Całki potrójne 1

Przypuśćmy, że chcę obliczyć objętość prostopadłościamu, w którym, powiedzmy, x jest większy bądź równa 0 i mniejszy bądź równy na przykład 3. Powiedzmy, że y jest większe bądź równe 0, i mniejsze bądź równe 4. Z natomiast jest większe bądź równe 0 i mniejsze bądź równe 2. Znając podstawy geometrii można obliczyć objętość-- mnożąc szerokość razy wysokość i razy głębokość otrzymamy objętość. Podaję te przykłady, żeby pokazać na czym polega całka potrójna i w jaki sposób łączy się z całka podwójną, i żeby potem móc zająć się trudniejszymi przykładami. Teraz narysuję objętość. Oś x, oś z i oś y. x,y,z, ok x znajduje się pomiędzy 0 i 3. to x jest równe 0. to x jest równe-- powiedzmy 1,2,3. y jest pomiędzy 0 i 4. 1,2,3,4. Płaszczyzna x-y będzie wyglądać mniej więcej tak. Podstawa naszego sześcianu będzie mniej więcej taka. Z jest pomiędzy 0 i 2. Tak więc 0 stanowi płaszczyznę x-y, a potem 1,2. I to będzie górna podstawa sześcianu. A teraz użyję innego koloru. Rysuję wzdłuż oś x-z. Tutaj byłaby krawędź, ona prowadzi aż dotąd. Kolejna krawędź dotąd. I następna tutaj. Chcemy zatem obliczyć objętość sześciokąta. I to jest do wykonania. Powiedzmy, że głębokość wynosi 3, podstawa, szerokość 4, więc ta przestrzeń jest 12 razy większa od wysokości. 12 razy 2 jest 24. Można stwierdzić, że jest to 24 metry sześcienne, w zależności jakich jednostek używamy. Ale potraktujmy to jako całko potrójną. Co wogóle oznacza całka potrójna? Bierzemy bardzo małą objętość-- -- nie chodzi tu o powierzchnię. Powiedzmy, że chcę obliczyć objętość małego sześcianu. Niektórzy wpisują tutaj-- w objętość o której mowa. Ma to sens i jest bardzo pomocne, gdy krawędzie i powierzchnie są różnej długości a krzywe są krawędziami. Ale załóżmy, że chcemy obliczyć objętość tego małego sześcianu. To jest mój sześcian. Jest gdzieś w tym większym sześcianie, większym prostokącie prostokąt regularny, jakkolwiek go nazwiemy. Jaka jest jego objętość? Powiedzmy, że jego szerokość to dy. Zatem ta długość też jest dy. Wysokość dx. Błąd, wysokość to dz, zgadza się? Z idzie przecież od dołu do góry. A głębokość to dx. To jest dx. To dz. A to dy. To jest ta mała objętość sześcianu, który znajduje się w większym sześcianie można ją nazwać dv, co jest rodzajem różniczki objętości. I to się równa, szerokość razy długość razy wysokość. dx razy dy razy dz. Kolejność nie ma znaczenia, ponieważ mnożenie jest łączne, i kolejność jest nieważna. Dobrze, ale co możemy tutaj zrobić? Można zastosować całkę. Całki pomagają zostosować nieskończone sumy niezwykle małych odległości, jak np. dz czy dx czy dy, itd. Zatem najpierw powinniśmy zająć się tym sześcianem i dodać odległość z. Możemy dodać odległość na osi z, tak by otrzymać objętość kolumny. Jak to wygląda w praktyce? Ponieważ kierujemy się w górę i w dół, dodajemy-- interesuje nas suma w kierunku z. Otrzymalibyśmy całkę. Jaka jest najniższa wartość z? Z jest równe 0. A jaka jest górna granica? Dodawaj sześciany, i idź w górę, dojdziesz wtedy do górnej granicy. A jaka jest góna granica? Jest równa 2. Oczywiście należałoby wziąć sumę objętości dv. Zapiszę dz jako pierwsze, żeby pamiętać, że mamy zastosować całkę najpierw z z. Potem zrobimy y. A na końcu x. Za pomocą tej całki, tej wartości, którą zapisałem, obliczymy objętość kolumny podając x i y. To będzie funkcja x i y, ale ponieważ zajmujemy się tutaj stałymi, będzie to również wartość stała. Będzie to stała wartość jednej z tych kolumn. Ogólnie rzecz biorąc, będzie to wyglądać tak: 2 razy dy dx. Ponieważ wysokość jednej z tych kolumn wynosi 2, a jej szerokość i głębokość to dy i dx. Jeśli chcemy obliczyć całą objętość-- przed chwilą obliczyliśmy wysokość kolumny. Następnie liczymy sumę tych kolumn w kierunku y/na osi y. Jeśli liczymy sumę na osi y, możemy zastosować inną całkę tej sumy na osi y. Y zaczyna się w 0 a kończy? W 4. Zapisałem tę całkę za bardzo z lewej strony, wygląda to dość dziwnie. Ale myślę, że wiesz o co chodzi. Y równa się od 0 do 4. I to nam da