Wstęp do pochodnych cząstkowych

Kontekst

• (Zwykłe) pochodne
• Funkcje wielu zmiennych
• Graficzne przedstawienie funkcji wielu zmiennych

Do czego zmierzamy

• Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: $f(x, y) = x^2y$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:

• Ten zakręcony symbol, $\partial$\partial, czyta się "de", jest wykorzystywany do oznaczania pochodnych cząstkowych, w odróżnieniu od pochodnych zwykłych, funkcji jednej zmiennej.
• W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
• Na przykład, jeśli mamy do czynienia z funkcją rzeczywistą zależną od dwóch zmiennych, pochodną cząstkową $\dfrac{\partial f}{\partial x}$start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction można przedstawić tnąc powierzchnię, będącą wykresem $f$f, płaszczyzną stałej wartości $y$y i mierząc nachylenie prostej stycznej do tak powstałej krzywej.

Co to jest pochodna cząstkowa?

• Przyjmiemy, że $dx$d, x oznacza "małą, infinitezymalną zmianę $x$x".
• Przyjmiemy, że $df$d, f oznacza "inifinitezymalną zmianę $f$f", która bierze się z infinitezymalnej zmiany $dx$d, x, opisanej powyżej.

Jak działa różniczkowanie w przypadku funkcji wielu zmiennych?

• tak jak poprzednio, $dx$d, x może przedstawiać infinitezymalny przyrost zmiennej $x$x, która w tym przypadku jest tylko jedną ze zmiennych, od których zależy ta funkcja.
• $df$d, f interpretujemy jako zmianę wartości funkcji $f(x, y)$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis związaną z infinitezymalną zmianą wartości zmiennej $x$x.

Przykład: Obliczanie pochodnej cząstkowej

"Co takiego? Przecież nie nauczyliśmy się jeszcze obliczania pochodnych cząstkowych!"

Sprawdź

[Pokaż odpowiedzi.]

To samo, ale bez podstawiania wartości $y$y

"W takim razie, na czym polega różnica pomiędzy $\dfrac{d}{dx}$start fraction, d, divided by, d, x, end fraction a $\dfrac{\partial}{\partial x}$start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction? Wygląda na to, że przynajmniej jeśli chodzi o sposób obliczania, są bardzo podobne."

Geometryczna interpretacja pochodnych cząstkowych.

$f(x, y) = \frac{1}{5}(x^2 - 2xy) + 3$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3,

Potraktowanie $y$y jako stałej $\rightarrow$right arrow przecięciu wykresu funkcji płaszczyzną

Wybierz 1 odpowiedź:

Wybierz 1 odpowiedź:

• (Choice A)  

  Tak

  A

  Tak
• (Choice B)  

  Nie/Żadne

  B

  Nie/Żadne

Sprawdź

[Pokaż odpowiedzi.]

Wymowa i notacja

• "Pochodna cząstkowa funkcji $f$f po $x$x"
• "De f po de x"
• "Pochodna cząstkowa (funkcji $f$f) w kierunku $x$x"

Różne sposoby zapisu pochodnej cząstkowej

Formalna definicja pochodnej cząstkowej

• Wyrażenie, którego granicę obliczamy, nazywa się ilorazem różnicowym. $h$h można interpretować jako "infinitezymalny przyrost", który intuicyjnie identyfikujemy z $dx$d, x.
• Granica $h \to 0$h, \to, 0 oznacza, że bierzemy pod uwagę coraz mniejsze wartości $h$h, dążące do $0$0.
• $f(x_0 + h) - f(x_0)$f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis oznacza zmianę wartości funkcji związaną z dodaniem $h$h do jej argumentu i to wyrażenie interpretujemy intuicyjnie jako $df$d, f.

Podsumowanie

• Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: $f(x, y) = x^2y$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Różniczkując po $x$, }\\ \text{potraktuj $y$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Różniczkując po $y$, }\\ \text{potraktuj $x$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \\\\ \end{aligned}$ - Ta lekko zakręcona postać litery d, $\partial$\partial, to przyjęta powszechnie notacja pozwalająca odróżnić pochodną cząstkową od zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej.

• W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
• Jeśli masz wyobraźnię w trzech wymiarach, możesz wyobrazić sobie pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych, powiedzmy $x$x i $y$y, $\dfrac{\partial f}{\partial x}$start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction jako nachylenie krzywiej powstałej przez przecięcie powierzchni $z=f(x,y)$z, equals, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis z płaszczyzną stałej wartości $y$y.