Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych

. Weźmy funkcję wielowymiarową r od s i t równą... Dobrze, x będzie funkcją od s i t. Piszemy zatem x od s i t razy wektor jednostkowy na osi x lub i plus y od s i t razy wektor jednostkowy na osi y lub j plus z od s i t razy wektor jednostkowy na osi z, czyli k. Zatem mając to, mamy funkcję wielowymiarową, zdefiniujmy, albo pomyślmy co to znaczy wziąć pochodną cząstkową tej funkcji względem jednego z parametrów - s lub t. Myślę, że to będzie całkiem naturalne, nic dziwacznego. Braliśmy wcześniej pochodne cząstkowe jednowymiarowej funkcji, gdzie zmienialiśmy tylko jedną zmienną. Robimy to tylko względem jednej zmiennej. Drugą trzymamy stałą. Będziemy robić tutaj dokładnie to samo. Braliśmy zwykłe pochodne funkcji jednowymiarowych. Wszystko polegało na obliczaniu zwykłych pochodnych poszczególnych wyrażeń. Zatem zobaczmy, czy będzie tak samo tutaj z pochodnymi cząstkowymi. A więc zdefiniujmy pochodną cząstkową r względem zmiennej s. Wszystko co robię względem s, możesz przenieść na zmienną t i dostaniesz ten sam efekt. Zdefiniuję to jako granicę, przy delta s dążącym do 0, r od s plus delta s. Szukamy granicy tylko ze względu na zmianę s, przecinek t. Ustalamy t, można myśleć, że t jest stałe, minus r od s i t. Wszystko dzielimy przez delta s. Teraz, jeśli wykonasz kilka działań... r od s plus delta s, przecinek t, to to samo co x od s plus delta s t i, plus y od s plus delta s t j, plus z. Wszystko minus ta rzecz. Wystarczy wykonać parę działań, jeśli nie wierzysz, spróbuj. To będzie równe granicy przy delta s dążącym do 0 - napiszę to małym drukiem, ponieważ zajmuje dużo miejsca - z x od s plus delta s przecinek t minus x od s i t, myślę, że wiesz do czego zmierzam. Pisanie tego wszystkiego jest trochę monotonne, ale nie zaszkodzi. Dzielone przez delta s razy i - zrobię to różnymi kolorami, więc będzie mniej monotonne - plus y... To delta s dążące do 0 będzie w każdym wyrażeniu, które tu wypisuję. y od s plus delta s przecinek t minus y od s przecinek t, wszystko dzielone przez delta s, razy j. I na końcu, plus z od s plus delta s przecinek t minus z od s i t, wszystko dzielone przez delta s, razy wektor jednostkowy na osi z - k. To wszystko bierze się z tej definicji. Jeśli dosłownie wstawiasz s plus delta s w miejsce s, przekształcasz wszystko, wykonując proste działania - wtedy dostaniesz dokładnie to samo. I mam nadzieję, że właśnie pomyślałeś: "o, my po prostu bierzemy pochodną cząstkową każdej z tych funkcji względem s". I te funkcje... to x od s i t nie jest funkcją wielowymiarową. To y również nie jest funkcją wielowymiarową. z także nie jest funkcją wielowymiarową. Kiedy weźmiesz je razem, to staną się funkcjami wielowymiarowymi, ponieważ mnożymy pierwszą przez jakiś wektor. Drugą przez inny wektor. I trzecią przez inny wektor. Ale niezależnie od siebie, te funkcje nie są wielowymiarowe. Zatem to jest tylko definicja zwykłych pochodnych cząstkowych. Gdzie bierzemy granicę przy delta s dążącym do 0 dla każdego z tych wyrażeń. Zatem to jest dokładnie ta sama rzecz. To jest równe - to jest to samo, co pochodna cząstkowa x względem s razy i plus pochodna cząstkowa y względem s razy j plus pochodna cząstkowa z względem s razy k. Zrobię jeszcze jedną rzecz tutaj i będzie to taka pseudo matematyka, ale to się przyda... Głównym powodem, dla którego robię ten film jest dodanie paru dobrych narzędzi do naszego zestawu, które przydadzą się w przyszłych filmach o całkach powierzchniowych. Zatem zrobię jedną rzecz, nieco pseudo matematyczną, tak naprawdę dlatego, że różniczki są rzeczami, które bardzo trudno ściśle zdefiniować, ale myślę, że pokażę pewną intuicję, o co chodzi. Zatem ta rzecz - mówię, że