If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do pochodnych cząstkowych

What is the partial derivative, how do you compute it, and what does it mean.

Do czego zmierzamy

  • Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:
fx= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣xx2yRoˊz˙niczkując po xpotraktuj y jak stałą. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=2xyfy= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣yx2yRoˊz˙niczkując po ypotraktuj x jak stałą. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=x21\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Różniczkując po $x$, }\\ \text{potraktuj $y$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Różniczkując po $y$, }\\ \text{potraktuj $x$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \\\\ \end{aligned}
  • Ten zakręcony symbol, \partial, czyta się "de", jest wykorzystywany do oznaczania pochodnych cząstkowych, w odróżnieniu od pochodnych zwykłych, funkcji jednej zmiennej.
  • W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
  • Na przykład, jeśli mamy do czynienia z funkcją rzeczywistą zależną od dwóch zmiennych, pochodną cząstkową start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction można przedstawić tnąc powierzchnię, będącą wykresem f, płaszczyzną stałej wartości y i mierząc nachylenie prostej stycznej do tak powstałej krzywej.
Przecięcie płaszczyzny y=0 z powierzchnią, będącą wykresem funkcji

Co to jest pochodna cząstkowa?

Zakładam, że wiesz dobrze co to jest zwykła pochodna start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, która pojawiła się w analizie matematycznej funkcji jednej zmiennej. Ta notacja podpowiada interpretację pochodnej, która pozwala wyrobić sobie jej intuicyjny obraz:
  • Przyjmiemy, że d, x oznacza "małą, infinitezymalną zmianę x".
  • Przyjmiemy, że d, f oznacza "inifinitezymalną zmianę f", która bierze się z infinitezymalnej zmiany d, x, opisanej powyżej.
Ta intuicyjna interpretacja symbolu start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, korzenie której sięgają analizy funkcji jednej zmiennej, może okazać się przydatna teraz, gdy chcemy uogólnić pojęcie pochodnej na funkcje wielu zmiennych.
Na przykład, jeśli zastanowić się nad interpretacją pochodnej na podstawie wykresu funkcji f, można myśleć o "stosunku" start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction jako o nachyleniu wykresu f w danym punkcie.
Interpretacja pochodnej dfracdfdx\\dfrac{df}{dx} w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Jak działa różniczkowanie w przypadku funkcji wielu zmiennych?

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych, o wartościach rzeczywistych, na przykład taką:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, y
W zasadzie, możemy zapisać pochodną po zmiennej x w podobny sposób, start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction i podobnie ją zinterpretować:
  • tak jak poprzednio, d, x może przedstawiać infinitezymalny przyrost zmiennej x, która w tym przypadku jest tylko jedną ze zmiennych, od których zależy ta funkcja.
  • d, f interpretujemy jako zmianę wartości funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis związaną z infinitezymalną zmianą wartości zmiennej x.
Do tej pory to wyglądało znajomo, co jednak z faktem, że mamy tutaj jeszcze jeden argument, y. Przestrzeń, w której mieszkają argumenty naszej funkcji ma dwa wymiary, możemy więc zmienić wartości argumentu w różnych kierunkach, nie tylko w kierunku osi X. Na przykład, co się stanie, jeśli zmienimy odrobinę y , tylko odrobinę, infinitezymalnie, o d, y? Jeśli chcemy interpretować d, f tak, jak poprzednio, jako infinitezymalną zmianę wartości funkcji wywołaną infinitezymalną zmianą wartości argumentu o d, y, będziemy mieli inną rodzaj pochodnej, start fraction, d, f, divided by, d, y, end fraction.
Ilustracja faktu, że argument funkcji wielu zmiennych może zmieniać się w różnych kierunkach.
Żadna z tych dwóch pochodnych z osobna nie zawiera pełnej informacji o tym, ak zachowuje się funkcja f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis przy małej zmianie jej argumentui dlatego mówimy o nich pochodne cząstkowe. Aby podkreślić różnicę, w przypadku funkcji wielu zmiennych nliterrę d, którą używaliśmy w przypadku funkcji jednej zmiennej na oznaczenie infinitezymalnie małych zmian, zastępujemy symbolem \partial, zapisując pochodne cząstkowe jako start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, itd.
Symbol start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction czytamy jako "pochodna cząstkowa f po x".

