What is the partial derivative, how do you compute it, and what does it mean.

Do czego zmierzamy

  • Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: f(x,y)=x2yf(x, y) = x^2y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:
  • Ten zakręcony symbol, \partial , czyta się "de", jest wykorzystywany do oznaczania pochodnych cząstkowych, w odróżnieniu od pochodnych zwykłych, funkcji jednej zmiennej.
  • W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
  • Na przykład, jeśli mamy do czynienia z funkcją rzeczywistą zależną od dwóch zmiennych, pochodną cząstkową fx\dfrac{\partial f}{\partial x} można przedstawić tnąc powierzchnię, będącą wykresem ff, płaszczyzną stałej wartości yy i mierząc nachylenie prostej stycznej do tak powstałej krzywej.

Co to jest pochodna cząstkowa?

Zakładam, że wiesz dobrze co to jest zwykła pochodna dfdx\dfrac{df}{dx}, która pojawiła się w analizie matematycznej funkcji jednej zmiennej. Ta notacja podpowiada interpretację pochodnej, która pozwala wyrobić sobie jej intuicyjny obraz:
  • Przyjmiemy, że dxdx oznacza "małą, infinitezymalną zmianę xx".
  • Przyjmiemy, że dfdf oznacza "inifinitezymalną zmianę ff", która bierze się z infinitezymalnej zmiany dxdx, opisanej powyżej.
Ta intuicyjna interpretacja symbolu dfdx\dfrac{df}{dx}, korzenie której sięgają analizy funkcji jednej zmiennej, może okazać się przydatna teraz, gdy chcemy uogólnić pojęcie pochodnej na funkcje wielu zmiennych.
Na przykład, jeśli zastanowić się nad interpretacją pochodnej na podstawie wykresu funkcji ff, można myśleć o "stosunku" dfdx\dfrac{df}{dx} jako o nachyleniu wykresu ff w danym punkcie.

Jak działa różniczkowanie w przypadku funkcji wielu zmiennych?

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych, o wartościach rzeczywistych, na przykład taką:
f(x,y)=x22xyf(x, y) = x^2-2xy
W zasadzie, możemy zapisać pochodną po zmiennej xx w podobny sposób, dfdx\dfrac{df}{dx} i podobnie ją zinterpretować:
  • tak jak poprzednio, dxdx może przedstawiać infinitezymalny przyrost zmiennej xx, która w tym przypadku jest tylko jedną ze zmiennych, od których zależy ta funkcja.
  • dfdf interpretujemy jako zmianę wartości funkcji f(x,y)f(x, y) związaną z infinitezymalną zmianą wartości zmiennej xx.
Do tej pory to wyglądało znajomo, co jednak z faktem, że mamy tutaj jeszcze jeden argument, yy. Przestrzeń, w której mieszkają argumenty naszej funkcji ma dwa wymiary, możemy więc zmienić wartości argumentu w różnych kierunkach, nie tylko w kierunku osi XX. Na przykład, co się stanie, jeśli zmienimy odrobinę yy , tylko odrobinę, infinitezymalnie, o dydy? Jeśli chcemy interpretować dfdf tak, jak poprzednio, jako infinitezymalną zmianę wartości funkcji wywołaną infinitezymalną zmianą wartości argumentu o dydy, będziemy mieli inną rodzaj pochodnej, dfdy\dfrac{df}{dy}.
Żadna z tych dwóch pochodnych z osobna nie zawiera pełnej informacji o tym, ak zachowuje się funkcja f(x,y)f(x, y) przy małej zmianie jej argumentui dlatego mówimy o nich pochodne cząstkowe. Aby podkreślić różnicę, w przypadku funkcji wielu zmiennych nliterrę dd, którą używaliśmy w przypadku funkcji jednej zmiennej na oznaczenie infinitezymalnie małych zmian, zastępujemy symbolem \partial, zapisując pochodne cząstkowe jako fx\dfrac{\partial f}{\partial x}, fy\dfrac{\partial f}{\partial y}, itd.
Symbol fx\dfrac{\partial f}{\partial x} czytamy jako "pochodna cząstkowa ff po xx".

Przykład: Obliczanie pochodnej cząstkowej

Rozważmy taką funkcję:
f(x,y)=x2y3 f(\blueE{x}, \redE{y}) = \blueE{x}^2 \redE{y}^3
Powiedzmy, że chcemy obliczyć fx\dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}, pochodną cząstkową ff po xx, w punkcie (3,2)(\blueE{3}, \redE{2}).
"Co takiego? Przecież nie nauczyliśmy się jeszcze obliczania pochodnych cząstkowych!"
Bez nerwów, technicznie działa to bardzo podobnie do obliczania zwykłych pochodnych.
Ze wstępu powyżej wiesz już że pytamy się o szybkość, z jaką zmienia się wartość ff. gdy składowa xx argumentu ff zmienia się odrobinę, powiedzmy że z (3,2)(\blueE{3}, \redE{2}) do (3,01,2)(\blueE{3{,}01}, \redE{2}).
Ponieważ interesuje nas zmiana wartości funkcji związana ze zmianą argumentu w kierunku zmiennej x\blueE{x}, możemy równie dobrze potraktować zmienną y\redE{y} jak stałą. A nawet, podstawić y=2\redE{y=2} zanim zaczniemy obliczać pochodną:
f(x,2)=x2(2)3=8x2 f(\blueE{x}, \redE{2}) = \blueE{x}^2 (\redE{2})^3 = 8\blueE{x}^2
Teraz, odpowiedzią na pytanie o zmianę ff w wyniku infinitezymalnej zmiany x\blueE{x} jest zwyczajna pochodna, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.
Sprawdź, czy rozumiesz: Ile wynosi pochodna funkcji f(x,2)=8x2 f(\blueE{x}, \redE{2}) = 8\blueE{x}^2, obliczona w punkcie x=3\blueE{x = 3}?

