Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 2

Lekcja 10: Dywergencja i rotacja (artykuły)

Dywergencja

Jeśli wyobrazimy sobie pole prędkości cieczy nieściśliwej, to dywergencja tego pola prędkości mierzy wydajność źródeł płynącej cieczy.

Kontekst

Do czego zmierzamy

interpretacja pola wektorowego jako pola prędkości cieczy nieściśliwej, to znaczy mającej stałą gęstość.
dywergencja jako operator, działający na funkcję wektorową określającą dane pole wektorowe prędkości cieczy i zwracający funkcję skalarną, której wartości są miarami wydajności źródeł (lub ścieków) tej cieczy w każdym punkcie.
wzór na obliczanie dywergencji w układzie kartezjańskim:

\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}

Gdzie

v_{1}

v_{2}

\dots

są funkcjami określającymi współrzędne funkcji wektorowej

\vec{v}

Wydajność źródeł cieczy na podstawie jej przepływu

Spójrz na następujące pole wektorowe:

[Co oznacza kolorowanie wektorów?]

Pole wektorowe przedstawione na rysunku opisuje funkcja:

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} 2 x - y \\ y^{2} \end{matrix}]$ ‍

Argumenty powyższej funkcji to punkty

(x, y)

na płaszczyźnie, w których zaczepione są dwuwymiarowe wektory będące wartościami

\vec{v} (x, y)

Ciekawy sposób w jaki możemy myśleć o polach wektorowych to wyobrażenie sobie pływu cieczy, które mogłyby reprezentować. Tzn. dla każdego punktu

(x, y)

na płaszczyźnie argumentów, wyobraź sobie cząsteczkę znajdującą się w tym miejscu i płynącą w kierunku, który wskazuje wektor zaczepiony w

(x, y)

. Wektor ten to wartość funkcji wektorowej

\vec{v} (x, y)

w tym punkcie. Ponadto załóżmy, że prędkość ruchu cząsteczki jest zdeterminowana przez długość tego wektora. Poniższa animacja pokazuje, jak taki chwilowy przepływ cieczy mógłby wyglądać dla danej funkcji

\vec{v}

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Zauważ, że podczas tego chwilowego ruchu cieczy, w niektórych regionach cieczy ubywa — cząsteczki są bardziej oddalone od siebie. Taka sytuacja szczególnie ma miejsce powyżej środka układu współrzędnych. Z drugiej strony jednak spójrz na lewą dolną część przedstawionego układu współrzędnych. Cząsteczki zdają się płynąć tam na siebie nawzajem i można by powiedzieć, że cieczy tam przybywa.

Kluczowe pytanie: Dla danej funkcji wektorowej

\vec{v} (x, y)

, jak możemy mierzyć zmiany w gęstości ułożenia cząsteczek w otoczeniu danego punktu

(x, y)

, kiedy cząsteczki płyną wzdłuż wektorów

\vec{v} (x, y)

Możemy odpowiedzieć na to pytanie, korzystając z operatora związanego z pochodnymi cząstkowymi, nazywanego dywergencją (ang. "diverge" - "rozbiegać się"). Będziemy jeszcze mówić później o ruchu cieczy, ale najpierw wprowadzimy notację i wzór używany, aby wyrazić koncepcję dywergencji.

Notacja i wzór na dywergencję

Przy określaniu dywergencji używa się symbolu

\nabla

(nabla, del), który jak już wiesz oznacza operator gradientu. Swobodnie mówiąc, w układzie kartezjańskim operator gradientu jest wektorem operatorów pochodnych cząstkowych.

