Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Całki potrójne 3
Figuring out the boundaries of integration. Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Zróbmy kolejną teraz całkę
potrójną, ale tym razem nie będę jej obliczał. To czym się zajmiemy najpierw to
zdefiniowanie potrójnej całki. Zrobimy coś podobnego
do tego co robiliśmy w ostatnim nagraniu,
gdzie wyliczyliśmy masę za pomocą funkcji gęstości. Chciałbym przedstawić Ci
w tym nagraniu jak ustalać granice, kiedy obszar
jest trochę bardziej skomplikowany. A jeśli starczy nam czasu,
spróbujemy zmienić kolejność całkowania. Powiedzmy, że mamy powierzchnię.
Pozwól, że wymyślę jakąś... 2x+3z+y=6 Narysujmy tę powierzchnię. Coś w tym stylu. To będzie moja oś x. To będzie moja oś z. To będzie moja oś y. Rysujemy je. x, y i z. Zależy mi na powierzchni
w dodatnim oktancie, ponieważ kiedy zajmujemy
się trójwymiarami, to zamiast czterech
ćwiartek, mamy wtedy osiem oktantów. Ale nas interesuje oktant,
gdzie x, y i z są dodatnie, właśnie taki jak
tu narysowałem. Zobaczmy więc, narysuję...
Jaki jest punkt przecięcia osi x? Kiedy y i z wynoszą 0,
zapiszmy to tutaj, to jest punkt przecięcia osi x. 2x=6, czyli x=3. Więc 1, 2, 3. Więc to jest punkt przecięcia. Punkt przecięcia osi y, kiedy
x i z wynoszą 0 są na osi y, więc y będzie równało się 6. Więc mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6 jest
punktem przecięcia osi y. Wreszcie punkt przecięcia osi z,
kiedy x i y równają się 0, jesteśmy na osi z. 3z będzie równało się 6. Więc z równa się 1, 2. Zatem obszar, który mnie
interesuje, będzie wyglądał jakoś tak. To ta pochyła
powierzchnia. To będzie coś w tym stylu. W tym dodatnim oktancie. Więc to jest powierzchnia
wyznaczona przez tę funkcję. Powiedzmy, że zależy mi
na objętości, i jeszcze skomplikuję to nieco. Można by rzecz: cóż, to
była objętość pomiędzy naszą powierzchnią
a płaszczyzną xy. Jednakże trochę to
skomplikuję. Powiedzmy, że objętość
pomiędzy tą powierzchnią i powierzchnią z=2. Więc objętość, na której
nam zależy, będzie wyglądała tak. Zobaczmy czy uda mi
się to narysować. Jeśli pójdziemy o dwa do góry...
Pozwólcie, że narysuję to innym kolorem. Górę zaznaczę
na zielono. Więc to jest wzdłuż
płaszczyzny zy. A kolejna krawędź
będzie wyglądała mniej więcej tak. Pozwól, że upewnię się czy dam radę
to narysować - to najtrudniejsza część. Pójdziemy w tym miejscu o dwa w górę
i to będzie wzdłuż płaszczyzny zx. I mamy kolejną linię
łączącą te dwie. Ten zielony trójkąt,
to jest część płaszczyzny z=2. Objętość, na jakiej nam zależy to
objętość pomiędzy tą górną zieloną płaszczyzną i tą przekrzywioną
powierzchnią wyznaczoną przez 2x+3z+y=6. Więc ten obszar pomiędzy. Zobaczmy czy mogę
przedstawić to prościej. Tak jak już powiedziałem, wizualizacja
to często najtrudniejsza część. W tym miejscu mielibyśmy
ścianę przednią, natomiast tylna ściana byłaby w tym miejscu,
a tutaj byłaby kolejna ściana. Zaś podstawa tego, podstawa,
którą zaznaczę na fioletowo, będzie tą płaszczyzną. Więc podstawą jest ta płaszczyzna -
- to jest dolna część. W każdym razie, nie wiem czy dobrym
pomysłem było rysować to tak niechlujnie, gdyż muszę teraz narysować
na tym objętości dv i d. Tak czy siak, spróbuję. Więc jeśli mamy wyliczyć
objętość... A właściwie ponieważ mamy do czynienia z
potrójną całką i chcemy pokazać jak sobie z nią radzić, zamiast liczyć objętość, obliczmy masę
czegoś zmiennie gęstego. Może niech gęstość w tej
objętości, którą się zajmujemy... Nasza funkcja gęstości jest
funkcją zmiennych x, y i z. To może być cokolwiek. To nie na tym mamy
się skupiać. Ale coś wymyślę. Niech to będzie x^2yz. Naszym zadaniem jest tak
naprawdę określenie całek. Pierwszą rzeczą jaką chciałbym
zrobić to zilustrować... To co zamierzamy zrobić to
ustawić mały sześcian w objętości, którą rozważamy. Jeśli miałbym... Pozwól, że zaznaczę to
pogrubionym kolorem, żebyś mógł lepiej widzieć. Więc jeśli mamy sześcian...