To samo, ale bez podstawiania wartości yy

Przypuśćmy, że chcesz obliczyć fx\dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}, ale tym razem nie chodzi o obliczenie wartości tej pochodnej w ustalonym punkcie. Inaczej mówiąc, chcesz wyznaczyć funkcję dwóch zmiennych, która w dowolnym punkcie (x,y)(\blueE{x}, \redE{y}) zwraca szybkość zmian ff spowodowaną niewielką zmianą x\blueE{x} w tym punkcie.
Możesz postępować dokładnie tak, jak poprzednio, traktując y\redE{y} jako stałą. Tyle tylko, że tym razem nie podstawisz żadnej konkretnej wartości, powiedzmy y=2\redE{y = 2}, za yy. Po prostu, załóż że y\redE{y} jest stałą i oblicz pochodną:
ddxf(x,y)=ddx(x2y3)Zakładając, e  jest stałąz˙y=2xy3 \dfrac{d}{\blueE{dx}}f(\blueE{x}, y) = \underbrace{ \dfrac{d}{\blueE{dx}}(\blueE{x}^2y^3) }_{\text{Zakładając, że $y$ jest stałą}} = 2\blueE{x}y^3
Aby podkreślić, że mamy do czynienia z funkcją więcej niż jednej zmiennej, używamy symbolu \partial zamiast dd:
xf(x,y)=x(x2y3)=2xy3 \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}}f(\blueE{x}, y) = \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}}(\blueE{x}^2y^3) = 2\blueE{x}y^3
Możesz teraz podstawić, na wszelki wypadek, (x=3,y=2)(x=\blueE{3}, y=\redE{2}) i przekonać się że wynik będzie taki sam, jak poprzednio.
"W takim razie, na czym polega różnica pomiędzy ddx\dfrac{d}{dx} a x\dfrac{\partial}{\partial x}? Wygląda na to, że przynajmniej jeśli chodzi o sposób obliczania, są bardzo podobne."
I tak, i nie. To prawda, że obliczanie pochodnych cząstkowych nie jest bardziej złożone niż w przypadku pochodnej funkcji jednej zmiennej i wszystkie reguły, o których mówiliśmy przy okazji różniczkowania funkcji jednej zmiennej stosują się także w przypadku pochodnych cząstkowych. Z drugiej strony, jak przekonasz się w tym rozdziale, świat funkcji wielu zmiennych bardzo różni się od tego, czego uczyliśmy się do tej pory. Sposób obliczania pochodnych do bodajże jedyne takie podobieństwo!

Interpreting partial derivatives with graphs

Rozważmy taką funkcję:
f(x,y)=15(x22xy)+3f(x, y) = \frac{1}{5}(x^2 - 2xy) + 3,
Na tym filmie możesz obejrzeć powierzchnię z=f(x,y)z=f(x,y) aby wyrobić sobie intuicję jak wygląda w trzech wymiarach.
Zastanówmy się teraz nad pochodną cząstkową ff po x\blueE{x}, powiedzmy w punkcie (2,0)(2, 0).
fx(2,0) \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(2, 0)
Co wartość tej pochodnej mówi nam o zachowaniu się wykresu funkcji ff w otoczeniu punktu (2,0)(2, 0)?

Potraktowanie yy jako stałej \rightarrow przecięciu wykresu funkcji płaszczyzną

Obliczając pochodną cząstkową po xx traktujemy drugi argument, yy, jak stałą. Jeśli interesujemy się otoczeniem punktu (2,0)(2, 0), będziemy rozważać te punktu na wykresie, dla których y=0y = 0. To to samo, co przecięcie powierzchni, będącej wykresem funkcji ff płaszczyzną prostopadłą do osi YY i przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
Płaszczyzna y=0y = 0, oznaczona na biało, przecina powierzchnię wykresu f(x,y)f(x,y) wzdłuż paraboli, zaznaczonej delikatnie na czerwowo. Pochodna cząstkowa interpret fx\dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} ma interpretacje współczynnika kierunkowego prostej stycznej do tej paraboli, leżącej w płaszczyźnie y=0y=0. Dlaczego tak? Po prostu, x\partial x ilustruje infinitezymalną zmianę argumentu xx, a f\partial f to związana z tym zmiana wartości funkcji ff w kierunku osi ZZ.
Co w takim razie można powiedzieć o interpretacji fy\dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} w tym samym punkcie (2,0)(2, 0)? Zbiór punktów określony równaniem x=2\blueE{x=2} także tworzy płaszczyznę, prostopadłą do osi XX i przechodzącą przez punkt x=2x=2. Ta płaszczyzna przecina powierzchnię wykresu funkcji wzdłuż innej krzywej, a fy\dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} jest równa nachyleniu tej krzywej
Pytanie do zastanowienia:: na wykresie po prawej stronie "krzywa" powstałą z przecięcia powierzchni f(x,y)=15(x22xy)+3f(x, y) = \frac{1}{5}(x^2 - 2xy) + 3 z płaszczyzną x=2x=2 wygląda jak linia prosta. Czy to rzeczywiście jest linia prosta?