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] \end{array}

Dywergencję funkcji wektorowej

\vec{v} (x, y, \dots)

zapisujemy tak:

$\nabla \cdot \vec{v} \leftarrow Dywergencja pola wektorowego określonego przez \vec{v}$ ‍

Należy zauważyć, że ta notacja jest w zasadzie pewnego rodzaju skrótem myślowym, ponieważ

\nabla

nie jest prawdziwym wektorem złożonym z liczb, lecz "pseudo-wektorem" złożonym z operatorów pochodnych cząstkowych. Niemniej jednak użycie tej notacji z iloczynem skalarnym jest naprawdę pomocne dla zapamiętania, jak obliczać dywergencję w kartezjańskim układzie współrzędnych, spójrz:

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 x - y \\ y^{2} \end{array}] \\ = \frac{\partial}{\partial x} (2 x - y) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{2}) \\ = 2 + 2 y \end{aligned}

W zasadzie, dywergencję można uogólnić dla pól wektorowych w przestrzeni n-wymiarowej. Oznacza to, że funkcja

\vec{v}

może mieć ilekolwiek-wymiarowy argument i tyle-samo-wymiarową wartość. Wymiar argumentu i wartości musi być taki sam, aby funkcja v mogła reprezentować pole wektorowe. Rozpiszmy składowe funkcji wektorowej

\vec{v}

w n-wymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych:

\begin{aligned} \vec{v} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ v_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{array}] \end{aligned}

Wtedy dywergencja

\vec{v}

wygląda następująco:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n}} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}] = \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial v_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}

[Inny sposób w jaki można myśleć o wzorze na dywergencję]

Podsumujmy to na rysunku:

Interpretacja dywergencji

Załóżmy , że obliczasz dywergencję funkcji

\vec{v}

w pewnym punkcie

(x_{0}, y_{0})

i okazuje się, że jest ujemna.

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) < 0 \end{array}

Oznacza to, że ciecz nieściśliwa, płynąca wzdłuż pola wektorowego zdefiniowanego przez

\vec{v}

znika w punkcie

(x_{0}, y_{0})

. Mówimy, że ciecz ma w takim punkcie „ściek” o wydajności określonej przez dywergencję pola prędkości. Na przykład poniższa animacja ukazuje pole wektorowe z ujemną dywergencją na środku układu współrzędnych.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Z drugiej strony jeśli dywergencja w punkcie

(x_{0}, y_{0})

jest dodatnia,

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) > 0 \end{array}

cieczy płynąca wzdłuż wektorów pola wektorowego w otoczeniu punktu

(x_{0}, y_{0})

przybywa. Mówimy, że ciecz ma źródło, o wydajności określonej przez dywergencję pola prędkości. Oto przykład:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Koncepcja pola wektorowego o zerowej dywergencji jest bardzo ważna w dynamice cieczy i elektrodynamice. Zerowa dywergencja oznacza, że nawet jeśli ciecz porusza się swobodnie i nie występują źródła ani ścieki, jej gęstość pozostaje stała. Jest to szczególnie przydatne przy modelowaniu cieczy nieściśliwych, takich jak woda. W zasadzie sama idea, że ciecz jest nieściśliwa, jest ściśle powiązana z następującym równaniem, prawdziwym w nieobecności źródeł:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = 0 \end{array}

Oto przykład tego, jak może wyglądać ruch cieczy wzdłuż pola wektorowego o zerowej dywergencji:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Źródła i ścieki

W przypadku cieczy nieściśliwej, w punkcie z ujemną dywergencją musi istnieć ściek cieczy, musi ona znikać. Oto jak można by to zilustrować:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Takie punkty z negatywną dywergencją są często nazywane „ściekami”.

Podobnie, w punkcie z dodatnią dywergencją musi istnieć „żródlo” generujące w sposób ciągły więcej i więcej cząsteczek cieczy.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Dywergencja w wyższych wymiarach

Chociaż wszystkie diagramy i animacje, które tu zamieściłem ukazują dwuwymiarowy przypadek dywergencji, prawdopodobnie rozumiesz, że te same koncepcje sprawdzałyby się w przestrzeni trójwymiarowej, czterowymiarowej, a także w przestrzeni o większej liczbie wymiarów.

Ćwiczenie na wyobraźnię: sprawdź, czy rozumiesz co reprezentuje dywergencja - wyobraź sobie trójwymiarowe pole wektrorowe i zastanów się, jak mogłyby wyglądać miejsca, gdzie dywergencja jest dodatnia, ujemna lub zerowa.