Może zrobię to na brązowo, nie jest tak pogrubiony,
ale odróżnia się od innych kolorów. Więc jeśli miałbym mały sześcian
w objętości, która nas interesuje, ten mały sześcian -
- weź pod uwagę dv. Objętość tego sześcianu to pewnego
rodzaju różniczka objętości. I jest równa dx, a nie,
przepraszam, to jest dy. Zaznaczmy to na żółto,
albo na zielono. Więc dy. dy razy dx, dx razy dz. To jest objętość tego
małego sześcianu. A jeśli chcielibyśmy znać
masę tego sześcianu, to pomnożylibyśmy funkcję
gęstości w tym punkcie razy dv. Więc masa, możesz ją
nazwać d... nie wiem, dm. Różniczka masy będzie
równa to razy to. Czyli x^2yz razy to. dy, dx i dz. Normalnie zamieniamy kolejność,
w zależności od tego po czym chcemy całkować
na początku, abyśmy się nie pogubili. Spróbujmy więc. Spróbujmy określić tę całkę. Zróbmy to tradycyjnie. Kilka ostatnich całek, którymi się
zajmowaliśmy, scałkowaliśmy najpierw względem z. Zróbmy to samo tutaj. Całkujemy ją najpierw
względem z. Weźmiemy ten sześcian
i zsumujemy wszystkie sześciany na osi z. Więc najpierw w górę
i w dół, tak? Jeśli to zrobimy, to jaka
będzie dolna granica? Kiedy zsumujesz górę
i dół, te sześciany zamienią się w kolumny,
prawda? Więc co jest dołem kolumny,
jej dolną granicą? Jaka powierzchnia? To powierzchnia określona tutaj. Więc jeśli chcemy tę dolną
granicę wyrażoną w zależności od z, to najpierw musimy to
rozwiązać ze względu na z. Odejmijmy więc. Co otrzymujemy? Jeśli chcemy to zdefiniowane
jako z, to mamy 3z=6-2x-y. Albo z=2-2/3-y/3. To to samo co tamto. Jeśli mówimy o z,
określamy z wprost, tak to właśnie otrzymujemy, po
przekształceniach algebraicznych. Czyli dolna granica - możesz ją
sobie wyobrazić, prawda? Dół tych kolumn pójdzie
w górę i w dół. Dodamy wszystkie kolumny
w kierunku górnym i dolnym, tak? Wyobraź sobie jak
je dodajemy. Dolna granica będzie
tą powierzchnią. z=2-2/3x-y/3 A jaka jest górna granica? Cóż, góra kolumny
będzie tą zieloną płaszczyzną, a zieloną
płaszczyzną było co? To było z=2. To ta płaszczyzna, ta
powierzchnia tutaj. z=2 No a jaka jest objętość
tej kolumny? Cóż, będzie to funkcja
gęstości x^2yz razy różniczka objętości,
ale całkujemy najpierw po z. Pozwól, że zapiszę dz tutaj Powiedzmy, że chcemy
całkować względem... Sam nie wiem...
następnie względem x. W paru ostatnich
nagraniach, całkowałem później względem y. Więc zróbmy x, aby pokazać Ci, że
to naprawdę nie ma znaczenia. Więc będziemy całkować
względem x. Teraz mamy te
kolumny, tak? Kiedy całkujemy względem z,
otrzymujemy objętość każdej z tych kolumn, gdzie górną
granicą jest ta płaszczyzna. Zobaczmy, czy uda mi się to
przyzwoicie narysować. Górna granica to
ta płaszczyzna. Dolna granica to
ta powierzchnia. Teraz chcemy całkować
względem x. Dodamy wszystkie dx. Więc jaka jest dolna
granica dla x-ów? Cóż, ta powierzchnia jest
określona aż do... Objętość poniżej jest dobrze określona
przez cały czas aż do x=0. Jeśli się pogubisz, a
istnieje taka możliwość kiedy wyobrażasz sobie
te trójwymiarowe rzeczy, to wiesz co? Całkowaliśmy już po z. Dwie zmienne, które
mi zostały to x i y. Pozwólcie, że narysuję rzut naszej
objętości na płaszczyznę xy. I jak to wygląda? Zrobię to. Gdyż to na pewno
ułatwi parę rzeczy. Jeśli to przekręcimy, jeśli weźmiemy
y i przekręcimy to w ten sposób, a x w ten sposób, dojdziemy
do tradycyjnego sposobu, który poznaliśmy, kiedy
uczyliśmy się algebry. Oś xy. Więc to jest x, a to y. A ten punkt to co? Albo ten? Co to jest? To x=3. Więc to jest 1, 2, 3. Ten x=3. A ten punkt tutaj to y=6. Czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6. Więc na osi xy, tak jakby obszarze...
Możesz to patrzeć na to w ten sposób. Wygląda to tak. Jednym ze sposobów
jest wyliczenie czy te kolumny... Całkowaliśmy w górę,
w dół lub wzdłuż osi z. Ale jeśli popatrzysz na to
prosto z góry, popatrzysz na płaszczyznę xy, każda
z naszych kolumn będzie tak wyglądała, kolumna
będzie wyskakiwać z ekranu w kierunku z. Ale podstawa każdej kolumny
idzie do dx, o tak, a później dy w górę i dół, tak? Więc następne zdecydowaliśmy
całkować względem x. Będziemy dodawać
każdą z tych kolumn w kierunku x, w
kierunku poziomym. Pytanie było, jaka jest
dolna granica? Jakie jest dolne ograniczenie
w kierunku x? Cóż, x=0. Jeśli byłaby tu prosta,
byłaby prawdopodobnie funkcją od y, a nawet definitywnie
byłaby funkcją od y. Więc nasza dolna granica x=0. Jaka jest górna granica? Zdaję sobie sprawę,
że już upycham. Cóż, nasza górna granica
to ta relacja, ale musi być z punktu widzenia x, tak? Wobec tego czym
jest ta relacja. Możesz spojrzeć na
to jak, jeśli z =0, co to za prosta? Co to za prosta, ta tutaj? z=0 Mamy 2x+y=6 Chcemy z tej równości
wyciągnąć x. Mamy zatem 2x=6–y,
co daje x=3-y/2. No i wreszcie będziemy
całkować po y. To jest łatwa część. Całkowaliśmy w górę i w dół,
aby uzyskać kolumnę. To są podstawy kolumn,
więc całkowaliśmy w kierunku x. Teraz musimy iść w górę
i dół względem y, albo na płaszczyźnie xy względem y. Więc jaka jest dolna granica y? Cóż, wychodzi 0. y=0 Zaś górna granica to y=6. I oto proszę. Określiliśmy całkę, reszta
to już tylko kwestia mechanicznych rachunków. Niestety skończył mi się
czas i nie chcę, żeby to nagranie zostało odrzucone. Zakończymy więc w tym momencie. Do zobaczenia w następnym nagraniu.