objętość arkusza/pola równoległego do przestrzeni zy. I pozostało nam jedynie dodać pola zgodne z kierunkiem osi x, i uzyskamy objętość całej figury. Żeby dodać te pola musimy, musimy dodawać w kierunku x. I idziemy od x równa się 0 do x równa się 3. Obliczenie tego okazuje się dosyć proste. Więc na początku obliczamy całkę w odniesieniu do z. Wprawdzie tutaj nie jest nic napisane, ale możemy przypuszczać, że chodzi o 1, prawda? Ponieważ dz razy dy razy dx to to samo co 1 razy dz razy dy dx. Ile zatem wynosi ta całka? Zatem całka nieoznaczona z 1 w odniesieniu do z równa się z, zgadza się? Dlatego, że pochodną z jest 1. I można to obliczyć od 2 do 0. I zostaje-- 2 minus 0 zostaje 2. Zostało 2, więc liczysz całkę z 2 od y równa się 0 do y równa się 4 dy, a potem bierzesz x. Od x równa się 0 do x równa się 3 dx. I zauważ jedną rzecz, kiedy obliczamy całkę względem z, otrzymujemy podwójną całkę. Ta podwójna całka to dokładnie ta całka, którą obliczylibyśmy w poprzednim filmiku dot. całek podwójnych, gdzie zapewne stwierdziłbyś, że z jest funkcją x i y. Mogłbyś zapisać, że z jest funkcją x i y, jest zawsze równe 2. Jest funkcją stałą. Niezależnie od x i y. Gdybyś w taki sposób określił z, i chciałbyś obliczyć objętość pod tą powierzchnią, która wynosi z równa się 2-- ta powierzchnia to z równa się 2-- otrzymalibyśmy ten sam wynik. Widzisz teraz, że mamy do czynienia z całką potrójna, która wcale się nie różni. I mógłbyś się zastanawiać, po co to wszystko? Za chwilę zobaczysz. Tak czy inaczej, aby obliczyć to, mógłbyś wziąć całkę nieoznaczoną w odniesieniu do y, i otrzymasz 2y-- Zejdę trochę na dół. Obliczasz 2y podstawiając 4 i 0. Czyli mamy 2 razy 4. Następnie 8 minus 0. Potem całkujesz od 0 do 3 względem x. I wychodzi 8x od 0 do 3. I to się będzie równać 24 jednostek sześciennych. Nasuwa się oczywiste pytanie, czy to wogóle jest w czymś pomocne? W momencie gdy masz stałą wartość w objętości, masz rację. Mógłbyś po prostu zastosować całkę podwójną. Ale co w sytuacji, gdy naszym celem nie będzie obliczenie objętości, ale masy figury. I co więcej, objętość-- powierzchnia przestrzeni -- jej masa nie jest jednakowa. Gdyby masa była jednakowa, mógłbyś pomnożyć jednakową gęstość razy objętość, i otrzymałbyś masę. W naszym przypadku gęstość jest różna. Może to być objętość jakiegoś gazu bądź nawet jakiś materiał skłądający się z różnych związków. Powiedzmy, że jego gęstość jest funkcją zmienną x,y i z. Powiedzmy że gęstość-- czyli ten znak, który wygląda jak litera P i który używa się w fizyce jako symbol gęstości-- jego gęstość jest funkcją x,y i z. Żeby to uprościć-- zapiszmy x razy y razy z. Gdybyśmy chcieli obliczyć masę jakiejkolwiek małej objętości, pomnożylibyśmy objętość razy gęstość, zgadza się? Ponieważ gęstość-- jednostki gęstości są jak kilogramy na metr sześcienny. Jeśli pomnożysz to razy metr sześcienny, otrzymasz kilogramy. Możemy zatem powiedzieć, że masa-- zapiszę to słownie, d masa-- to nie jest funkcja. Nie chcę zapisywać tego w nawiasie, ponieważ wyglądałoby to jak funkcja. Zróżnicowana masa, bądź bardzo mała masa, będzie się równać gęstości, czyli xyz, razy objętość tej niewielkiej masy. Tę objętość masy można zapisać jako dv. Wiadomo, że dv to to samo co szerokość razy wysokość razy głębokość. dv nie zawsze musi równać się dx razy dy razy dz. Jeśli są inne współrzędne, i liczymy współrzędne biegunowe, wynik mógłby być inny. Później to obliczymy. Jednak jeśli potrzebujemy obliczyć masę, ponieważ mamy współrzędne prostokątne, liczylibyśmy funkcję częstości razy nasza objętość różniczkowa. razy dx dy dz. Oczywiście kolejność nie ma znaczenia. Jeśli zatem chcesz obliczyć objętość-- jeśli chcesz obliczyć masę-- czym zajmę się w kolejnym filmiku, konieczne jest przecałkowanie tej funkcji. W porównaniu do 1 przez z,y i x. Co będę wyjaśniał w następnym filmie. I zauważycie, że będzie polegało to na stosowaniu całek nieoznaczonych na poziomie podstawowym oraz unikaniu niedbałych błędów. Do zobaczenia w następnym klipie.