Całki potrójne 3

Zróbmy kolejną teraz całkę potrójną, ale tym razem nie będę jej obliczał. To czym się zajmiemy najpierw to zdefiniowanie potrójnej całki. Zrobimy coś podobnego do tego co robiliśmy w ostatnim nagraniu, gdzie wyliczyliśmy masę za pomocą funkcji gęstości. Chciałbym przedstawić Ci w tym nagraniu jak ustalać granice, kiedy obszar jest trochę bardziej skomplikowany. A jeśli starczy nam czasu, spróbujemy zmienić kolejność całkowania. Powiedzmy, że mamy powierzchnię. Pozwól, że wymyślę jakąś... 2x+3z+y=6 Narysujmy tę powierzchnię. Coś w tym stylu. To będzie moja oś x. To będzie moja oś z. To będzie moja oś y. Rysujemy je. x, y i z. Zależy mi na powierzchni w dodatnim oktancie, ponieważ kiedy zajmujemy się trójwymiarami, to zamiast czterech ćwiartek, mamy wtedy osiem oktantów. Ale nas interesuje oktant, gdzie x, y i z są dodatnie, właśnie taki jak tu narysowałem. Zobaczmy więc, narysuję... Jaki jest punkt przecięcia osi x? Kiedy y i z wynoszą 0, zapiszmy to tutaj, to jest punkt przecięcia osi x. 2x=6, czyli x=3. Więc 1, 2, 3. Więc to jest punkt przecięcia. Punkt przecięcia osi y, kiedy x i z wynoszą 0 są na osi y, więc y będzie równało się 6. Więc mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest punktem przecięcia osi y. Wreszcie punkt przecięcia osi z, kiedy x i y równają się 0, jesteśmy na osi z. 3z będzie równało się 6. Więc z równa się 1, 2. Zatem obszar, który mnie interesuje, będzie wyglądał jakoś tak. To ta pochyła powierzchnia. To będzie coś w tym stylu. W tym dodatnim oktancie. Więc to jest powierzchnia wyznaczona przez tę funkcję. Powiedzmy, że zależy mi na objętości, i jeszcze skomplikuję to nieco. Można by rzecz: cóż, to była objętość pomiędzy naszą powierzchnią a płaszczyzną xy. Jednakże trochę to skomplikuję. Powiedzmy, że objętość pomiędzy tą powierzchnią i powierzchnią z=2. Więc objętość, na której nam zależy, będzie wyglądała tak. Zobaczmy czy uda mi się to narysować. Jeśli pójdziemy o dwa do góry... Pozwólcie, że narysuję to innym kolorem. Górę zaznaczę na zielono. Więc to jest wzdłuż płaszczyzny zy. A kolejna krawędź będzie wyglądała mniej więcej tak. Pozwól, że upewnię się czy dam radę to narysować - to najtrudniejsza część. Pójdziemy w tym miejscu o dwa w górę i to będzie wzdłuż płaszczyzny zx. I mamy kolejną linię łączącą te dwie. Ten zielony trójkąt, to jest część płaszczyzny z=2. Objętość, na jakiej nam zależy to objętość pomiędzy tą górną zieloną płaszczyzną i tą przekrzywioną powierzchnią wyznaczoną przez 2x+3z+y=6. Więc ten obszar pomiędzy. Zobaczmy czy mogę przedstawić to prościej. Tak jak już powiedziałem, wizualizacja to często najtrudniejsza część. W tym miejscu mielibyśmy ścianę przednią, natomiast tylna ściana byłaby w tym miejscu, a tutaj byłaby kolejna ściana. Zaś podstawa tego, podstawa, którą zaznaczę na fioletowo, będzie tą płaszczyzną. Więc podstawą jest ta płaszczyzna - - to jest dolna część. W każdym razie, nie wiem czy dobrym pomysłem było rysować to tak niechlujnie, gdyż muszę teraz narysować na tym objętości dv i d. Tak czy siak, spróbuję. Więc jeśli mamy wyliczyć objętość... A właściwie ponieważ mamy do czynienia z potrójną całką i chcemy pokazać jak sobie z nią radzić, zamiast liczyć objętość, obliczmy masę czegoś zmiennie gęstego. Może niech gęstość w tej objętości, którą się zajmujemy... Nasza funkcja gęstości jest funkcją zmiennych x, y i z. To może być cokolwiek. To nie na tym mamy się skupiać. Ale coś wymyślę. Niech to będzie x^2yz. Naszym zadaniem jest tak naprawdę określenie całek. Pierwszą rzeczą jaką chciałbym zrobić to zilustrować... To co zamierzamy zrobić to ustawić mały sześcian w objętości, którą rozważamy. Jeśli miałbym... Pozwól, że zaznaczę to pogrubionym kolorem, żebyś mógł lepiej widzieć. Więc jeśli mamy sześcian... Może zrobię to na brązowo, nie jest tak pogrubiony, ale odróżnia się od innych kolorów. Więc jeśli miałbym mały sześcian w objętości, która nas interesuje, ten mały sześcian - - weź pod uwagę dv. Objętość tego sześcianu to pewnego rodzaju różniczka objętości. I jest równa dx, a nie, przepraszam, to jest dy. Zaznaczmy to na żółto, albo na zielono. Więc dy. dy razy dx, dx razy dz. To jest objętość tego małego sześcianu. A jeśli chcielibyśmy znać masę tego sześcianu, to pomnożylibyśmy funkcję gęstości w tym punkcie razy dv. Więc masa, możesz ją nazwać d... nie wiem, dm. Różniczka masy będzie równa to razy to. Czyli x^2yz razy to. dy, dx i dz. Normalnie zamieniamy kolejność, w zależności od tego po czym chcemy całkować na początku, abyśmy się nie pogubili. Spróbujmy więc. Spróbujmy określić tę całkę. Zróbmy to tradycyjnie. Kilka ostatnich całek, którymi się zajmowaliśmy, scałkowaliśmy najpierw względem z. Zróbmy to samo tutaj. Całkujemy ją najpierw względem z. Weźmiemy ten sześcian i zsumujemy wszystkie sześciany na osi z. Więc najpierw w górę i w dół, tak? Jeśli to zrobimy, to jaka będzie dolna granica? Kiedy zsumujesz górę i dół, te sześciany zamienią się w kolumny, prawda? Więc co jest dołem kolumny, jej dolną granicą? Jaka powierzchnia? To powierzchnia określona tutaj. Więc jeśli chcemy tę dolną granicę wyrażoną w zależności od z, to najpierw musimy to rozwiązać ze względu na z. Odejmijmy więc. Co otrzymujemy? Jeśli chcemy to zdefiniowane jako z, to mamy 3z=6-2x-y. Albo z=2-2/3-y/3. To to samo co tamto. Jeśli mówimy o z, określamy z wprost, tak to właśnie otrzymujemy, po przekształceniach algebraicznych. Czyli dolna granica - możesz ją sobie wyobrazić, prawda? Dół tych kolumn pójdzie w górę i w dół. Dodamy wszystkie kolumny w kierunku górnym i dolnym, tak? Wyobraź sobie jak je dodajemy. Dolna granica będzie tą powierzchnią. z=2-2/3x-y/3 A jaka jest górna granica? Cóż, góra kolumny będzie tą zieloną płaszczyzną, a zieloną płaszczyzną było co? To było z=2. To ta płaszczyzna, ta powierzchnia tutaj. z=2 No a jaka jest objętość tej kolumny? Cóż, będzie to funkcja gęstości x^2yz razy różniczka objętości, ale całkujemy najpierw po z. Pozwól, że zapiszę dz tutaj Powiedzmy, że chcemy całkować względem... Sam nie wiem... następnie względem x. W paru ostatnich nagraniach, całkowałem później względem y. Więc zróbmy x, aby pokazać Ci, że to naprawdę nie ma znaczenia. Więc będziemy całkować względem x. Teraz mamy te kolumny, tak? Kiedy całkujemy względem z, otrzymujemy objętość każdej z tych kolumn, gdzie górną granicą jest ta płaszczyzna. Zobaczmy, czy uda mi się to przyzwoicie narysować. Górna granica to ta płaszczyzna. Dolna granica to ta powierzchnia. Teraz chcemy całkować względem x. Dodamy wszystkie dx. Więc jaka jest dolna granica dla x-ów? Cóż, ta powierzchnia jest określona aż do... Objętość poniżej jest dobrze określona przez cały czas aż do x=0. Jeśli się pogubisz, a istnieje taka możliwość kiedy wyobrażasz sobie te trójwymiarowe rzeczy, to wiesz co? Całkowaliśmy już po z. Dwie zmienne, które mi zostały to x i y. Pozwólcie, że narysuję rzut naszej objętości na płaszczyznę xy. I jak to wygląda? Zrobię to. Gdyż to na pewno ułatwi parę rzeczy. Jeśli to przekręcimy, jeśli weźmiemy y i przekręcimy to w ten sposób, a x w ten sposób, dojdziemy do tradycyjnego sposobu, który poznaliśmy, kiedy uczyliśmy się algebry. Oś xy. Więc to jest x, a to y. A ten punkt to co? Albo ten? Co to jest? To x=3. Więc to jest 1, 2, 3. Ten x=3. A ten punkt tutaj to y=6. Czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6. Więc na osi xy, tak jakby obszarze... Możesz to patrzeć na to w ten sposób. Wygląda to tak. Jednym ze sposobów jest wyliczenie czy te kolumny... Całkowaliśmy w górę, w dół lub wzdłuż osi z. Ale jeśli popatrzysz na to prosto z góry, popatrzysz na płaszczyznę xy, każda z naszych kolumn będzie tak wyglądała, kolumna będzie wyskakiwać z ekranu w kierunku z. Ale podstawa każdej kolumny idzie do dx, o tak, a później dy w górę i dół, tak? Więc następne zdecydowaliśmy całkować względem x. Będziemy dodawać każdą z tych kolumn w kierunku x, w kierunku poziomym. Pytanie było, jaka jest dolna granica? Jakie jest dolne ograniczenie w kierunku x? Cóż, x=0. Jeśli byłaby tu prosta, byłaby prawdopodobnie funkcją od y, a nawet definitywnie byłaby funkcją od y. Więc nasza dolna granica x=0. Jaka jest górna granica? Zdaję sobie sprawę, że już upycham. Cóż, nasza górna granica to ta relacja, ale musi być z punktu widzenia x, tak? Wobec tego czym jest ta relacja. Możesz spojrzeć na to jak, jeśli z =0, co to za prosta? Co to za prosta, ta tutaj? z=0 Mamy 2x+y=6 Chcemy z tej równości wyciągnąć x. Mamy zatem 2x=6–y, co daje x=3-y/2. No i wreszcie będziemy całkować po y. To jest łatwa część. Całkowaliśmy w górę i w dół, aby uzyskać kolumnę. To są podstawy kolumn, więc całkowaliśmy w kierunku x. Teraz musimy iść w górę i dół względem y, albo na płaszczyźnie xy względem y. Więc jaka jest dolna granica y? Cóż, wychodzi 0. y=0 Zaś górna granica to y=6. I oto proszę. Określiliśmy całkę, reszta to już tylko kwestia mechanicznych rachunków. Niestety skończył mi się czas i nie chcę, żeby to nagranie zostało odrzucone. Zakończymy więc w tym momencie. Do zobaczenia w następnym nagraniu.