Parametrizing a surface, part 1

. Wszystkie parametryzacje, które omówiliśmy do tej pory parametryzowały krzywą używając jednego parametru. Temat, który zaczniemy tym filmem to parametryzacja powierzchni w trzech wymiarach z użyciem dwóch parametrów. Więc zaczniemy od przykładu torusa. Torus jest figurą w kształcie oponki, każdy wie jak wygląda oponka. Narysuję to w odpowiednim... Dobra, nie mam żadnego odpowiedniego koloru dla oponki, więc użyję zielonego. Oponka wygląda mniej więcej tak. Ma ona dziurę w środku. Druga strona oponki wygląda mniej więcej tak i możemy zacieniować to tak. Tak mniej więcej wygląda oponka. Zatem, jak możemy to opisać używając dwóch parametrów? To co chcemy uzyskać, to żebyś mógł wyobrazić sobie oponkę w układzie współrzędnych. Więc, to jest nasza oponka. Narysuję osie. Mam zatem oś z, która przechodzi prosto w górę i w dół Narysowaliśmy ją tak, ponieważ oponka jest lekko przechylona, zatem narysowałem oś z lekko pochyloną. Nasza oś z przechodzi przez środek oponki. Właśnie tak. To będzie bardziej ćwiczenie rysowania niż czegokolwiek innego. Więc, to jest moja oś z, możesz wyobrazić sobie, że oś z idzie tędy i stąd będzie wychodzić moja oś x. Właśnie tutaj jest moja oś x i może tutaj moja oś y idąca mniej więcej tak. Głównym powodem, dla którego narysowałem to właśnie tak jest, to żebyś mógł wyobrazić sobie przekrój tej oponki. Mogłem narysować to nieco schludniej, ale przekrój tej oponki wzdłuż osi x i z będzie wyglądał mniej więcej tak. Gdybym przekroił to wzdłuż osi x i z, wyglądałoby to tak. . To byłby przekrój. Tak by to wyglądało i myślimy nie o całej oponce, ale o powierzchni tej oponki, więc nakreśliłem taki okrąg. Gdybyśmy przecięli oponkę wzdłuż osi z i y, po ich dodatnich stronach, widzielibyśmy okrąg, który wyglądałby mniej więcej tak jak tutaj. Gdybyśmy dalej tak szli, dostalibyśmy zbiór okręgów, więc jeśli się nad tym zastanowisz, to zbiór okręgów krąży wokół osi z. Jeżeli pomyślimy o tym w taki sposób, to da nam to intuicję, jak w najlepszy sposób parametryzować taką rzecz. Zatem zróbmy to według tej myśli. Zacznijmy właśnie wzdłuż osi z i y. Narysuję to nieco staranniej niż tutaj. Więc to będzie oś z, a to y, właśnie tak. Powiedzmy, że środek tych okręgów, powiedzmy, że on leży... Gdy przetniemy wzdłuż osi z i y środek leży na osi y. Nie narysowałem tego zbyt ładnie tutaj, ale myślę, że możesz to sobie wyobrazić. Więc on leży tutaj na osi y. I powiedzmy, że jest on w odległości b od środka torusa lub od osi z. To jest odległość b. Każdy środek będzie w odległości b. Zawsze tak będzie, ponieważ gdy wyobrazisz sobie górną część oponki, zaznaczę górę oponki. Jeżeli patrzysz z góry na oponkę, może narysuję oponkę w taki sposób, jakbyś patrzył na nią z góry. Będzie to wyglądać mniej więcej tak. Oś z będzie przebijała środek. Oś x mogłaby iść w dół tak, a oś y będzie szła w prawo tak. Więc możesz to sobie wyobrazić, patrzę na to z lotu ptaka. Znajduję się na osi z patrząc w dół na oponkę. To będzie wyglądać właśnie tak. Zatem jeśli wyobrazisz sobie przekrój, ten okrąg jak tutaj, górna część okręgu, jeśli patrzysz z góry wyglądałaby właśnie tak. I ta odległość b, to odległość od osi z do środka każdego z tych okręgów. Ta odległość więc, zaznaczę tym samym kolorem, od środka do środka tych okręgów, będzie oznaczona b. To po prostu stała odległość od środków okręgów - b. To będzie b, to będzie b. To będzie b. Odległość środka naszego torusa do środka naszego okręgu, który definiuje torus, to będzie b. Więc ta odległość tutaj, ta odległość tutaj to b. Idąc z b, możemy wyobrazić sobie, że mamy promień. Promień długości a. Zatem te okręgi mają promień długości a. Więc ta odległość tutaj to a, ta odległość tutaj to a, ta odległość tutaj to a, ta odległość