Vector field line integrals dependent on path direction

Powiedzmy, że mam funkcję wektora wodzącego, która wygląda tak: r(t) jest równe x(t) razy wektor jednostkowy i plus y(t) razy wektor jednostkowy j. I pozwól, że to narysuję. Więc powiedzmy, r(t) ... Narysuję to trochę równiej. Więc to jest moja oś y, a to oś x, i powiedzmy, że r(t) dla t mniejszego od... Więc to jest dla t pomiędzy a i b Dla t = a jesteśmy w tym wektorze. Jeśli podstawimy t=a do równania, to dostaniemy wektor wodzący wskazujący ten punkt. Później, jak t rośnie, zakreśla krzywą, a w zasadzie końce naszych wektorów wodzących zakreślają krzywą, która wygląda mniej więcej tak. Więc jeśli t=b dostajemy wektor wodzący wskazujący na ten punkt tutaj. Więc to określa drogę, która jest w tym kierunku ("w górę"), w ten sposób. Weźmy teraz drugą funkcję wektora wodzącego. Nazwę ją r (t). Jest inna. To jest zielone r. r(t). Zamiast brać x(t) razy i, wezmę x(a+b-t) razy i, a zamiast y(t) wezmę y(a+b-t) razy j. a zamiast y(t) wezmę y(a+b-t) razy j. I to już widzieliśmy w ostatnich dwóch filmach. Ta droga, określona przez tę funkcję wektora wodzącego będzie wyglądała w ten sposób. Narysuję osie. Moja oś y i oś x. Może powinienem je oznaczyć, y i x. Droga będzie wyglądała w ten sposób. Ale zamiast zaczynać się tu i iść w górę, kiedy t=a. Oczywiście, to też zachodzi dla t pomiędzy a i b. t pomiędzy a i b. Ale tu kiedy t=a podstawiamy to tu, i dostajemy ten wektor. Zaczniemy tu, i w miarę wzrostu t dostaniemy tę samą drogę ale w przeciwnym kierunku. Więc dla t=b, podstawiam tu, i dostanę x(a) i y(a), bo b się skrócą. Więc dostanę ten punkt. Więc drogi są takie same, oczywiście kształt jest ten sam, ale idziemy w przeciwnych kierunkach. kształt jest ten sam, ale idziemy w przeciwnych kierunkach. Więc w tym filmie zobaczymy, co się stanie kiedy wezmę pole wektorowe f(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j f(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j To po prostu pole wektorowe nad płaszczyzną x-y. Jak całka krzywoliniowa tego pola wektorowego, wzdłuż tej krzywej ma się do całki tego samego pola wektorowego wzdłuż przeciwnej krzywej. Jak to się ma do tego. Oznaczmy tę przeciwną krzywą -C. Więc to jest początkowa krzywa, a tą będę nazywał przeciwną krzywą. Więc jak całkowanie wzdłuż C ma się do całkowania wzdłuż -C? Więc zanim zagłębię się w obliczenia, zastanówmy się przez chwilę. Więc narysujmy pole wektorowe f. Więc może ono wygląda tak, narysuję coś losowego. Więc każdemu punktowi na płaszczyźnie x-y przypisujemy wektor. Więc każdemu punktowi na płaszczyźnie x-y przypisujemy wektor. Ale obchodzą nas tylko punkty z krzywej. Więc tak wygląda pole wektorowe, na punktach z krzywej. I narysuję to też tu, dla wszystkich punktów z krzywej. To jest nasze pole wektorowe. Zastanówmy się jaką mamy intuicję. Sumujemy po punktach, bierzemy każdy punkt z krzywej i sumujemy, zacznę tu. Bierzemy każdy punkt z krzywej, zrobię to w innym kolorze. Sumujemy iloczyny skalarne wartości pola wektorowego w tym punkcie, iloczyn skalarny tego z dr, czyli różniczką naszej funkcji wektora wodzącego. dr, jak można sobie wyobrazić jest nieskończenie krótkim wektorem, idącym w kierunku naszego