If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Scalar field line integral independent of path direction

Showing that the line integral of a scalar field is independent of path direction. Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

W ostatnim wideo widzieliśmy, że jeśli mamy krzywą w płaszczyźnie x,y W ostatnim wideo widzieliśmy, że jeśli mamy krzywą w płaszczyźnie x,y i sparametryzujemy ją w ten sposób to możemy wygenerować drugą parametryzację która zasadniczo opisuje tą samą krzywą, ale w przeciwnym kierunku. Rozpoczyna się tutaj i trafia tutaj, a t jest przechodzi od a do b, w przeciwieństwie do pierwszej parametryzacji rozpoczęliśmy z t=a tutaj, i przeszliśmy w ten sposób. Pytanie na które odpowiem w tym filmie brzmi: "Jak całka krzywoliniowa pola skalarnego nad tą krzywą (C).." , więc to jest moje pole skalarne, jest funkcją x i y," Jak całka krzywoliniowa pola skalarnego wzdłuż tej krzywej wiąże się z całką tego samego pola skalarnego wzdłuż odwrotnej krzywej, krzywej w drugą stronę. Więc pytanie brzmi: "Czy ma znaczenie czy poruszamy się w tym kierunku, lub w takim kierunku, kiedy rozważamy całkę krzywoliniową pola skalarnego?" I w następnym wideo, pokażę, czy to zależy od pola wektorowego. Zobaczmy, czy mamy jakąś intuicyjną odpowiedź, zanim udowodnimy rozwiązanie. Więc tu narysuję wykres. W zasadzie zrobię to troszkę niżej, bo sądzę że przyda mi się więcej miejsca. Więc tu jest oś y, to jest oś x, a tu pionowa oś - z Tu narysuję pole skalarne. Więc narysuję jakąś powierzchnię, a w zasadzie jej część. To jest moje pole skalarne, to jest funkcja x i y. Każdemu punktowi na płaszczyźnie x-y przypisujemy wysokość, która opisuje tą powierzchnię, to pole skalarne. I jeszcze narysuję tu krzywą. Więc niech to będzie krzywa C. A orientacja jest taka, że zaczynamy tu, i poruszamy się w tym kierunku. To była nasza krzywa C. I z kilka filmów temu wiemy jak należy wizualizować co oznacza ta całka krzywoliniowa, zasadniczo staramy się wyliczyć obszar zasłony, który ma tą krzywą jako podstawę i jej góra jest zdefiniowana przez tą powierzchnię, przez pole skalarne. Tak dosłownie tylko staramy się znaleźć obszar tego pozakrzywianego kawałka papieru lub ściany, czy jakkolwiek chcesz to nazwać. To właśnie to. Teraz jeśli weźmiemy tą samą całkę, ale odwróconą krzywą, zamiast iść w tym kierunku, będziemy szli w przeciwnym. Bierzemy krzywą i idziemy od góry do dołu. Ale idea jest ta sama. Wiesz, ja nie wiem, która z nich jest C, a która z jest -C. Mogłem określić tą drogę idącą w tym kierunku jako C, a ścieżka -C zaczęłaby się tu, i podeszła do góry. Więc wydaje się, że w każdym przypadku, niezależnie od tego, co robię, będę się starał wyliczyć powierzchnię tego zakrzywionego kawałka papieru. Więc moje intuicja mówi mi, że w obu przypadkach liczę powierzchnię tego zakrzywionego kawałka papieru, więc może wyjdzie to samo. Nie udowodniłem jeszcze nic, ale wydaje się, że powinny one być sobie równe, prawda? W tym przypadku powiedzmy, że biorę, pozwól mi wyjaśnić to dokładnie. Biorę ds. małą zmianę odległości, zrobię to używając innego koloru. małą zmianę odległości i mnożę ją przez wysokość, aby znaleźć jakby różniczkę powierzchni. I zamierzam je pododawać do siebie aby uzyskać całą powierzchnię. Tu robię to samo. Biorę małe ds, i pamiętaj, że ds zawsze będzie dodatnie, dzięki sposobowi parametryzacji. To jest najtrudniejsze slowo w angielskim do wypowiedzenia dla mnie Więc tutaj też bierzemy ds, i pomnożymy je przez wysokość. Więc po raz kolejny weźmy powierzchnię I chcę ją zróżniczkować względem.. kiedy bierzemy zwykłą całkę od a do b, powiedzmy z f(x) dx wiemy, że kiedy zamienimy granice całkowania to sprawi, że całka jest przeciwna do