Przykład 1: Obliczenie i interpretacja dywergencji

Problem: Mając dany wzór funkcji opisującej powyższe pole wektorowe:

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = (x^{2} - y^{2}) \hat{i} + 2 x y \hat{j} \end{array}

Oblicz dywergencję i sprawdź, czy punkt

(1, 2)

jest bardziej typem źródła, czy ścieku.

Krok 1: Oblicz dywergencję.

$\nabla \cdot \vec{v} =$ ‍

[Odpowiedź]

Krok 2: Podstaw

(x, y)

(1, 2)

$\nabla \cdot \vec{v} (1, 2) =$ ‍

[Odpowiedź]

Krok 3: Zinterpretuj wynik. Czy punkt

(1, 2)

to bardziej źródło, czy ściek?

Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
żródło
(Choice B)
ściek
(Choice C)
Żadne z zaproponowanych

[Odpowiedź]

Mylące się znaki

Zawsze frapuje mnie, jak odróżnić dodatnią dywergencję od ujemnej. Interpretacja źródła/zlewy pomaga w tym trochę, ponieważ w tej interpretacji punkty z dodatnią dywergencją dodają ciecz do układu, podczas gdy punkty z ujemną dywergencją wysysają ciecz, zmniejszają jej ilość.

Osobiście sposób, w jaki zawsze zapamiętuję, kiedy dywergencja jest dodatnia, a kiedy ujemna to myślenie o przypadku, kiedy f jest wektorową funkcją tożsamościową, biorącą punkt

(x, y)

i zwracającą wektor

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

. W polu wektorowym opisanym przez tę funkcję wszystkie wektory są skierowane w kierunku przeciwnym od środka układu współrzędnych. (wiesz dlaczego?) Obliczenie

\nabla \cdot f

jest całkiem proste i szybkie:

\begin{array}{r} \nabla \cdot f = \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 + 1 = 2 \end{array}

Więc za każdym razem, kiedy wracam do tematu dywergencji, nie mając z nią styczności przez jakiś czas i zastanawiam się "hmm, czy to była dodatnia, czy ujemna dywergencja, która z nich oznaczała źródło?", przechodzę przez to szybkie obliczenie powyżej i przypominam sobie, "Aaa tak, już wiem, jak to było, dodatnia dywergencja oznacza źródło". Przy okazji, warto sobie uświadomić, że dla pola wektorowego na tym rysunku „źródła” leżą wszędzie, nie tylko w początku układu współrzędnych. Cieczy przybywa równomiernie w każdym punkcie płaszczyzny.

Dalsze zasoby

W następnym artykule dam Ci intuicję, dlaczego wzór na dywergencję ma cokolwiek wspólnego z pływami cieczy.

Później, po przerobieniu całek krzywoliniowych i powierzchniowych, pomówię o formalnej definicji dywergencji.

Podsumowanie

interpretacja pola wektorowego jako pola prędkości cieczy nieściśliwej, to znaczy mającej stałą gęstość.
dywergencja jako operator, działający na funkcję wektorową określającą dane pole wektorowe prędkości cieczy i zwracający funkcję skalarną, której wartości są miarami wydajności źródeł (lub ścieków) tej cieczy w każdym punkcie.
wzór na obliczanie dywergencji w kartezjańskim układzie współrzędnych:

\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}

Gdzie

v_{1}

v_{2}

\dots

są funkcjami określającymi współrzędne funkcji wektorowej

\vec{v}

Zapamiętaj jednak, że dywergencja jest używana w wielu kontekstach, które mogą nie mieć nic wspólnego z cieczami. Np. elektrodynamika jest dobrym tego przykładem. Interpretecja z przepływem cieczy jest bardzo przydatna i daje znacznie silniejszą intuicję niż ślepe używanie symboli, ale zachowaj w głowie nutę sceptycyzmu, aby mieć głowę otwartą na różne konteksty!

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.