ruchu. Liczymy iloczyn skalarny, więc będzie to wartość skalarna, ale iloczyn skalarny, jeśli pamiętasz, to długość wektora f w kierunku dr, pomnożona przez długość dr. Więc można sobie wyobrażać, że to cień f na dr. Przybliżę to, bo tak będzie wygodniej. Więc to co co tu rysuję, powiedzmy że to moja droga. To jest wartość f w tym punkcie. f w punkcie wygląda jakoś tak. dr w tym punkcie wygląda mniej więcej tak. Zrobię to w innym kolorze. dr wygląda jakoś tak. Więc to jest f. Więc iloczyn skalarny tych dwóch daje informację, jak bardzo f wskazuje w tym samym kierunku co dr. I można sobie wyobrazić, że jest cień. Jeśli wezmę f w tym samym kierunku co dr, to iloczyn skalarny będzie iloczynem ich długości. to iloczyn skalarny będzie iloczynem ich długości. W tym przypadku dostaniemy dodatni wynik. Ponieważ ta długość jest dodatnia i ta długość też jest dodatnia, wynik będzie dodatni. Teraz jeśli dr byłoby w przeciwnym kierunku, niż w tym przypadku. Więc narysuję kawałek krzywej. Mamy nasze f, wygląda mniej więcej tak. Rysuję tą samą część krzywej, ale teraz dr nie jest takie jak ostatnio. Nasze dr w tym punkcie będzie szło w przeciwnym kierunku. Badamy krzywą w przeciwnym kierunku. Nasze dr będzie teraz w tę stronę. Licząc iloczyn skalarny f i dr, bierzemy cień, czyli jaka część f pokazuje w kierunku dr. Bierzemy cień tu, ale ale f idzie w przeciwnym kierunku niż dr. Więc można sobie wyobrazić, że kiedy pomnożymy wartości powinniśmy otrzymać ujemny wynik. Nasz kierunek jest teraz przeciwny, więc cień f na dr wskazuje w przeciwną stronę niż dr (ma przeciwny zwrot). W tym przypadku był w tę samą stronę, co dr. Więc intuicja jest taka, że te dwie rzeczy będą swoimi przeciwieństwami. Teraz zrobimy obliczenia i sprawdzimy, czy tak właśnie jest. Więc zacznijmy od wypisania wyrażenia na różniczkę dr. W tym przypadku dr względem dt będzie równe x'(t) razy i plus y'(t) razy j. W drugim przypadku, odwrotnym przypadku, dr względem dt będzie równe, ile będzie równe? To pochodna x względem t. Pochodna tego wyrazu względem t, to pochodna wnętrza, czyli minus 1, razy pochodna zewnętrza względem wnętrza. Więc to będzie pochodna wnętrza to -1, razy pochodna zewnętrza względem wnętrza. czyli x'(a+b-t)i I to samo dla drugiego wyrazu. Pochodna y(a+b-t) względem t, pochodna a+b-t czyli -1, razy pochodna zewnętrza [czyli y(a+b-t)] względem wnętrza [a+b-t] czyli y'(a+b-t) Więc to będzie pochodna wnętrza, razy y'(a+b-t)j. To jest dr/dt w tym przypadku, a to dr/dt w tym przypadku. Jeśli chcemy napisać różniczkę dr w przypadku drogi "w przód", będzie to x'(t)i plus y'(t)j razy skalar dt. Mogę je wymnożyć z każdym z tych wyrazów, ale zostawię je za nawiasem, żeby było czytelniej. Tak samo tutaj. dr jest równe -x'... ...Zmieniłem odcień zielonego, ale ciągle jest zielony.... -x'(a+b-t)i -y'(a+b-t)j, i mnożę obie strony przez dt. Teraz możemy to wyrazić jako funkcję t. Więc ta krzywa tutaj, niech będzie różowa, różowa krzywa będzie równa całce od t=a do t=b z f(x(t),y(t)) kropka (iloczyn skalarny) to tutaj, zapiszę tu, i uproszczę to później. x'(t)i+y'(t)j. i wszystko to mnożę przez skalar dt. to będzie skalar, więc będziemy mieli skalar dt tutaj. Jak będzie wyglądała przeciwna