początkowej (razy -1). To się równa -1 razy całka od b do a z f(x) dx. I powód dlaczego tak jest, to, jeśli sobie wyobrazisz, że to jest a, to jest b, a to moje f(x). Kiedy robisz to w tę stronę dx zawsze będą dodatnie. Kiedy poruszamy się w tym kierunku, dx zawsze będzie dodatnie, prawda? Przy każdym przyroście prawa granica będzie wyższa od lewej granicy. Dzięki temu dx są dodatnie. W tym przypadku dx będą ujemne. Wysokości będą takie jak poprzednio, zawsze zawsze będą równe f(x), ale tu zmiana x jest ujemną zmianą x, kiedy idziesz od b do a. Dlatego uzyskujesz przeciwną wartość całki. W obu przypadkach tutaj są nasza ścieżka się zmienia, ale nasze ds będzie dodatnie. Sposób w który narysowałem tę powierzchnię, jest powyżej płaszczyzny x-y, f(x,y) również będzie dodatnie. Tak więc to też daje nam intuicję, że to powinien być ten sam obszar. Ale udowodnijmy to sobie. Więc zacznijmy od naszej pierwszej parametryzacji, tak jak zrobiliśmy w ostatnim wideo. Mamy x jest równe x(t), y jest równe y(t), i zajmujemy się tym, kiedy t przechodzi od a do b. Wiemy, że będziemy potrzebować pochodnych tego, więc zapiszmy je teraz. Możemy zapisać dx/dt jest równe x'(t), i dy/dt jest równe y'(t). Nie jest to nic przełomowego. Ale wiemy całka nad C z f(x,y) (f jest polem skalarnym, nie polem wektorowym.) ds jest równa całce od t=a do t=b z f(x(t),y(t)) razy pierwiastek kwadratowy z [(dx/dt) do kwadratu, co jest równe x'(t) kwadrat, dodać (dy/dt) kwadrat, równe y'(t) kwadrat. dodać (dy/dt) kwadrat, równe y'(t) kwadrat. Wszystko pod pierwiastkiem, razy dt. Ta całka jest dokładnie tym, pod warunkiem takiej parametryzacji. Teraz zróbmy wersję z -C. Zrobię to na pomarańczowo. a wiec wersja -C Właściwie, to zrobię wersję -C tutaj. Tym razem mamy x jest równe, pamiętamy to z początku, to było z poprzedniego filmiku. x jest rowny a+b-t , a przepraszam x nie jest rowny a+b-t x jest równy x(a+b-t) troche sie zapedzilem y jest równe y(a+b-t) i t przebiega od a do b, i to jest dokładnie to co zrobiliśmy w poprzednim wideo. x jest równy x(a+b-t) , y jest równy y(a+b-t), ta sama krzywa, tylko w przeciwnym kierunku, dla t rosnącego od a do b. Ale policzmy pochodne. zrobię to w kolorze pochodnych. Więc dx/dt Dla tej ścieżki będzie troszkę inaczej Musimy teraz użyć reguły łańcuchowej. Pochodna wnętrza względem t. To są stałe. Pochodna minus t względem t to -1. Więc o jest -1 razy pochodna zewnętrza względem wnętrza. Dobrze, to jest x'(a+b-t) albo możemy to zapisać jako -x'(a+b-t) dy/dt tak samo. Pochodna wnętrza to -1 względem t, prawda? Pochodna -t to po prostu -1. razy pochodna zewnętrza, względem wnętrza Więc y'(a+b-y), to samo, co -y'(a+b-t) Więc mając podane to wszystko, jaka będzie wartość całki pola skalarnego f(x,y) nad -C względem ds? Czemu to będzie równe? Dobrze, to będzie całka od, można prawie dopasować ją do poprzedniej. t jest równe a do t jest równe b z f(x,y). Ale teraz x nie jest już x(t). x jest teraz równy x(a+b-t) x(a+b-t) Jest trochę skomplikowane, ale nic tu nie jest przełomowe. Mam nadzieję, że to nie jest zbyt skomplikowane. I znowu, y nie jest już y(t). y jest y(a+b-t) y(a+b-t) Teraz mnożymy przez pierwiastek kwadratowy, zamienię kolory, razy pierwiastek kwadratowy dx/dt kwadrat Czym jest dx/dt kwadrat? dx/dt kwadrat, to po prostu ta rzecz podniesiona do kwadratu, albo to w kwadracie. Jeśli mamy -p do kwadratu, to jest to samo, co p do kwadratu, prawda? To jest równe -x'(a+b-t) do kwadratu, co jest równe x'(a+b-t) do kwadratu. co jest równe x'(a+b-t) do kwadratu. Tracisz informację o znaku, kiedy podnosisz do kwadratu. Więc to będzie równe x'(a+b-t) kwadrat, cała funkcja do kwadratu, plus dy/dt kwadrat. tak samo, to będzie, stracisz znak minus kiedy