc t przebiega od a do b, więc to będzie równe -- napisze na niebiesko -- pochodna cząstkowa dużego F względem x razy dx/dt plus -- wyłączam dt poza sumę-- plus pochodna cząstkowa F względem y. dy/dt i to wszystko razy dt. To jest równoważne temu. Teraz można zauważyć, czemu zacząłem od reguły łańcuchowej wielu zmiennych. Co to przypomina? Coś podobnego do tego? Widać spore podobieństwo. To jest to samo, co pochodna F względem t. Spójrzmy na to. Skopiuję to tutaj, żeby można było to docenić. można było to docenić. Tak to określiliśmy -- nie nazywajmy tego definicją, bo można to udowodnić. Nie trzeba od niej (definicji) zaczynać -- w każdym razie to jest nasza reguła łańcuchowa wielu zmiennych. Pochodna dowolnej funkcji względem t to pochodna cząstkowa tej funkcji względem x razy dx/dt plus pochodna tej funkcji względem y razy dy/dt. Tu mamy pochodną cząstkową F względem x razy dx/dt plus pochodna cząstkowa F względem y, razy dy/dt. To jest to samo, jeśli zastąpimy małe f dużym F. Więc to na niebiesko, całe to wyrażenie jest równe całce od t=a do t=b z --tutaj na niebiesko-- pochodnej F względem t. razy dr na zielono. A jak obliczyć coś takiego? Chcę tylko wskazać, że to jest tylko z reguły łańcuchowej wielu zmiennych. Jak obliczyć taką całkę oznaczoną? Bierzesz funkcję pierwotną wnętrza względem dt. Więc jaka ona będzie? Bierzemy funkcje pierwotną wnętrza, czyli F. To będzie równe F(t). I jeszcze sprecyzuję. Napisałem wcześniej, że f jest funkcją. Więc nasze duże F jest funkcją x i y, która może być zapisana, ponieważ obie te funkcje (x i y) są zależne od t, może być zapisana jako F(x(t),y(t)) Przepisuję to na różne sposoby. I to może być zapisane jako po prostu F(t) wszystkie one są równoważne, zależnie od tego co chcemy zawrzeć, tylko x i y, tylko t, albo x(t) i y(t), ponieważ x i y są funkcjami t. Więc to jest pochodna F względem t. Jeśli to było tylko zależne od t, to jest pochodna tego względem t. Bierzemy funkcję pierwotną, i zostajemy tylko z f, i obliczamy to od t=a do t-b. Więc to jest równe -- i już kończymy -- to jest równe F(b) - F(a). Jeśli chcesz o tym myśleć w tych kategoriach, to dostaniesz to samo. To jest równe F(x(b),y(b)) minus f(x(a),y(a)) minus f(x(a),y(a)) One są równoważne. Dasz mi jakiś punkt na płaszczyźnie x,y, czyli jakieś x i y, i to mówi, gdzie jestem To jest moje duże F, daje nam wysokość. Tak po prostu. To przypisuje wartość każdemu punktowi na płaszczyźnie x,y. Pamiętaj to jest równe temu. To jest to, czego dowodziliśmy: to jest równe f kropka dr. f kropka dr, nasze pole wektorowe, które jest gradientem F -- pamiętaj, f jest gradientem F, zakładamy, że f jest gradientem funkcji F, jeśli to prawda, to właśnie używając rachunku całkowego, pokazaliśmy, że można wyliczyć tą całkę badając wartość F w punkcie b, a później odejmując wartość F w punkcie a. I to pokazuje, że ta całka, jej wartość jest zależna tylko od punktu startowego, t=a, punktu (x(a),y(a)) i punktu końcowego, t=b, czyli (x(b),y(b)). Ta całka zależy tylko od tych dwóch wartości. Skąd to wiem? Ponieważ, żeby ją policzyć -- mówię, że to istnieje -- muszę wyliczyć to w tych dwóch punktach; krzywa pomiędzy nie jest ważna. Więc to pokazuje, że jeśli f jest równe gradientowi -- to jest często nazywane polem potencjalnym F, chociaż zwykle są one przeciwne, ale idea jest ta sama-- jeśli pole wektorowe f jest gradientem jakiegoś pola skalarnego F, to możemy powiedzieć, że f jest zachowawcze czyli, że całka z f jest niezależna od drogi. Nie ważne, jakimi drogami się poruszamy, o ile ich końce są te same. Mam nadzieję, że uważasz to za przydatne. I będę omawiał przykłady. W następnym filmie udowodnię inny ciekawy przypadek bazując na tym.