tutaj to a. Jeśli patrzę na te okręgi, wszystkie one mają promień a. I to co chcemy teraz zrobić, to znaleźć dwa parametry. Jednym jest kąt, który promień tworzy z płaszczyzną wyznaczoną przez osie x i y. więc wyobraź sobie oś x idącą tak, zaznaczę ją w tym samym kolorze. Możesz wyobrażać sobie, że oś x wygląda tak, zatem to jest płaszczyzna wyznaczona przez x i y Jeden z naszych parametrów to będzie kąt pomiędzy naszym promieniem, a płaszczyzną wyznaczoną przez x i y. Nazwiemy ten kąt lub jak kto woli parametr, nazwiemy go s. I teraz, jeśli s zmienia się od 0 do 2 pi, jeśli s zmienia się od 0 do 2 pi, to gdy jest równe 0, to będę się znajdował w tym punkcie i kiedy on rośnie do 2 pi, to zakreśla okrąg, który wygląda właśnie tak. Na razie mamy tylko jeden parametr. To, co chcemy teraz zrobić to obracać ten okrąg. To, co właśnie narysowałem to właśnie ten okrąg jak tu. To co chcemy zrobić to obracać cały okrąg. Zdefiniujmy zatem kolejny parametr. Nazwiemy go t i przejdę znowu do widoku z góry. Ten jest już zamazany, zatem narysuję kolejny. Jak widzicie, wszystko opiera się na wyobraźni. Powiedzmy zatem, że to jest moja oś x, a to moja oś y. I powiedzieliśmy, że zaczynamy tutaj na płaszczyźnie z-y. Jesteśmy w odległości b od osi z, więc ta odległość to b. Na tym rysunku, oś z skierowana jest w naszym kierunku, "przebija kartkę". Patrzymy w dół. To jest taki sam widok jak tutaj. I to co przed chwilą narysowałem, kiedy s jest równe 0 radianów, będziemy tutaj, dokładnie o długość promienia dalej wzdłuż osi y. Następnie obracamy się Jak będziemy się obracać, będziemy krążyć i przechodzimy całą drogę tutaj. Więc jeśli jesteśmy tutaj, to teraz idziemy w dół. Zatem jeśli patrzysz na górę okręgu, to będzie wyglądało tak. Teraz aby stworzyć oponkę, będziemy musieli obracać cały ten okrąg wokół osi z. Pamiętaj oś z jest skierowana w naszym kierunku. Grot jest skierowany w naszą stronę, "wychodzi z twojego ekranu". Teraz aby zrobić taki obrót, będziemy obracać okrąg wokół osi z. I aby to zrobić, zdefiniujemy parametr, który będzie nam mówił, jak bardzo go obróciliśmy. Więc, tu jesteśmy, gdy obrócimy się o 0 radianów. W jakimś punkcie, będziemy tutaj i gdybyśmy obracali, to to jest także b i nasz okrąg będzie wyglądał tak. To jest mniej więcej ten punkt na naszej oponce, tutaj. Do tego punktu obróciliśmy się, powiedzmy o t radianów. Zatem parametr, mówiący jak bardzo się obróciliśmy wokół osi z, jak daleko przeszliśmy po tej drodze, będziemy nazywać t. I t również będzie zmieniał się od 0 do 2 pi. Chcę aby to było dobrze wyjaśnione. Narysujmy zbiór, który przekształcamy w naszą powierzchnię, po to abyśmy dokładnie to zrozumieli. Pozwól, że zrobię rysunek i powiemy, jak możemy faktycznie to parametryzować w postaci funkcji o wartościach wektorowych. Zatem tutaj, nazwijmy to osią t. To jest, jak pamiętasz, jak bardzo obróciliśmy się wokół osi z, tutaj. I nazwijmy tę oś poziomą, osią s. Myślę, że to w dużym stopniu pomoże. Więc kiedy s jest równe 0 i zmieniamy tylko t... oczywiście obie zmieniają się od 0 do 2 pi. Zatem tu będzie 0, a tu będzie 2 pi. Zaznaczę kilka punktów pomiędzy. To jest pi, tutaj będzie oczywiście pi przez 2, tutaj będzie 3 pi przez 2 Robimy to samo na osi t. Też będzie wzrastać do 2 pi. Zaznaczmy to. Więc, będzie rosnąć do 2 pi. Naprawdę chcę, żebyście to sobie wyobraził, ponieważ później parametryzacja, tak myślę, będzie dosyć prosta. Więc to jest 2 pi, to jest pi, to jest pi przez 2 i tutaj jest 3 pi przez 2 Więc pomyślmy jak to wygląda, jeżeli s będzie stale równe 0, a będziemy zmieniać tylko t od zera do 2 pi. Pozwól, że narysuję to w kolorze fioletowym. Zatem s jest stałe i zmieniamy tylko parametr t do 2 pi. Więc to, jeśli chwilę pomyśleć, powinno stworzyć krzywą w