Wymowa i notacja

O pochodnej cząstkowej fx\dfrac{\partial f}{\partial x} można mówić na różne sposoby:
  • "Pochodna cząstkowa funkcji ff po xx"
  • "De f po de x"
  • "Pochodna cząstkowa (funkcji ff) w kierunku xx"

Różne sposoby zapisu pochodnej cząstkowej

Podobnie jak czasem możesz napotkać zapis ff' zamiast dfdx\dfrac{df}{dx}, w stosunku do pochodnych cząstkowych używane są następujące konwencje:
fxfxfyfyfzmienna ftej samej zmiennej\begin{aligned} f_\blueE{x} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ f_\redE{y} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ f_{\greenE{\langle\text{zmienna }\rangle}} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\greenE{\partial \langle\text{tej samej zmiennej} \rangle}} \end{aligned}

Formalna definicja pochodnej cząstkowej

Interpretacja dxdx lub x\partial x jako infinitezymalnych zmian wartości argumentu xx daje pożyteczne intuicje, w matematyce zawsze odwołujemy się w końcu do precyzyjnej definicji pochodnej jako granicy. Powiedzmy, że chcemy wiedzieć ile powinno wynosić x\partial x? Jedna setna? Jedna milionowa? 10101010^{-10^{10}}?
Dzięki wprowadzonym w analizie matematycznej pojęciu granicy nie musimy rozważać żadnej określonej wartości zmiany argumentu. Zamiast tego, w pewnym sensie rozważamy wszystkie możliwe wartości i analizujemy, co się dzieje, gdy argument dąży do granicy. Jak pamiętamy, formalna definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej ma postać:
dfdx(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h\begin{aligned} \dfrac{{df}}{\blueE{dx}}(x_0) = \lim_{\blueE{h}\to 0} \frac{{f(x_0\blueE{+h}) - f(x_0)}}{\blueE{h}} \end{aligned}
  • Wyrażenie, którego granicę obliczamy, nazywa się ilorazem różnicowym. hh można interpretować jako "infinitezymalny przyrost", który intuicyjnie identyfikujemy z dxdx.
  • Granica h0h \to 0 oznacza, że bierzemy pod uwagę coraz mniejsze wartości hh, dążące do 00.
  • f(x0+h)f(x0)f(x_0 + h) - f(x_0) oznacza zmianę wartości funkcji związaną z dodaniem hh do jej argumentu i to wyrażenie interpretujemy intuicyjnie jako dfdf.
Formalna definicja pochodnej cząstkowej jest bardzo podobna. Załóżmy, że f(x,y,)f(x, y, \dots) jest funkcją wielu zmiennych. Mamy wtedy:
fx(x0,y0,)=limh0f(x0+h,y0,)f(x0,y0,)h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\blueE{h} \to 0} \dfrac{f(\blueE{x_0\blueE{+h}}, y_0, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)} {\blueE{h}} \end{aligned}
Podobnie, pochodna cząstkowa po yy jest zdefiniowana jako:
fy(x0,y0,)=limh0f(x0,y0+h,)f(x0,y0,)h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\redD{\partial y}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\redD{h} \to 0} \frac{f(x_0, \redD{y_0+h}, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)}{\redD{h}} \\ \end{aligned}
I tak dalej, i tak dalej. Zwróć uwagę, że przyrost argumentu hh w definicji pochodnej cząstkowej pełni rolę przyrostu wartości różnych zmiennych, w zależności od tego, jaką pochodną cząstkową chcemy oblizyć.
W literaturze, ta definicja nazywa się często definicją pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego.
Pytanie do zastanowienia:: jak połączyć tę definicję z interpretacją graficzną pochodnej cząstkowej, o której dyskutowaliśmy powyżej? Jaka jest interpretacja hh? Co się dzieje, gdy h0h \to 0?

Podsumowanie

  • Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: f(x,y)=x2yf(x, y) = x^2y. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:
- Ta lekko zakręcona postać litery d, \partial , to przyjęta powszechnie notacja pozwalająca odróżnić pochodną cząstkową od zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej.
  • W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
  • Jeśli masz wyobraźnię w trzech wymiarach, możesz wyobrazić sobie pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych, powiedzmy xx i yy, fx\dfrac{\partial f}{\partial x} jako nachylenie krzywiej powstałej przez przecięcie powierzchni z=f(x,y)z=f(x,y) z płaszczyzną stałej wartości yy.
Ładowanie