Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4
Lekcja 1: Całki krzywoliniowe dla funkcji skalarnychCałka krzywoliniowa przykład 1
Konkretny przykład użycia całki krzywoliniowej. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Ostatni film był dość
mocno abstrakcyjny, używałem, f od x,
g od t, i h od t. To co chcę zrobić w tym filmie
to rozwiązać konkretny przykład. Powiedzmy, że mamy
f od x,y. Powiedzmy, że to f od x,y,
równa się xy. I powiedzmy, że mamy drogę
na płaszczyźnie XY, lub krzywą na płaszczyźnie XY. Zdefiniuję moją krzywą
jako x równe cosinus od t,
i y równe sinus od t. I będziemy szli od -
jak wiecie musimy ustalić w jakich granicach zawiera się nasze t
- i będziemy szli od t równego 0 - albo t będzie
większe lub równe od 0 - i potem mniejsze lub równe od. Będziemy używać
radianów, pi przez 2. Gdyby to były stopnie,
to byłoby 90 stopni. Więc to jest nasza krzywa. I od razu możecie już
wiedzieć jak taki rodzaj krzywej wygląda. Mam zamiar bardzo szybko
narysować to tutaj, a następnie spróbujemy
sobie to zwizualizować. Przygotowałem sobie to
już wcześniej więc będziemy mogli to obejrzeć. Więc ta krzywa tutaj,
gdybym tylko narysował ją na zwykłej płaszczyźnie XY -
zrobię to innym kolorem, żebyśmy mogli zrobić zieloną krzywą;
powiedzmy, że to jest y, a to tutaj to jest x - więc kiedy t jest
równe 0, x będzie się równać cosinusowi od 0. Cosinus od 0 to 1,
y będzie równać się sinusowi od 0, czyli 0, więc
t równa się 0. Będziemy w x równym 1,
to jest cosinus od 0, oraz y to sinus od 0, y będzie
równy 0, więc będziemy właśnie tutaj. To jest kiedy t równa się;
t równa się 0. Kiedy t równa się pi przez 2,
co się wtedy stanie? Cosinus od pi przez 2 -
to jest kąt; cosinus od pi przez 2 - to jest 0. Sinus od pi przez 2 to jest 1. Będziemy w punkcie (0,1). Zatem to miejsce w którym
jesteśmy gdy t równa się pi przez 2. Możecie zauważyć, że to co
chcemy narysować to właściwie pierwsza ćwiartka okręgu jednostkowego;
kiedy t równa się pi przez 4 lub 45 stopniom, będziemy w
punkcie pierwiastek kwadratowy z 2 przez 2, pierwiastek kwadratowy z 2 przez 2. Możecie to wypróbować
samodzielnie, ale my będziemy mieć po prostu krzywą,
która wygląda właśnie tak. To będzie prawa
górna część okręgu, okręgu jednostkowego. To będzie mieć
promień równy 1. I będziemy poruszać się w
tym kierunku, od t równego 0 do t równego pi przez 2. Tak wygląda ta krzywa. Jednak naszym celem nie jest
tylko narysowanie równania parametrycznego. To co chcemy zrobić to
postawić płot o takiej podstawie i wznieść go
na taką wysokość. Zobaczmy więc czy możemy to zrobić
lub chociaż zwizualizować sobie to na początku, i potem użyjemy tych samych narzędzi których używaliśmy w poprzednim filmie. Więc tutaj narysowałem tę funkcję,
i lekko to obróciłem tak abyście mogli zobaczyć oba przypadki. To tutaj - wezmę tylko
jakieś ciemniejsze kolory - to tutaj to jest oś X,
to z tyłu to jest oś Y, i ta pionowa oś to oś Z. To jest właściwie 2,
tutaj jest 1, y równe 1 jest w tym miejscu, więc
to jest rysowane w ten sposób. Więc gdybym chciał narysować
ten kontur na płaszczyźnie XY, leżałby pod tym wykresem
i wyglądałby jakoś tak - zobaczmy czy mogę
go narysować - to wyglądałoby jakoś w ten sposób. To byłoby na płaszczyźnie XY. f od x,y jest równe xy. To jest f od x;
f od x,y równa się xy. Oba są takie same,
ja tylko je obróciłem. W tej sytuacji to
tutaj to jest oś X. Wykonałem obrót w lewo,
możecie sobie to wyobrazić. To tutaj to oś X,
tutaj jest oś Y - to zostało obrócone
bliżej mnie - to jest oś Z. Wtedy ta krzywa, gdybym chciał ją
narysować po tym obróceniu, będzie wyglądać tak:
kiedy t jest równe 0, jesteśmy w x równym 1, y równym 0