podnosisz do kwadratu. y'(a+b-t) kwadrat Poszerzę pierwiastek. I to wszystko jeszcze dt. Więc to jest całka krzywoliniowa nad krzywą C, to jest całka krzywoliniowa nad krzywą minus C. Nie wyglądają jeszcze na równe. Ta wygląda na bardziej złożoną niż tamta. Więc zobaczmy, czy możemy ją jakoś uprościć. I być może uprościmy ją używając podstawienia. Niech, wezmę dobry kolor na podstawienie, więc niech u będzie równe a+b-t. Najpierw musimy wyliczyć granice naszej całki, w zasadzie to po prostu zobaczmy czym jest du? Więc du/dt, pochodna u względem t to po prostu -1, możemy powiedzieć, że du, jeśli pomnożymy obie strony przez różniczkę dt, jest równe -dt. Sprawdźmy granice całkowania. Kiedy t jest równe a, u jest równe...? u jest równe a+b-a, czyli po prostu b. A następnie kiedy t=b, u jest równe a+b-b, co jest równe a. Więc jeśli zrobimy podstawienie w tej szalonej, skomplikowanie wyglądającej całce, uprości się nam trochę i zmienia się Więc ta całka będzie równa całką od u, kiedy t=a, u=b. Do t=b, u=a. ta rzecz t jest równa u, więc x(u), Więc sporo się uprościło. i y od tego tu, to jest równe u, to y(u). pomnożone przez pierwiastek kwadratowy -- zrobię to w tym samym kolorze. razy pierwiastek kwadratowy z x'(u) do kwadratu plus y'(u) kwadrat. y'(u) kwadrat. zamiast dt, możemy napisać, jeśli pomnożymy obie strony przez -1, dostaniemy dt równa się -du. więc zamiast dt, piszemy -du. Więc to razy -dy, albo żebyśmy nie sądzili, że to odejmowanie, napiszmy minus tutaj, a początku. Więc będziemy to całkować od b do a. I żeby granice całkowania były rozsądniejsze, bo wiemy, że a jest mniejsze od b, zamieńmy je. I jak powiedziałem na początku, dla zwykłej, normalnej całki oznaczonej, jeśli zamienisz, jeśli masz coś od a do b z f(x) dx, albo jak tu, z f(u) du To jest równe -1 razy całka od a do b z f(u) u I zrobiliśmy tak dzięki rozumowaniu, naszkicowanemu tutaj. Używając tego tu, kiedy zamienisz kolejność, du stanie się przeciwne, kiedy sobie to wyobrazisz, kiedy szukasz powierzchni pod krzywą. Zróbmy tak. Zmieńmy tu granice całkowania. I jeśli to zrobimy, to pomnożymy przez -1 tą ujemną, zmienimy ją na dodatnią. Więc to będzie całka od a do b. Opuszczam znak -, bo zamieniłem te dwie rzeczy. Więc będę miał przeciwną do ujemnej, czyli dodatnią. Z f od x(u), y(u), razy pierwiastek x'(u) kwadrat, plus y'(u) kwadrat du. Teraz należy pamiętać, że wszystko co zrobiliśmy, to po prostu podstawienie. To wszystko jest równe, nie zapominajmy, co chcemy wykazać, to jest całka po przeciwnej krzywej, z naszego pola skalarnego, f(x,y) ds Teraz, jak to się wiąże, z całką po zwykłej (nieodwróconej) krzywej Jak to zestawić? Skopiuję to i wkleję, żeby było widać. Nie tak, użyłem złego narzędzia. Pozwól mi skopiować, żeby zobaczyć, czym się różnią. Kopiuj, teraz przejdę w dół, edycja, wklej. W jaki sposób porównać te dwie rzeczy? Przyjrzyjmy się dokładnie. Wyglądają dosyć podobnie, prawda? Tutaj, dla ujemnej krzywej, mamy wszędzie u a tu, dla dodatniej mamy t dokładnie w tych samych miejscach. To są dokładnie te same całki. Jeśli podstawimy u tutaj, jeśli zrobimy podstawienie u=t, to zamienimy to na całkę z a do b, z dokładnie tego samego. f(x(u),y(u)) razy pierwiastek kwadratowy z x'(u) kwadrat plus y'(u) kwadrat, du. Te dwie rzeczy są identyczne. Więc zrobiliśmy podstawienia i wszystko, i dostaliśmy takie same całki. Mam nadzieję, że to pokazuje, że nie ma znaczenia, w którą stronę jest krzywa, o ile kształt krzywej jest taki sam. Nie ma znaczenia, czy idziemy do przodu, czy do tyłu po krzywej, dostaniemy taką samą odpowiedź. I ja uważam, że to zgadza się z intuicją, ponieważ w obu przypadkach, liczymy powierzchnię tej zasłony. przypadkach, liczymy powierzchnię tej zasłony