Przykład: Obliczanie pochodnej cząstkowej

Rozważmy taką funkcję:
f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, start color #bc2612, y, end color #bc2612, cubed
Powiedzmy, że chcemy obliczyć start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, pochodną cząstkową f po x, w punkcie left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.
"Co takiego? Przecież nie nauczyliśmy się jeszcze obliczania pochodnych cząstkowych!"
Bez nerwów, technicznie działa to bardzo podobnie do obliczania zwykłych pochodnych.
Ze wstępu powyżej wiesz już że pytamy się o szybkość, z jaką zmienia się wartość f. gdy składowa x argumentu f zmienia się odrobinę, powiedzmy że z left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis do left parenthesis, start color #0c7f99, 3, comma, 01, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.
Ponieważ interesuje nas zmiana wartości funkcji związana ze zmianą argumentu w kierunku zmiennej start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, możemy równie dobrze potraktować zmienną start color #bc2612, y, end color #bc2612 jak stałą. A nawet, podstawić start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612 zanim zaczniemy obliczać pochodną:
f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, cubed, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared
Teraz, odpowiedzią na pytanie o zmianę f w wyniku infinitezymalnej zmiany start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 jest zwyczajna pochodna, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.
Sprawdź, czy rozumiesz: Ile wynosi pochodna funkcji f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, obliczona w punkcie start color #0c7f99, x, equals, 3, end color #0c7f99?

To samo, ale bez podstawiania wartości y

Przypuśćmy, że chcesz obliczyć start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, ale tym razem nie chodzi o obliczenie wartości tej pochodnej w ustalonym punkcie. Inaczej mówiąc, chcesz wyznaczyć funkcję dwóch zmiennych, która w dowolnym punkcie left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis zwraca szybkość zmian f spowodowaną niewielką zmianą start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 w tym punkcie.
Możesz postępować dokładnie tak, jak poprzednio, traktując start color #bc2612, y, end color #bc2612 jako stałą. Tyle tylko, że tym razem nie podstawisz żadnej konkretnej wartości, powiedzmy start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612, za y. Po prostu, załóż że start color #bc2612, y, end color #bc2612 jest stałą i oblicz pochodną:
start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start underbrace, start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, Z, a, k, ł, a, d, a, j, ą, c, comma, space, z, with, \., on top, e, space, y, space, j, e, s, t, space, s, t, a, ł, ą, end text, end subscript, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed
Aby podkreślić, że mamy do czynienia z funkcją więcej niż jednej zmiennej, używamy symbolu \partial zamiast d:
start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed
Możesz teraz podstawić, na wszelki wypadek, left parenthesis, x, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, y, equals, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis i przekonać się że wynik będzie taki sam, jak poprzednio.
"W takim razie, na czym polega różnica pomiędzy start fraction, d, divided by, d, x, end fraction a start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction? Wygląda na to, że przynajmniej jeśli chodzi o sposób obliczania, są bardzo podobne."
I tak, i nie. To prawda, że obliczanie pochodnych cząstkowych nie jest bardziej złożone niż w przypadku pochodnej funkcji jednej zmiennej i wszystkie reguły, o których mówiliśmy przy okazji różniczkowania funkcji jednej zmiennej stosują się także w przypadku pochodnych cząstkowych. Z drugiej strony, jak przekonasz się w tym rozdziale, świat funkcji wielu zmiennych bardzo różni się od tego, czego uczyliśmy się do tej pory. Sposób obliczania pochodnych do bodajże jedyne takie podobieństwo!

Geometryczna interpretacja pochodnych cząstkowych.

Rozważmy taką funkcję:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3,
Na tym filmie możesz obejrzeć powierzchnię z, equals, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis aby wyrobić sobie intuicję jak wygląda w trzech wymiarach.
Filmy wideo na Khan Academy
Zastanówmy się teraz nad pochodną cząstkową f po start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, powiedzmy w punkcie left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis.
start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis
Co wartość tej pochodnej mówi nam o zachowaniu się wykresu funkcji f w otoczeniu punktu left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis?

Potraktowanie y jako stałej right arrow przecięciu wykresu funkcji płaszczyzną

Obliczając pochodną cząstkową po x traktujemy drugi argument, y, jak stałą. Jeśli interesujemy się otoczeniem punktu left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis, będziemy rozważać te punktu na wykresie, dla których y, equals, 0. To to samo, co przecięcie powierzchni, będącej wykresem funkcji f płaszczyzną prostopadłą do osi Y i przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
Przecięcie płaszczyzny y=0 z powierzchnią, będącą wykresem funkcji
Płaszczyzna y, equals, 0, oznaczona na biało, przecina powierzchnię wykresu f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis wzdłuż paraboli, zaznaczonej delikatnie na czerwowo. Pochodna cząstkowa interpret start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction ma interpretacje współczynnika kierunkowego prostej stycznej do tej paraboli, leżącej w płaszczyźnie y, equals, 0. Dlaczego tak? Po prostu, \partial, x ilustruje infinitezymalną zmianę argumentu x, a \partial, f to związana z tym zmiana wartości funkcji f w kierunku osi Z.
Co w takim razie można powiedzieć o interpretacji start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction w tym samym punkcie left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis? Zbiór punktów określony równaniem start color #0c7f99, x, equals, 2, end color #0c7f99 także tworzy płaszczyznę, prostopadłą do osi X i przechodzącą przez punkt x, equals, 2. Ta płaszczyzna przecina powierzchnię wykresu funkcji wzdłuż innej krzywej, a start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction jest równa nachyleniu tej krzywej
Przecięcie płaszczyzny x=2 z powierzchnią, będącą wykresem funkcji
Pytanie do zastanowienia:: na wykresie po prawej stronie "krzywa" powstałą z przecięcia powierzchni f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3 z płaszczyzną x, equals, 2 wygląda jak linia prosta. Czy to rzeczywiście jest linia prosta?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Wymowa i notacja

