Całka krzywoliniowa przykład 1

Ostatni film był dość mocno abstrakcyjny, używałem, f od x, g od t, i h od t. To co chcę zrobić w tym filmie to rozwiązać konkretny przykład. Powiedzmy, że mamy f od x,y. Powiedzmy, że to f od x,y, równa się xy. I powiedzmy, że mamy drogę na płaszczyźnie XY, lub krzywą na płaszczyźnie XY. Zdefiniuję moją krzywą jako x równe cosinus od t, i y równe sinus od t. I będziemy szli od - jak wiecie musimy ustalić w jakich granicach zawiera się nasze t - i będziemy szli od t równego 0 - albo t będzie większe lub równe od 0 - i potem mniejsze lub równe od. Będziemy używać radianów, pi przez 2. Gdyby to były stopnie, to byłoby 90 stopni. Więc to jest nasza krzywa. I od razu możecie już wiedzieć jak taki rodzaj krzywej wygląda. Mam zamiar bardzo szybko narysować to tutaj, a następnie spróbujemy sobie to zwizualizować. Przygotowałem sobie to już wcześniej więc będziemy mogli to obejrzeć. Więc ta krzywa tutaj, gdybym tylko narysował ją na zwykłej płaszczyźnie XY - zrobię to innym kolorem, żebyśmy mogli zrobić zieloną krzywą; powiedzmy, że to jest y, a to tutaj to jest x - więc kiedy t jest równe 0, x będzie się równać cosinusowi od 0. Cosinus od 0 to 1, y będzie równać się sinusowi od 0, czyli 0, więc t równa się 0. Będziemy w x równym 1, to jest cosinus od 0, oraz y to sinus od 0, y będzie równy 0, więc będziemy właśnie tutaj. To jest kiedy t równa się; t równa się 0. Kiedy t równa się pi przez 2, co się wtedy stanie? Cosinus od pi przez 2 - to jest kąt; cosinus od pi przez 2 - to jest 0. Sinus od pi przez 2 to jest 1. Będziemy w punkcie (0,1). Zatem to miejsce w którym jesteśmy gdy t równa się pi przez 2. Możecie zauważyć, że to co chcemy narysować to właściwie pierwsza ćwiartka okręgu jednostkowego; kiedy t równa się pi przez 4 lub 45 stopniom, będziemy w punkcie pierwiastek kwadratowy z 2 przez 2, pierwiastek kwadratowy z 2 przez 2. Możecie to wypróbować samodzielnie, ale my będziemy mieć po prostu krzywą, która wygląda właśnie tak. To będzie prawa górna część okręgu, okręgu jednostkowego. To będzie mieć promień równy 1. I będziemy poruszać się w tym kierunku, od t równego 0 do t równego pi przez 2. Tak wygląda ta krzywa. Jednak naszym celem nie jest tylko narysowanie równania parametrycznego. To co chcemy zrobić to postawić płot o takiej podstawie i wznieść go na taką wysokość. Zobaczmy więc czy możemy to zrobić lub chociaż zwizualizować sobie to na początku, i potem użyjemy tych samych narzędzi których używaliśmy w poprzednim filmie. Więc tutaj narysowałem tę funkcję, i lekko to obróciłem tak abyście mogli zobaczyć oba przypadki. To tutaj - wezmę tylko jakieś ciemniejsze kolory - to tutaj to jest oś X, to z tyłu to jest oś Y, i ta pionowa oś to oś Z. To jest właściwie 2, tutaj jest 1, y równe 1 jest w tym miejscu, więc to jest rysowane w ten sposób. Więc gdybym chciał narysować ten kontur na płaszczyźnie XY, leżałby pod tym wykresem i wyglądałby jakoś tak - zobaczmy czy mogę go narysować - to wyglądałoby jakoś w ten sposób. To byłoby na płaszczyźnie XY. f od x,y jest równe xy. To jest f od x; f od x,y równa się xy. Oba są takie same, ja tylko je obróciłem. W tej sytuacji to tutaj to jest oś X. Wykonałem obrót w lewo, możecie sobie to wyobrazić. To tutaj to oś X, tutaj jest oś Y - to zostało obrócone bliżej mnie - to jest oś Z. Wtedy ta krzywa, gdybym chciał ją narysować po tym obróceniu, będzie wyglądać tak: kiedy t jest równe 0, jesteśmy w x równym 1, y równym 0 i to zakreśli okrąg jednostkowy, połowę lub ćwiartkę okręgu jednostkowego w taki sposób. Kiedy t równa się pi przez 2, będziemy tutaj. To co chcemy zrobić to znaleźć powierzchnię zasłony określonej jako Popatrzmy, rozwieśmy zasłonę od tej krzywej aż do wykresu f od x,y. Więc jeśli stawialibyśmy ściany stąd do wykresu xy, otrzymalibyśmy ścianę wyglądającą w taki sposób. Pozwólcie mi to zacieniować, pokolorować tak aby wyglądało to wyraźniej. Zatem ściana która wygląda w taki sposób. Gdybym chciał zrobić to samo tutaj, to leżałoby pod sufitem, a ściana wyglądałaby jakoś tak w tym miejscu. Chcemy znaleźć pole tej powierzchni. Chcemy znaleźć pole tej powierzchni tutaj, której podstawa jest zdefiniowana przez tą krzywą, a sufit jest określony przez tą powierzchnię tutaj, xy, którą narysowałem i obróciłem na dwa sposoby. W ostatnim filmie doszliśmy do, ok, możecie się spierać o to czy jest to proste, ale pomysł jest taki: weźmy kawałki krzywej o małej długości - przyrosty długości krzywej, i pomnóżmy je przez wysokość w tym punkcie. Te małe zmiany w długości łuku, nazywamy je ds, a wysokość w tym punkcie to po prostu f od x,y w tym punkcie. Weźmiemy nieskończoną sumę takich pól, od t równego 0 do t równego pi przez 2, i to powinno nam dać pole powierzchni tej ściany. Zatem powiedzieliśmy, że do znalezienia pola tej powierzchni po prostu bierzemy całkę od t równego 0 do t równego pi przez 2 - to nie ma zbyt wielkiego sensu kiedy zapisuję to w ten sposób - od f od x,y - albo lepiej, zamiast pisać f od x,y, napiszę po prostu właściwą funkcję. Bądźmy bardziej konkretni. Więc f od x,y to xy, razy - więc konkretne xy - razy mała zmiana długości krzywej w tym punkcie. Będę tutaj sporo machać rękoma. To wszystko to mała powtórka poprzedniego filmu. W ostatnim filmie doszliśmy do tego, że ten przyrost długości krzywej tutaj, ds, doszliśmy do tego, że możemy to zapisać jako pierwiastek kwadratowy z dx po dt - lub pochodna x liczona po t, do kwadratu - dodać pochodna y liczona po t, do kwadratu, i to wszystko razy dt. Więc tylko przebudowuję wzór który otrzymaliśmy w poprzednim filmie. Więc to wyrażenie może zostać zapisane jako całka od t równego 0 do t równego pi przez 2 razy xy. Jednak wiecie co? Ostatecznie będziemy chcieli mieć wszystko w postaci zależnej od t. Zatem zamiast pisać x razy y, podstawmy parametryzację. Więc zamiast x napiszmy cosinus od t. To jest x. x równa się cosinusowi t na tej krzywej. Tak definiujemy x, w zależności od t. Potem razy y, które mówimy, że wynosi sinus od t. To nasze y; wszystko co zrobiłem to przepisanie xy w formie zależnej od t, razy ds. to jest ds; to jest pierwiastek kwadratowy z pochodnej x po t, do kwadratu dodać pochodną y po t, do kwadratu. To wszystko razy dt. Teraz musimy obliczyć tylko te dwie pochodne. To może wyglądać na trudne, ale dla nas bardzo proste jest znalezienie pochodnej x po t i pochodnej y po t. Mogę to zrobić tu niżej. Pozwólcie mi schować te wykresy na chwilę. Wiemy, że pochodna x po t to będzie po prostu: jaka jest pochodna cosinusa od t? Dobrze, to jest minus sinus od t. Jaka jest pochodna y po t? Pochodna sinusa od jakiegoś argumentu to cosinus od tego argumentu. Więc to jest cosinus od t. I możemy z powrotem to podstawić do równania. Pamiętajcie, próbujemy znaleźć pole powierzchni tej zasłony, która ma naszą krzywą w swojej "podstawie" i ma tę funkcję, tę powierzchnię jako sufit. Więc wróćmy tu niżej i pozwólcie mi przepisać to wszystko. Zatem to staje się całką od t równego 0 do t równego pi przez 2 - nie podoba mi się ten kolor - od cosinus od t, sinus od t, cosinus razy sinus - to po prostu xy - razy ds, które jest tym wyrażeniem. Teraz możemy zapisać to jako - zmienię z powrotem na ten kolor który mi się nie podoba - pochodna x po t to minus sinus od t, i podnosimy to do kwadratu, dodać pochodna y po t, to jest cosinus od t, i podnosimy to do kwadratu - pozwólcie, że powiększę trochę mój pierwiastek - i następnie wszystko to razy dt. To nadal może wyglądać jak bardzo trudna całka dopóki nie zauważycie, że to tutaj; kiedy podnosicie liczbę ujemną do kwadratu, dostajecie to samo. Pozwólcie mi to przepisać, zrobię to tutaj na boku. Minus sinus t do kwadratu dodać cosinus t, do kwadratu, to jest równe sinus t do kwadratu dodać cosinus t do kwadratu. Tracicie informację o znaku kiedy podnosicie coś do kwadratu; to staje się po prostu dodatnie. Więc te dwie rzeczy są sobie równe. A to jest najbardziej podstawowa tożsamość trygonometryczna. To pochodzi wprost z definicji okręgu jednostkowego: sinus do kwadratu dodać cosinus do kwadratu równa się po prostu 1. Zatem to wszystko pod znakiem pierwiastka równa się po prostu 1. I bierzemy pierwiastek kwadratowy z 1, a to jest po prostu 1. Więc te wszystkie rzeczy tutaj stają się 1. Więc ta szalona całka całkiem sporo się upraszcza i równa się po prostu całce od t równego 0, do t równego pi przez 2 z - zamienię miejscami te dwie rzeczy tylko dlatego, że trochę to uprości następny krok - z sinus t razy cosinus t, dt. Wszystko co zrobiłem, to wszystko równa się 1, pozbyłem się tego, i po prostu zamieniłem kolejność tych funkcji. To sprawi, że kolejny krok będzie trochę prostszy do wyjaśnienia. Teraz ta całka - sinus t razy cosinus t, jaka jest funkcja pierwotna tego? I pierwsza rzecz jaką powinniście zauważyć, hej, mam tutaj funkcję czy wyrażenie i mam jego pochodną. Pochodną sinusa t jest cosinus t. Możecie być w stanie dokonać podstawienia u w głowie; zrobienie tego w myślach jest dobrą umiejętnością. Ale ja zrobię to bardzo dokładnie. Więc jeśli macie coś i pochodną tego czegoś, definiujecie u jako to coś. Zatem mówicie, że u równa się sinus od t, i potem du/dt, pochodna u po t, jest równa cosinus od t. Lub jeśli pomnożycie obie strony przez dt, jeśli nie chcemy być zbyt rygorystyczni, dostaniecie, że du równa się cosinus od t razy dt. Zauważcie, tutaj mam u. Potem cosinus t, dt, to wyrażenie tutaj, ta rzecz jest równa du. Następnie pozostaje nam tylko zmienić granice całkowania. Kiedy t jest równe 0 - mam na myśli, że to wszystko zamieni się w całkę - zamiast t równego 0, kiedy t jest równe 0, ile wynosi u? Sinus od 0 to 0, więc to idzie od u równego 0. Kiedy t jest równe pi przez 2, sinus od pi przez 2, równa się 1. Więc kiedy t równa się pi przez 2, u równa się 1. Zatem od u równego 0 do u równego 1. Po prostu zamieniliśmy granice całkowania. Następnie zamiast sinus od t, napiszę u. Oraz zamiast cosinus od t, dt, napiszę po prostu du. I teraz jest to super łatwa całka ze zmienną u. To się równa: funkcja pierwotna u to 1/2 razy u do kwadratu - po prostu zwiększyliśmy wykładnik i potem podzieliliśmy przez ten zwiększony wykładnik - więc 1/2 u do kwadratu, i chcemy to obliczyć od 0 do 1. Zatem to będzie równe 1/2 razy 1 do kwadratu minus 1/2 razy 0 do kwadratu, co jest równe 1/2 razy 1 minus 0, co jest równe 1/2. Więc wykonaliśmy całą pracę i dostaliśmy ładną, i prostą odpowiedź. Pole powierzchni tej zasłony - właśnie policzyliśmy całkę krzywoliniową - pole powierzchni tej zasłony, wzdłuż tej krzywej tutaj wynosi - pozwólcie, że zrobię to ciemniejszym kolorem - 1/2. Rozumiecie, jeśli to byłoby w centymetrach, to byłoby 1/2 centymetra kwadratowego. Więc myślę, że to było całkiem ładne zastosowanie całki krzywoliniowej.