całka, całka po przeciwnej krzywej? Będzie całką od... ...Potrzebuję więcej miejsca.. od a do b, z nie f(x(t).. tylko f(x(a+b-t),y(a+b-t)) Piszę to małe, żeby zostało mi trochę miejsca. Kropka, to jest wektor, więc kropka to, kropka dr. Kropka -x'(a+b-t)i -y'(a+b-t).. Zużywam za dużo miejsca. Cofnę troszkę. W zasadzie to nawet to uproszczę. Wyciągnę minus przed nawias. W środku plusy, a minus przed nawiasem. Więc znak jest skalarem, więc możemy go wyłączyć z iloczynu skalarnego. Kiedy liczymy iloczyn skalarny i mnożymy skalar przez iloczyn skalarny, można go po prostu wyłączyć przed iloczyn, tylko o to mi chodzi. więc wyciągamy minus aż tutaj. Otrzymujemy x'(a+b-t)i+ y'(a+b-t)j ... przesunę trochę ... dt Więc to jest "w przód", tu idziemy po krzywej w kierunku "naprzód", a tu podążamy w odwrotnym kierunku. Więc teraz tak samo, jak w przypadku skalarnym zróbmy podstawienie. Chcę wyjaśnić, co zrobiłem. Jedyne, co tu zrobiłem, to wyłączyłem znak minus przed iloczyn skalarny i przed całkę. Jak tłumaczyłem, to jest to samo, co -1 razy tamto, albo -1 razy to jest tym samym co tamto. albo -1 razy to jest tym samym co tamto. Więc zróbmy podstawienie po tej stronie, bo chcę pokazać, że te wartości są przeciwne, tak jak nam się wydawało. Więc skupię się na tej stronie. Więc zrobię podstawienie. u=a+b-t wtedy du=-dt, prawda? Po prostu różniczkujemy obie strony. Albo dostajesz dt=-du. Dla t=a mamy u=a+b-a Dla t=a mamy u=a+b-a Więc u=b Kiedy t=b, u=a, prawda? Kiedy t=a mamy u=a+b-b, więc u=a. Więc to podstawienie upraszcza wyrażenie podcałkowe, a o to chodziło, dostajemy minus całka od u=b (kiedy t=a), od b. Kiedy t=b, u=a. Więc całka od u=b do u=a z f(x(u),y(u)), prawda? To jest u, to jest u. kropka x'(u)i, to jest stąd, plus y'(u)j i teraz zamiast dt chcę wstawić du. dt=-du. Więc mogę tu napisać -du, ale żeby nie mieszać napiszę tu du, i wyciągnę minus przed całkę. Już mam tu minus, więc one się skasują. Po prostu się kasują. I moglibyście powiedzieć, hej Sal, te dwie rzeczy wyglądają dosyć podobnie. Ale nie wyglądają na swoje przeciwieństwa. A ja bym odpowiedział, w zasadzie macie rację, ale tu granice całkowania są odwrócone. Więc ta całka tu, jak zamieniamy granice całkowania, musimy ją pomnożyć przez -1. Więc to będzie równe - całka od a do b z f(x(u),y(u)) kropka x'(u)i+y'(u)j du. z f(x(u),y(u)) kropka x'(u)i+y'(u)j du. I teraz całki są identyczne. Ta całka, ta całka oznaczona, jest taka sama jak ta całka oznaczona. Mamy tylko inną zmienną. Tu mamy dt, a tu du, ale wynik będzie taki sam dla każdego a i b, oraz ustalonych wektora f i r(t). Więc podsumowując, kiedy mamy do czynienia z całkami krzywoliniowymi pól wektorowych, kierunek ma znaczenie. Jeśli pójdziemy w przeciwnym kierunku dostaniemy przeciwną wartość. Dzieje się tak, ponieważ w każdym punkcie bierzemy iloczyn skalarny, a idziemy w przeciwnym kierunku, wiec wynik iloczynu skalarnego będzie przeciwny. Ale kiedy mamy do czynienia z polem skalarnym, widzieliśmy w ostatnim wideo, że nie ma znaczenia, w którym kierunku się poruszamy Droga "naprzód" daje tę samą wartość, co droga przeciwna. Dzieje się tak, bo liczyliśmy powierzchnię zasłony. Mam nadzieję, że uznacie to za delikatnie zabawne.