i to zakreśli okrąg jednostkowy, połowę lub ćwiartkę
okręgu jednostkowego w taki sposób. Kiedy t równa się pi przez 2,
będziemy tutaj. To co chcemy zrobić
to znaleźć powierzchnię zasłony określonej jako Popatrzmy, rozwieśmy
zasłonę od tej krzywej aż do wykresu f od x,y. Więc jeśli stawialibyśmy ściany
stąd do wykresu xy, otrzymalibyśmy ścianę wyglądającą w taki sposób. Pozwólcie mi to zacieniować,
pokolorować tak aby wyglądało to wyraźniej. Zatem ściana która
wygląda w taki sposób. Gdybym chciał zrobić to
samo tutaj, to leżałoby pod sufitem, a ściana
wyglądałaby jakoś tak w tym miejscu. Chcemy znaleźć
pole tej powierzchni. Chcemy znaleźć pole tej
powierzchni tutaj, której podstawa jest zdefiniowana przez tą krzywą,
a sufit jest określony przez tą powierzchnię tutaj, xy,
którą narysowałem i obróciłem na dwa sposoby. W ostatnim filmie doszliśmy do,
ok, możecie się spierać o to czy jest to proste,
ale pomysł jest taki: weźmy kawałki krzywej o małej długości -
przyrosty długości krzywej, i pomnóżmy je przez wysokość w tym punkcie. Te małe zmiany w długości łuku,
nazywamy je ds, a wysokość w tym punkcie to
po prostu f od x,y w tym punkcie. Weźmiemy nieskończoną sumę
takich pól, od t równego 0 do t równego pi przez 2,
i to powinno nam dać pole powierzchni tej ściany. Zatem powiedzieliśmy, że do
znalezienia pola tej powierzchni po prostu bierzemy całkę od
t równego 0 do t równego pi przez 2 - to nie ma zbyt
wielkiego sensu kiedy zapisuję to w ten sposób - od f od x,y
- albo lepiej, zamiast pisać f od x,y, napiszę
po prostu właściwą funkcję. Bądźmy bardziej konkretni. Więc f od x,y to xy, razy
- więc konkretne xy - razy mała zmiana długości
krzywej w tym punkcie. Będę tutaj sporo
machać rękoma. To wszystko to mała
powtórka poprzedniego filmu. W ostatnim filmie doszliśmy do tego,
że ten przyrost długości krzywej tutaj, ds, doszliśmy do tego,
że możemy to zapisać jako pierwiastek kwadratowy
z dx po dt - lub pochodna x liczona po t, do kwadratu
- dodać pochodna y liczona po t, do kwadratu,
i to wszystko razy dt. Więc tylko przebudowuję
wzór który otrzymaliśmy w
poprzednim filmie. Więc to wyrażenie może
zostać zapisane jako całka od t równego 0 do t równego
pi przez 2 razy xy. Jednak wiecie co? Ostatecznie będziemy chcieli
mieć wszystko w postaci zależnej od t. Zatem zamiast pisać
x razy y, podstawmy parametryzację. Więc zamiast x napiszmy
cosinus od t. To jest x. x równa się cosinusowi t
na tej krzywej. Tak definiujemy x,
w zależności od t. Potem razy y, które mówimy,
że wynosi sinus od t. To nasze y; wszystko co
zrobiłem to przepisanie xy w formie zależnej
od t, razy ds. to jest ds; to jest pierwiastek
kwadratowy z pochodnej x po t, do kwadratu
dodać pochodną y po t, do kwadratu. To wszystko razy dt. Teraz musimy obliczyć
tylko te dwie pochodne. To może wyglądać na trudne,
ale dla nas bardzo proste jest znalezienie pochodnej
x po t i pochodnej y po t. Mogę to zrobić tu niżej. Pozwólcie mi schować
te wykresy na chwilę. Wiemy, że pochodna
x po t to będzie po prostu: jaka jest
pochodna cosinusa od t? Dobrze, to jest
minus sinus od t. Jaka jest pochodna y po t? Pochodna sinusa od jakiegoś
argumentu to cosinus od tego argumentu. Więc to jest cosinus od t. I możemy z powrotem to
podstawić do równania. Pamiętajcie, próbujemy
znaleźć pole powierzchni tej zasłony, która ma naszą krzywą
w swojej "podstawie" i ma tę funkcję, tę powierzchnię
jako sufit. Więc wróćmy tu niżej
i pozwólcie mi przepisać to wszystko. Zatem to staje się całką
od t równego 0 do t równego pi przez 2 - nie podoba
mi się ten kolor - od cosinus od t, sinus od t, cosinus
razy sinus - to po prostu xy - razy ds, które jest