trzech wymiarach, nie powierzchnię. Ponieważ tutaj zmieniamy tylko jeden parametr. Więc pomyślmy co to jest. Pamiętaj, s jest... Narysuję najpierw moje osie. Więc to jest oś x, to jest oś y i w końcu to jest moja... Robię to coraz mniej starannie. To jest oś z, dobrze... Nie, lepiej narysuję to trochę większe. Myślę, że to pomoże wszystkim w wyobrażeniu sobie. Dobrze. Więc to jest moja oś x, to jest oś y i to jest oś z idąca do góry, oś z. Teraz jak pamiętasz, kiedy s jest równe 0, to znaczy, że w ogóle nie obracaliśmy się po tym okręgu. To znaczy, że jesteśmy tutaj. Czyli będziemy w odległości b i jeszcze dodać a. Dobrze? Nie obracaliśmy tutaj w ogóle. Ustaliliśmy s równe zero. Więc istotnie, będziemy w odległości b stąd, więc to będzie odległość b i trzeba jeszcze dodać a. b jest środkiem okręgu, więc oddalamy się od niego o a. Będziemy właśnie w tym miejscu. Więc tutaj będzie a plus b. I teraz będziemy zmieniać t. Pamiętasz, t oznaczało, jak daleko obróciliśmy się wokół osi z. To było na rysunkach na górze. Zatem ta linia tutaj, na naszym wykresie s i t, możemy powiedzieć, że kiedy ją przekształcamy albo parametryzujemy, będzie odpowiadać krzywej, która będzie zewnętrznym brzegiem naszej oponki. Jeśli to jest widok z góry na oponkę, to będzie zewnętrzny brzeg oponki, właśnie ten. Więc narysuję zewnętrzny brzeg. I aby to zrobić trochę lepiej, narysuję osie zarówno z liczbami dodatnimi jak i ujemnymi. Może wtedy wykres lepiej zadziała na wyobraźnię. Dodatnia i ujemna strona... to jest ujemna strona z-ów. Więc ta kreska na naszym układzie t-s, może powiem: ta fioletowa linia, trzymamy s w zerze i zmieniamy t, tutaj jest t równe zero, tutaj t równe pi przez 2, tutaj t równe pi, tutaj t równe 3 pi przez 2 i na końcu drogi t jest równe 2 pi. Ta linia odpowiada tej linii, kiedy obracamy, kiedy zmieniamy t, a s jest stale równe 0. Teraz przejdźmy do kolejnego punktu. Powiedzmy, że kiedy s jest równe pi, dobrze, pamiętasz - kiedy s jest równe pi, przeszliśmy dokładnie (pi to 180 stopni)... Kiedy s jest w pi, zatoczyliśmy dokładnie kąt 180 stopni na okręgu, na każdym z tych okręgów. Więc jesteśmy w tym miejscu. I teraz trzymajmy s stale równe pi i obracajmy wokół, aby utworzyć oponkę. Zatem będziemy tworzyć wnętrze naszej oponki. Więc kiedy s jest w punkcie pi i będziemy brali t od 0... Kiedy s jest równe pi i t równe 0, będziemy... To był środek naszego okręgu. Będziemy po jego lewej stronie. Będziemy w tym miejscu. I następnie, gdy będziemy zmieniać, gdy t będzie wzrastać, czyli będziemy poruszać się w górę, trzymając s w pi, zwiększamy t, będziemy zakreślać wewnętrzny brzeg naszej oponki, który będzie wyglądał mniej więcej tak. Narysowałem to najlepiej jak umiałem. I tak możemy to robić wiele razy. Kiedy s jest równe pi przez 2, chcę to zrobić różnymi kolorami, kiedy s równa się pi przez 2, obróciliśmy się tutaj, dokładnie 90 stopni, tak? Pi przez 2 to 90 stopni w tym punkcie. I teraz jeśli zmieniamy t, zakreślamy dokładnie szczyt oponki, dobrze? Dla pewności narysuję to. Tak więc przekrój... Szczyt oponki, zaczniemy w tym miejscu. Więc kiedy s równa się pi przez 2 i zmieniamy, następnie zmieniamy t. Mam problem z rysowaniem prostych linii. I kiedy zmieniamy t, będzie to wyglądało tak. To jest wierzchołek tego okręgu. Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj. Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj. Wierzchołek tego okręgu będzie tutaj. I teraz połączę kropki. I będzie to wyglądało mniej więcej tak. To jest szczyt naszej oponki. Jeśli bym robił to na tym widoku z góry, wtedy to byłby szczyt oponki, tak jak zaznaczam. I jeśli chciałbym stworzyć spód oponki, po to aby obrazek był kompletny, gdybym tworzył spód oponki, to spód ten robię tak - jeśli biorę s równe 3 pi przez 2 i zmieniam t, to jestem na dnie naszej oponki. Może narysuję okrąg, spód będzie tu, na tym okręgu jest w tym miejscu, nie byłbyś w stanie zobaczyć całości, gdyby to nie było przezroczyste. Zatem, zakreślamy spód oponki, właśnie tak Wiem, że ten wykres staje się nieco zagmatwany, ale mam nadzieję, że rozumiesz ideę. Kiedy s jest równe 2 pi, wracamy znowu do zewnętrznego brzegu oponki To także będzie fioletowe. Więc to się dzieje kiedy s jest stale równe pewnym wartościom i zmieniamy t. Teraz zróbmy odwrotnie. Co się stanie, jeśli t będzie stałe równe 0 i będziemy zmieniać s? Co się stanie, jeśli t będzie stałe równe 0 i będziemy zmieniać s? Więc t jest zerem, to znaczy, że jeszcze się wcale nie obróciliśmy. Więc jesteśmy na płaszczyźnie z-y. Więc t równa się 0, a s zaczyna w zerze i idzie do pi przez dwa, czyli do tego punktu. Potem idzie do pi. Ten punkt odpowiada temu punktowi. Potem idzie do 3 pi przez 2 i na końcu wraca do 2 pi. Zatem ta linia odpowiada temu okręgowi, w tym miejscu. Możemy robić to samo, gdy ustalimy t równe pi przez 2 - uzyję innego koloru, ten nie odróżnia się zbytnio. Kiedy t równa się pi przez 2, właśnie tak. Obróciliśmy się wokół osi z o 90 stopni, zatem jesteśmy tutaj. I teraz, kiedy zmieniamy s, s zaczyna tutaj i przebiega całą drogę wokół właśnie tak. Zatem ta linia odpowiada temu okręgowi. Możemy robić to dalej. Kiedy t jest równe pi, to znaczy, że przeszliśmy całą tę drogę po tym okręgu i teraz zmieniamy s od 0 do pi przez 2, zaczynamy drogę tutaj i następnie będziemy zmieniać, idziemy w dół i przecinamy wszystkie kontury, o których mówiliśmy przedtem i narysuję jeszcze jeden, aby dokończyć model tego "szkieletu". To jest ciemny fiolet, mam nadzieję, że to widzisz. Kiedy t jest równe 3 pi przez 2, obracamy się aż tutaj, zatem jesteśmy na płaszczyźnie x-z. I teraz kiedy zmieniamy s, s będzie zaczynać się tutaj i jeśli zwiększamy s, idziemy po obwodzie okręgu, po okręgu, właśnie tak. I oczywiście, kiedy zataczamy cały okrąg, t jest równe 2 pi, więc wracamy do tego samego punktu. Wracamy znowu tutaj. Zatem to będzie tu, możemy zaznaczyć w tym samym kolorze. Mam nadzieję, że załapałeś już ideę parametryzacji. Nie zrobiłem jeszcze nic z matematyki. Nie pokazałem jeszcze, jak matematycznie reprezentować to jako funkcję o wartościach wektorowych, ale mam nadzieję, że zrozumiałeś mniej więcej, co znaczy parametryzacja dwoma parametrami. I właśnie aby zrozumieć, w jaki sposób te obszary na naszym układzie s-t odpowiadają obszarom na tej powierzchni w, myślę, że mogę powiedzieć w R3, ten mały kwadrat tutaj, zobaczmy przez co jest ograniczony. Ten mały kwadrat, dla pewności, wziąłem kwadrat który mogę ładnie zakreślić. Więc ten kwadrat, jest pomiędzy, kiedy spojrzysz na t, jest pomiędzy 0 i pi przez 2. t jest między 0 i pi przez 2. I s jest pomiędzy 0 i pi przez 2. Więc to odpowiada tej części naszego torusa. tej części naszego torusa. Jeśli patrzysz na to z góry, to będzie wyglądało tak jak tutaj. Możesz sobie wyobrażać, że przekształciliśmy ten kwadrat. Nie pokazałem Ci jeszcze jak to opisać matematycznie. Ale przekształcamy ten kwadrat na tę część oponki. Teraz myślę, że zrobiliśmy już tyle, ile mogliśmy od strony wyobraźni. Zakończę ten film w tym miejscu. Na następnym filmie, będziemy dokładniej rozmawiać, jak rzeczywiście parametryzować z użyciem dwóch parametrów. Zapamiętaj, że s okrąża każdy z tych okręgów, natomiast t okrąża oś z. I jeśli weźmiesz każdą kombinację s i t, dostaniesz każdy punkt na powierzchni tego torusa lub też oponki. Jak rzeczywiście wygląda przechodzenie z s i t od 0 do 2 pi i opisywanie tego przy pomocy trójwymiarowej funkcji o wartościach wektorowych, która będzie definiować tę powierzchnię? Zrobimy to na następnym filmie.