Wstęp do całek krzywoliniowych

Jeśli bylibyśmy tylko w dwóch wymiarach i chcielibyśmy znaleźć obszar pod krzywą, to mamy dobre narzędzia. żeby to zrobić i przypomnę teraz o tych narzędziach. Więc powiedzmy, że to jest oś X, to jest oś Y, pozwólcie mi narysować jakąś dowolną funkcję tutaj, i to jest moja funkcja f od x. I powiedzmy, że chcemy znaleźć obszar pomiędzy x równemu a, więc to jest x równe a, i x równemu b. Widzieliśmy to już wiele, wiele filmików temu. Możesz o tym myśleć jako o wzięciu bardzo małych szerokości x, albo bardzo małych zmian x. Moglibyśmy je nazwać delta x, ale ponieważ są tak małe, to będziemy je nazywać dx. Super, infinitezymalnie małe zmiany iksa. Następnie mnożysz je przez wartość f od x w tym punkcie. Więc mnożysz to razy wysokość w tym pukncie, która jest wartością f od x. Więc dostajesz f od x razy każdy z tych infinitezymalnie małych odcinków, która dadzą ci obszar tego infinitezymalnie wąskiego prostokątu tutaj. I ponieważ każda z tych rzeczy jest infinitezymalnie mała, będziesz miał nieskończoną ilość tych prostokątów tak, żeby zapełniły tą przestrzeń. Będziesz miał nieskończoną ilość tych prostokątów, tak? Tak więc narzędziem którego użyliśmy była całka oznaczona. Całka oznaczona jest sumą, jest nieskończoną sumą tych nieskończenie małych obszarów, tych nieskończenie małych prostokątów. I w notacji, której używamy, będą szły od a do b. I zrobiliśmy już wiele filmików o tym jak masz liczyć takie rzeczy. Chciałem tylko przypomnieć, ideę która za tym stoi. Mówi ona nam, weźmy małą zmianę iksa, pomnóżmy ją przez wysokość w tym punkcie i dostaniemy nieskończoną ilość tych prostokącików, ponieważ te iksy są bardzo małe, są nieskończenie małe, więc będziesz musiał mieć ich nieskończoną ilość. Więc weź nieskończoną sumę wszystkich tych, od x równego a do x równego b. I to jest właśnie nasza zwykła całka oznaczona. Teraz, w tym filmiku chcę rozszerzyć to, poszerzyć to troszeczkę, żeby rozwiązywało nam, można powiedzieć trudniejszą lub szerszą klasę problemów. Powiedzmy, że mamy... przejdźmy teraz do trzech wymiarów. Najpierw narysują płaszczyznę XY. Może zostawię to, żeby analogia była jaśniejsza.