tym wyrażeniem. Teraz możemy zapisać to jako
- zmienię z powrotem na ten kolor który mi się nie podoba
- pochodna x po t to minus sinus od t, i podnosimy
to do kwadratu, dodać pochodna y po t,
to jest cosinus od t, i podnosimy to do kwadratu
- pozwólcie, że powiększę trochę mój pierwiastek
- i następnie wszystko to razy dt. To nadal może wyglądać jak
bardzo trudna całka dopóki nie zauważycie, że to tutaj;
kiedy podnosicie liczbę ujemną do kwadratu,
dostajecie to samo. Pozwólcie mi to przepisać,
zrobię to tutaj na boku. Minus sinus t do kwadratu
dodać cosinus t, do kwadratu, to jest równe sinus t do kwadratu
dodać cosinus t do kwadratu. Tracicie informację o znaku
kiedy podnosicie coś do kwadratu; to staje się
po prostu dodatnie. Więc te dwie
rzeczy są sobie równe. A to jest najbardziej podstawowa
tożsamość trygonometryczna. To pochodzi wprost
z definicji okręgu jednostkowego: sinus do kwadratu dodać cosinus
do kwadratu równa się po prostu 1. Zatem to wszystko
pod znakiem pierwiastka równa się po prostu 1. I bierzemy pierwiastek
kwadratowy z 1, a to jest po prostu 1. Więc te wszystkie
rzeczy tutaj stają się 1. Więc ta szalona całka
całkiem sporo się upraszcza i równa się po prostu całce
od t równego 0, do t równego pi przez 2 z - zamienię
miejscami te dwie rzeczy tylko dlatego, że trochę
to uprości następny krok - z sinus t razy cosinus t, dt. Wszystko co zrobiłem, to wszystko
równa się 1, pozbyłem się tego, i po prostu zamieniłem
kolejność tych funkcji. To sprawi, że kolejny krok
będzie trochę prostszy do wyjaśnienia. Teraz ta całka - sinus t
razy cosinus t, jaka jest funkcja pierwotna tego? I pierwsza rzecz jaką powinniście zauważyć,
hej, mam tutaj funkcję czy wyrażenie
i mam jego pochodną. Pochodną sinusa t
jest cosinus t. Możecie być w stanie dokonać
podstawienia u w głowie; zrobienie tego w myślach
jest dobrą umiejętnością. Ale ja zrobię to bardzo dokładnie. Więc jeśli macie coś
i pochodną tego czegoś, definiujecie u jako to coś. Zatem mówicie, że u równa się sinus od t,
i potem du/dt, pochodna u po t,
jest równa cosinus od t. Lub jeśli pomnożycie
obie strony przez dt, jeśli nie chcemy być zbyt rygorystyczni,
dostaniecie, że du równa się cosinus od t razy dt. Zauważcie, tutaj mam u. Potem cosinus t, dt,
to wyrażenie tutaj, ta rzecz jest równa du. Następnie pozostaje nam tylko
zmienić granice całkowania. Kiedy t jest równe 0 - mam na myśli,
że to wszystko zamieni się w całkę - zamiast t
równego 0, kiedy t jest równe 0, ile wynosi u? Sinus od 0 to 0, więc to
idzie od u równego 0. Kiedy t jest równe pi przez 2,
sinus od pi przez 2, równa się 1. Więc kiedy t równa się pi przez 2,
u równa się 1. Zatem od u równego 0
do u równego 1. Po prostu zamieniliśmy
granice całkowania. Następnie zamiast sinus od t, napiszę u. Oraz zamiast cosinus od t, dt,
napiszę po prostu du. I teraz jest to super łatwa
całka ze zmienną u. To się równa:
funkcja pierwotna u to 1/2 razy u do kwadratu - po prostu
zwiększyliśmy wykładnik i potem podzieliliśmy przez ten zwiększony wykładnik
- więc 1/2 u do kwadratu, i chcemy to
obliczyć od 0 do 1. Zatem to będzie równe
1/2 razy 1 do kwadratu minus 1/2 razy 0 do kwadratu,
co jest równe 1/2 razy 1 minus 0, co jest równe 1/2. Więc wykonaliśmy całą pracę
i dostaliśmy ładną, i prostą odpowiedź. Pole powierzchni tej zasłony
- właśnie policzyliśmy całkę krzywoliniową - pole powierzchni tej zasłony,
wzdłuż tej krzywej tutaj wynosi - pozwólcie, że zrobię
to ciemniejszym kolorem - 1/2. Rozumiecie, jeśli to byłoby
w centymetrach, to byłoby 1/2 centymetra kwadratowego. Więc myślę, że to było
całkiem ładne zastosowanie całki krzywoliniowej.