O pochodnej cząstkowej start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction można mówić na różne sposoby:
  • "Pochodna cząstkowa funkcji f po x"
  • "De f po de x"
  • "Pochodna cząstkowa (funkcji f) w kierunku x"

Różne sposoby zapisu pochodnej cząstkowej

Podobnie jak czasem możesz napotkać zapis f, prime zamiast start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, w stosunku do pochodnych cząstkowych używane są następujące konwencje:
fxfxfyfyfzmienna ftej samej zmiennej\begin{aligned} f_\blueE{x} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ f_\redE{y} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ f_{\greenE{\langle\text{zmienna }\rangle}} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\greenE{\partial \langle\text{tej samej zmiennej} \rangle}} \end{aligned}

Formalna definicja pochodnej cząstkowej

Interpretacja d, x lub \partial, x jako infinitezymalnych zmian wartości argumentu x daje pożyteczne intuicje, w matematyce zawsze odwołujemy się w końcu do precyzyjnej definicji pochodnej jako granicy. Powiedzmy, że chcemy wiedzieć ile powinno wynosić \partial, x? Jedna setna? Jedna milionowa? 10, start superscript, minus, 10, start superscript, 10, end superscript, end superscript?
Dzięki wprowadzonym w analizie matematycznej pojęciu granicy nie musimy rozważać żadnej określonej wartości zmiany argumentu. Zamiast tego, w pewnym sensie rozważamy wszystkie możliwe wartości i analizujemy, co się dzieje, gdy argument dąży do granicy. Jak pamiętamy, formalna definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej ma postać:
dfdx(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h\begin{aligned} \dfrac{{df}}{\blueE{dx}}(x_0) = \lim_{\blueE{h}\to 0} \frac{{f(x_0\blueE{+h}) - f(x_0)}}{\blueE{h}} \end{aligned}
  • Wyrażenie, którego granicę obliczamy, nazywa się ilorazem różnicowym. h można interpretować jako "infinitezymalny przyrost", który intuicyjnie identyfikujemy z d, x.
  • Granica h, \to, 0 oznacza, że bierzemy pod uwagę coraz mniejsze wartości h, dążące do 0.
  • f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis oznacza zmianę wartości funkcji związaną z dodaniem h do jej argumentu i to wyrażenie interpretujemy intuicyjnie jako d, f.
Formalna definicja pochodnej cząstkowej jest bardzo podobna. Załóżmy, że f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis jest funkcją wielu zmiennych. Mamy wtedy:
fx(x0,y0,)=limh0f(x0+h,y0,)f(x0,y0,)h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\blueE{h} \to 0} \dfrac{f(\blueE{x_0\blueE{+h}}, y_0, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)} {\blueE{h}} \end{aligned}
Podobnie, pochodna cząstkowa po y jest zdefiniowana jako:
fy(x0,y0,)=limh0f(x0,y0+h,)f(x0,y0,)h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\redD{\partial y}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\redD{h} \to 0} \frac{f(x_0, \redD{y_0+h}, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)}{\redD{h}} \\ \end{aligned}
I tak dalej, i tak dalej. Zwróć uwagę, że przyrost argumentu h w definicji pochodnej cząstkowej pełni rolę przyrostu wartości różnych zmiennych, w zależności od tego, jaką pochodną cząstkową chcemy oblizyć.
W literaturze, ta definicja nazywa się często definicją pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego.
Pytanie do zastanowienia:: jak połączyć tę definicję z interpretacją graficzną pochodnej cząstkowej, o której dyskutowaliśmy powyżej? Jaka jest interpretacja h? Co się dzieje, gdy h, \to, 0?

Podsumowanie

  • Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:
fx= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣xx2yRoˊz˙niczkując po xpotraktuj y jak stałą. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=2xyfy= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣yx2yRoˊz˙niczkując po ypotraktuj x jak stałą. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=x21\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Różniczkując po $x$, }\\ \text{potraktuj $y$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Różniczkując po $y$, }\\ \text{potraktuj $x$ jak stałą.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \\\\ \end{aligned} - Ta lekko zakręcona postać litery d, \partial, to przyjęta powszechnie notacja pozwalająca odróżnić pochodną cząstkową od zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej.
  • W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
  • Jeśli masz wyobraźnię w trzech wymiarach, możesz wyobrazić sobie pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych, powiedzmy x i y, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction jako nachylenie krzywiej powstałej przez przecięcie powierzchni z, equals, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis z płaszczyzną stałej wartości y.
Przecięcie płaszczyzny y=0 z powierzchnią, będącą wykresem funkcji