Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 2
Lekcja 10: Dywergencja i rotacja (artykuły)Dywergencja
Jeśli wyobrazimy sobie pole prędkości cieczy nieściśliwej, to dywergencja tego pola prędkości mierzy wydajność źródeł płynącej cieczy.
Kontekst
Do czego zmierzamy
- interpretacja pola wektorowego jako pola prędkości cieczy nieściśliwej, to znaczy mającej stałą gęstość.
- dywergencja jako operator, działający na funkcję wektorową określającą dane pole wektorowe prędkości cieczy i zwracający funkcję skalarną, której wartości są miarami wydajności źródeł (lub ścieków) tej cieczy w każdym punkcie.
- wzór na obliczanie dywergencji w układzie kartezjańskim:
Gdzie , , są funkcjami określającymi współrzędne funkcji wektorowej
Wydajność źródeł cieczy na podstawie jej przepływu
Spójrz na następujące pole wektorowe:
Pole wektorowe przedstawione na rysunku opisuje funkcja:
Argumenty powyższej funkcji to punkty na płaszczyźnie, w których zaczepione są dwuwymiarowe wektory będące wartościami .
Ciekawy sposób w jaki możemy myśleć o polach wektorowych to wyobrażenie sobie pływu cieczy, które mogłyby reprezentować. Tzn. dla każdego punktu na płaszczyźnie argumentów, wyobraź sobie cząsteczkę znajdującą się w tym miejscu i płynącą w kierunku, który wskazuje wektor zaczepiony w .
Wektor ten to wartość funkcji wektorowej w tym punkcie. Ponadto załóżmy, że prędkość ruchu cząsteczki jest zdeterminowana przez długość tego wektora. Poniższa animacja pokazuje, jak taki chwilowy przepływ cieczy mógłby wyglądać dla danej funkcji :
Zauważ, że podczas tego chwilowego ruchu cieczy, w niektórych regionach cieczy ubywa — cząsteczki są bardziej oddalone od siebie. Taka sytuacja szczególnie ma miejsce powyżej środka układu współrzędnych. Z drugiej strony jednak spójrz na lewą dolną część przedstawionego układu współrzędnych. Cząsteczki zdają się płynąć tam na siebie nawzajem i można by powiedzieć, że cieczy tam przybywa.
Kluczowe pytanie: Dla danej funkcji wektorowej , jak możemy mierzyć zmiany w gęstości ułożenia cząsteczek w otoczeniu danego punktu , kiedy cząsteczki płyną wzdłuż wektorów ?
Możemy odpowiedzieć na to pytanie, korzystając z operatora związanego z pochodnymi cząstkowymi, nazywanego dywergencją (ang. "diverge" - "rozbiegać się"). Będziemy jeszcze mówić później o ruchu cieczy, ale najpierw wprowadzimy notację i wzór używany, aby wyrazić koncepcję dywergencji.
Notacja i wzór na dywergencję
Przy określaniu dywergencji używa się symbolu (nabla, del), który jak już wiesz oznacza operator gradientu. Swobodnie mówiąc, w układzie kartezjańskim operator gradientu jest wektorem operatorów pochodnych cząstkowych.
Dywergencję funkcji wektorowej zapisujemy tak:
Należy zauważyć, że ta notacja jest w zasadzie pewnego rodzaju skrótem myślowym, ponieważ nie jest prawdziwym wektorem złożonym z liczb, lecz "pseudo-wektorem" złożonym z operatorów pochodnych cząstkowych. Niemniej jednak użycie tej notacji z iloczynem skalarnym jest naprawdę pomocne dla zapamiętania, jak obliczać dywergencję w kartezjańskim układzie współrzędnych, spójrz:
W zasadzie, dywergencję można uogólnić dla pól wektorowych w przestrzeni n-wymiarowej. Oznacza to, że funkcja może mieć ilekolwiek-wymiarowy argument i tyle-samo-wymiarową wartość. Wymiar argumentu i wartości musi być taki sam, aby funkcja v mogła reprezentować pole wektorowe. Rozpiszmy składowe funkcji wektorowej w n-wymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych:
Wtedy dywergencja wygląda następująco:
Podsumujmy to na rysunku:
Interpretacja dywergencji
Załóżmy , że obliczasz dywergencję funkcji w pewnym punkcie i okazuje się, że jest ujemna.
Oznacza to, że ciecz nieściśliwa, płynąca wzdłuż pola wektorowego zdefiniowanego przez znika w punkcie . Mówimy, że ciecz ma w takim punkcie „ściek” o wydajności określonej przez dywergencję pola prędkości.
Na przykład poniższa animacja ukazuje pole wektorowe z ujemną dywergencją na środku układu współrzędnych.
Z drugiej strony jeśli dywergencja w punkcie jest dodatnia,
cieczy płynąca wzdłuż wektorów pola wektorowego w otoczeniu punktu przybywa. Mówimy, że ciecz ma źródło, o wydajności określonej przez dywergencję pola prędkości. Oto przykład:
Koncepcja pola wektorowego o zerowej dywergencji jest bardzo ważna w dynamice cieczy i elektrodynamice.