to jest także równe... Nie zobaczysz tego w żadnym podręczniku i poważni matematycy pewnie się skrzywią, kiedy zobaczą, jak to robię. Ale ja lubię to tak robić, ponieważ myślę, że daje to intuicję, o co chodzi, kiedy mówimy o całkach powierzchniowych. Zatem mówię, że to wszystko tutaj, to jest równe r od s plus różniczka s - bardzo mała zmiana s, t minus r od s i t, wszystko to przez tę samą bardzo małą zmianę s. Więc mam nadzieję, że rozumiesz przynajmniej dlaczego patrzę na te rzeczy w ten sposób. Kiedy biorę granicę przy delta s dążącym do 0, to te delta s stają się bardzo bardzo bardzo małe. I ja w ten sposób wyobrażam sobie różniczki. Kiedy ktoś pisze pochodną y względem x. - powiedzmy, że to będzie 2 - i zrobiliśmy wcześniej trochę matematyki związanej z różniczkami. Możesz pomnożyć obie strony razy dx i dostaniesz dy równe 2dx. Zrobiliśmy to zgodnie z rachunkiem. Sposób, w jaki to sobie wyobrażam, to że bardzo mała zmiana y - nieskończenie mała zmiana y jest równa 2 razy równie małej zmianie x. Więc to jest... Dobrze, jeśli masz bardzo małą zmianę x, to zmiana y będzie wciąż bardzo mała, ale 2 razy większa. Uważam, że to najlepszy sposób patrzenia na to. W ogólności patrzę na różniczki jako bardzo małe zmiany zmiennych. Więc mając na uwadze to, że jestem trochę nieścisły i wielu matematyków będzie się krzywić na to co właśnie napisałem, mam nadzieję, że to daje trochę... To nie jest jakaś szalona rzecz. Mówię tylko: "o, delta s, kiedy delta s dąży do 0, to mogę myśleć, że to jest ds". I głównym pytaniem, do którego chciałem dojść poprzez to jest: "jeśli bierzesz tę stronę i tę stronę i mnożysz obie przez różniczkę ds, to co się stanie?" Lewa strona - dostajesz pochodną r względem s razy ds. Napiszę ds na różowo. Razy ds - to jest zwykła różniczka, bardzo mała zmiana s. To jest coś jak pochodna względem s. To będzie równe... Dobrze, jeśli pomnożysz tę stronę równania przez ds, ten mianownik zniknie. Zatem to będzie r od s plus nasza bardzo mała zmiana s, t, minus r od s i t. Teraz zaznaczę to w prostokąt. Przyda się to w następnym filmie. Tak naprawdę będziemy myśleć, co to oznacza i jak wyobrazić to sobie na powierzchni. Jak wiesz, to jest wektor. Masz 2 funkcje wielowymiarowe i bierzesz ich różnicę. I zobaczymy jak to wygląda na następnym filmie. To naprawdę pomoże nam w całkach powierzchniowych. Dokładnie analogicznie, możemy zrobić to samo, co już zrobiliśmy tutaj z s - równie dobrze możemy to zrobić z t. A więc możemy zdefiniować pochodną cząstkową... Mogę zdefiniować pochodną cząstkową względem... Zrobię to innym kolorem, zupełnie innym. Jest pomarańczowy. Pochodna r względem t - definicję mamy tutaj. Granica przy delta t dążącym do 0 r od s, t plus delta t minus r od s i t. W tej sytuacji ustalamy s, można myśleć o s jako stałej. Patrzymy na zmianę t. Wszystko dzielimy przez delta t. I wychodzi ta sama rzecz. To jest równe pochodnej x względem t, i plus y względem t, j, plus z względem t, k. Dokładnie to samo, zamieniamy jedynie s na t. I analogicznie mamy taki sam rezultat, ale dla zmiennej t. Jeśli zrobimy tę pseudo matematykę, którą wcześniej uprawialiśmy, to dostaniemy pochodną r względem t razy bardzo mała zmiana t, dt - można myśleć różniczka t jest równe r od s, t plus dt minus r od s i t. Zaznaczam te dwie rzeczy. Na następnym filmie będziemy patrzeć na rysunku, co to znaczy. Czasami, kiedy pisze się bezmyślne znaczki jak tu, zastanawiasz się pewnie, o czym to wszystko jest? Pamiętaj, to co ja tu powiedziałem, to jest, co znaczy branie pochodnej tego względem s i t. Trochę bawiąc się tym, dostałem ten rezultat. Te dwa wyrażenia będą bardzo cenne w, myślę, tworzeniu intuicji, dlaczego całki powierzchniowe wyglądają tak jak wyglądają.