Zerowa dywergencja oznacza, że nawet jeśli ciecz porusza się swobodnie i nie występują źródła ani ścieki, jej gęstość pozostaje stała.
Jest to szczególnie przydatne przy modelowaniu cieczy nieściśliwych, takich jak woda.
W zasadzie sama idea, że ciecz jest nieściśliwa, jest ściśle powiązana z następującym równaniem, prawdziwym w nieobecności źródeł:
Oto przykład tego, jak może wyglądać ruch cieczy wzdłuż pola wektorowego o zerowej dywergencji:
Źródła i ścieki
W przypadku cieczy nieściśliwej, w punkcie z ujemną dywergencją musi istnieć ściek cieczy, musi ona znikać.
Oto jak można by to zilustrować:
Takie punkty z negatywną dywergencją są często nazywane „ściekami”.
Podobnie, w punkcie z dodatnią dywergencją musi istnieć „żródlo” generujące w sposób ciągły więcej i więcej cząsteczek cieczy.
Dywergencja w wyższych wymiarach
Chociaż wszystkie diagramy i animacje, które tu zamieściłem ukazują dwuwymiarowy przypadek dywergencji,
prawdopodobnie rozumiesz, że te same koncepcje sprawdzałyby się w przestrzeni trójwymiarowej, czterowymiarowej,
a także w przestrzeni o większej liczbie wymiarów.
Ćwiczenie na wyobraźnię: sprawdź, czy rozumiesz co reprezentuje dywergencja - wyobraź sobie trójwymiarowe pole wektrorowe
i zastanów się, jak mogłyby wyglądać miejsca, gdzie dywergencja jest dodatnia, ujemna lub zerowa.
Przykład 1: Obliczenie i interpretacja dywergencji
Problem: Mając dany wzór funkcji opisującej powyższe pole wektorowe:
Oblicz dywergencję i sprawdź, czy punkt jest bardziej typem źródła, czy ścieku.
Krok 1: Oblicz dywergencję.
Krok 2: Podstaw = .
Krok 3: Zinterpretuj wynik. Czy punkt to bardziej źródło, czy ściek?
Mylące się znaki
Zawsze frapuje mnie, jak odróżnić dodatnią dywergencję od ujemnej.
Interpretacja źródła/zlewy pomaga w tym trochę, ponieważ w tej interpretacji punkty z dodatnią dywergencją dodają ciecz do układu, podczas gdy
punkty z ujemną dywergencją wysysają ciecz, zmniejszają jej ilość.
Osobiście sposób, w jaki zawsze zapamiętuję, kiedy dywergencja
jest dodatnia, a kiedy ujemna to myślenie o przypadku, kiedy
f jest wektorową funkcją tożsamościową, biorącą punkt i zwracającą wektor .
W polu wektorowym opisanym przez tę funkcję wszystkie wektory są skierowane w kierunku przeciwnym od środka układu współrzędnych. (wiesz dlaczego?) Obliczenie jest całkiem proste i szybkie:
Więc za każdym razem, kiedy wracam do tematu dywergencji,
nie mając z nią styczności przez jakiś czas i zastanawiam się
"hmm, czy to była dodatnia, czy ujemna dywergencja,
która z nich oznaczała źródło?", przechodzę przez to
szybkie obliczenie powyżej i przypominam sobie, "Aaa tak,
już wiem, jak to było, dodatnia dywergencja oznacza źródło". Przy okazji, warto sobie uświadomić, że dla pola wektorowego na tym rysunku „źródła” leżą wszędzie, nie tylko w początku układu współrzędnych. Cieczy przybywa równomiernie w każdym punkcie płaszczyzny.
Dalsze zasoby
W następnym artykule dam Ci intuicję, dlaczego wzór na dywergencję
ma cokolwiek wspólnego z pływami cieczy.
Później, po przerobieniu całek krzywoliniowych i powierzchniowych,
pomówię o formalnej definicji dywergencji.
Podsumowanie
- interpretacja pola wektorowego jako pola prędkości cieczy nieściśliwej, to znaczy mającej stałą gęstość.
- dywergencja jako operator, działający na funkcję wektorową określającą dane pole wektorowe prędkości cieczy i zwracający funkcję skalarną, której wartości są miarami wydajności źródeł (lub ścieków) tej cieczy w każdym punkcie.
- wzór na obliczanie dywergencji w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Gdzie , , są funkcjami określającymi współrzędne funkcji wektorowej
Zapamiętaj jednak, że dywergencja jest używana w wielu kontekstach,
które mogą nie mieć nic wspólnego z cieczami. Np. elektrodynamika
jest dobrym tego przykładem. Interpretecja z przepływem cieczy jest bardzo przydatna i daje znacznie silniejszą intuicję niż ślepe używanie
symboli, ale zachowaj w głowie nutę sceptycyzmu, aby mieć głowę
otwartą na różne konteksty!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji