Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 2

Lekcja 3: Pochodna cząstkowa i gradient (artykuły)

Wstęp do pochodnych cząstkowych

What is the partial derivative, how do you compute it, and what does it mean.

Kontekst

Do czego zmierzamy

Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: $f (x, y) = x^{2} y$ ‍. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} Różniczkując po x, \\ potraktuj y jak stałą. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} Różniczkując po y, \\ potraktuj x jak stałą. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍

Ten zakręcony symbol, $\partial$ ‍, czyta się "de", jest wykorzystywany do oznaczania pochodnych cząstkowych, w odróżnieniu od pochodnych zwykłych, funkcji jednej zmiennej.
W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
Na przykład, jeśli mamy do czynienia z funkcją rzeczywistą zależną od dwóch zmiennych, pochodną cząstkową $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ można przedstawić tnąc powierzchnię, będącą wykresem $f$ ‍, płaszczyzną stałej wartości $y$ ‍ i mierząc nachylenie prostej stycznej do tak powstałej krzywej.

Co to jest pochodna cząstkowa?

Zakładam, że wiesz dobrze co to jest zwykła pochodna

\frac{d f}{d x}

, która pojawiła się w analizie matematycznej funkcji jednej zmiennej. Ta notacja podpowiada interpretację pochodnej, która pozwala wyrobić sobie jej intuicyjny obraz:

Przyjmiemy, że $d x$ ‍ oznacza "małą, infinitezymalną zmianę $x$ ‍".
Przyjmiemy, że $d f$ ‍ oznacza "inifinitezymalną zmianę $f$ ‍", która bierze się z infinitezymalnej zmiany $d x$ ‍, opisanej powyżej.

Ta intuicyjna interpretacja symbolu

\frac{d f}{d x}

, korzenie której sięgają analizy funkcji jednej zmiennej, może okazać się przydatna teraz, gdy chcemy uogólnić pojęcie pochodnej na funkcje wielu zmiennych.

Na przykład, jeśli zastanowić się nad interpretacją pochodnej na podstawie wykresu funkcji

f

, można myśleć o "stosunku"

\frac{d f}{d x}

jako o nachyleniu wykresu

f

w danym punkcie.

Jak działa różniczkowanie w przypadku funkcji wielu zmiennych?

Rozważmy funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych, o wartościach rzeczywistych, na przykład taką:

$f (x, y) = x^{2} - 2 x y$ ‍

W zasadzie, możemy zapisać pochodną po zmiennej

x

w podobny sposób,

\frac{d f}{d x}

i podobnie ją zinterpretować:

tak jak poprzednio, $d x$ ‍ może przedstawiać infinitezymalny przyrost zmiennej $x$ ‍, która w tym przypadku jest tylko jedną ze zmiennych, od których zależy ta funkcja.
$d f$ ‍ interpretujemy jako zmianę wartości funkcji $f (x, y)$ ‍ związaną z infinitezymalną zmianą wartości zmiennej $x$ ‍.

Do tej pory to wyglądało znajomo, co jednak z faktem, że mamy tutaj jeszcze jeden argument,

y

. Przestrzeń, w której mieszkają argumenty naszej funkcji ma dwa wymiary, możemy więc zmienić wartości argumentu w różnych kierunkach, nie tylko w kierunku osi

X

. Na przykład, co się stanie, jeśli zmienimy odrobinę

y

, tylko odrobinę, infinitezymalnie, o

d y

? Jeśli chcemy interpretować

d f

tak, jak poprzednio, jako infinitezymalną zmianę wartości funkcji wywołaną infinitezymalną zmianą wartości argumentu o

d y

, będziemy mieli inną rodzaj pochodnej,

\frac{d f}{d y}

Żadna z tych dwóch pochodnych z osobna nie zawiera pełnej informacji o tym, ak zachowuje się funkcja

f (x, y)

przy małej zmianie jej argumentui dlatego mówimy o nich pochodne cząstkowe. Aby podkreślić różnicę, w przypadku funkcji wielu zmiennych nliterrę $d$ ‍, którą używaliśmy w przypadku funkcji jednej zmiennej na oznaczenie infinitezymalnie małych zmian, zastępujemy symbolem $\partial$ ‍, zapisując pochodne cząstkowe jako

\frac{\partial f}{\partial x}

\frac{\partial f}{\partial y}

, itd.

Symbol

\frac{\partial f}{\partial x}

czytamy jako "pochodna cząstkowa

f

x

Przykład: Obliczanie pochodnej cząstkowej

Rozważmy taką funkcję:

$f (x, y) = x^{2} y^{3}$ ‍

Powiedzmy, że chcemy obliczyć

\frac{\partial f}{\partial x}

, pochodną cząstkową

f

x

, w punkcie

(3, 2)

"Co takiego? Przecież nie nauczyliśmy się jeszcze obliczania pochodnych cząstkowych!"

Bez nerwów, technicznie działa to bardzo podobnie do obliczania zwykłych pochodnych.

Ze wstępu powyżej wiesz już że pytamy się o szybkość, z jaką zmienia się wartość

f

. gdy składowa

x

argumentu

f

zmienia się odrobinę, powiedzmy że z

(3, 2)

(3, 01, 2)

Ponieważ interesuje nas zmiana wartości funkcji związana ze zmianą argumentu w kierunku zmiennej

x

, możemy równie dobrze potraktować zmienną

y

jak stałą. A nawet, podstawić

y = 2

zanim zaczniemy obliczać pochodną:

$f (x, 2) = x^{2} (2)^{3} = 8 x^{2}$ ‍

Teraz, odpowiedzią na pytanie o zmianę

f

w wyniku infinitezymalnej zmiany

x

jest zwyczajna pochodna, jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Sprawdź, czy rozumiesz: Ile wynosi pochodna funkcji

f (x, 2) = 8 x^{2}

, obliczona w punkcie

x = 3

To samo, ale bez podstawiania wartości $y$ ‍

Przypuśćmy, że chcesz obliczyć

\frac{\partial f}{\partial x}

, ale tym razem nie chodzi o obliczenie wartości tej pochodnej w ustalonym punkcie. Inaczej mówiąc, chcesz wyznaczyć funkcję dwóch zmiennych, która w dowolnym punkcie

(x, y)

zwraca szybkość zmian

f

spowodowaną niewielką zmianą

x

w tym punkcie.

Możesz postępować dokładnie tak, jak poprzednio, traktując

y

jako stałą. Tyle tylko, że tym razem nie podstawisz żadnej konkretnej wartości, powiedzmy

y = 2

, za

y

. Po prostu, załóż że

y

jest stałą i oblicz pochodną:

$\frac{d}{d x} f (x, y) = \underset{Zakładając, że y jest stałą}{\underset{⏟}{\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})}} = 2 x y^{3}$ ‍

Aby podkreślić, że mamy do czynienia z funkcją więcej niż jednej zmiennej, używamy symbolu

\partial

zamiast

d

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) = 2 x y^{3}$ ‍

Możesz teraz podstawić, na wszelki wypadek,

(x = 3, y = 2)

i przekonać się że wynik będzie taki sam, jak poprzednio.

"W takim razie, na czym polega różnica pomiędzy $\frac{d}{d x}$ ‍ a $\frac{\partial}{\partial x}$ ‍? Wygląda na to, że przynajmniej jeśli chodzi o sposób obliczania, są bardzo podobne."

I tak, i nie. To prawda, że obliczanie pochodnych cząstkowych nie jest bardziej złożone niż w przypadku pochodnej funkcji jednej zmiennej i wszystkie reguły, o których mówiliśmy przy okazji różniczkowania funkcji jednej zmiennej stosują się także w przypadku pochodnych cząstkowych. Z drugiej strony, jak przekonasz się w tym rozdziale, świat funkcji wielu zmiennych bardzo różni się od tego, czego uczyliśmy się do tej pory. Sposób obliczania pochodnych do bodajże jedyne takie podobieństwo!

Geometryczna interpretacja pochodnych cząstkowych.

Rozważmy taką funkcję:

$f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3$ ‍,

Na tym filmie możesz obejrzeć powierzchnię

z = f (x, y)

aby wyrobić sobie intuicję jak wygląda w trzech wymiarach.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Zastanówmy się teraz nad pochodną cząstkową

f

x

, powiedzmy w punkcie

(2, 0)

$\frac{\partial f}{\partial x} (2, 0)$ ‍

Co wartość tej pochodnej mówi nam o zachowaniu się wykresu funkcji

f

w otoczeniu punktu

(2, 0)

Potraktowanie $y$ ‍ jako stałej $\to$ ‍ przecięciu wykresu funkcji płaszczyzną

Obliczając pochodną cząstkową po

x

traktujemy drugi argument,

y

, jak stałą. Jeśli interesujemy się otoczeniem punktu

(2, 0)

, będziemy rozważać te punktu na wykresie, dla których

y = 0

. To to samo, co przecięcie powierzchni, będącej wykresem funkcji

f

płaszczyzną prostopadłą do osi

Y

i przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Płaszczyzna

y = 0

, oznaczona na biało, przecina powierzchnię wykresu

f (x, y)

wzdłuż paraboli, zaznaczonej delikatnie na czerwowo. Pochodna cząstkowa interpret

\frac{\partial f}{\partial x}

ma interpretacje współczynnika kierunkowego prostej stycznej do tej paraboli, leżącej w płaszczyźnie

y = 0

. Dlaczego tak? Po prostu,

\partial x

ilustruje infinitezymalną zmianę argumentu

x

, a

\partial f

to związana z tym zmiana wartości funkcji

f

w kierunku osi

Z

Co w takim razie można powiedzieć o interpretacji

\frac{\partial f}{\partial y}

w tym samym punkcie

(2, 0)

? Zbiór punktów określony równaniem

x = 2

także tworzy płaszczyznę, prostopadłą do osi

X

i przechodzącą przez punkt

x = 2

. Ta płaszczyzna przecina powierzchnię wykresu funkcji wzdłuż innej krzywej, a

\frac{\partial f}{\partial y}

jest równa nachyleniu tej krzywej

Pytanie do zastanowienia:: na wykresie po prawej stronie "krzywa" powstałą z przecięcia powierzchni

f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3

z płaszczyzną

x = 2

wygląda jak linia prosta. Czy to rzeczywiście jest linia prosta?

Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
Tak
(Choice B)
Nie/Żadne

Pochodna cząstkowa

\frac{\partial f}{\partial y}

obliczona w dowolnym punkcie

(2, y)

równa się nachyleniu tej prostej,

- \frac{4}{5}

, niezależnie od wartości

y

. To znaczy, ta pochodna cząstkowa po prostu nie zależy od

y

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y)) \\ = \frac{1}{5} (0 - 2 x) \\ = - \frac{2}{5} x \end{aligned}

To znaczy, że gdy wybierzemy inną wartość zmiennej

x

, a płaszczyzna stałej wartości

x

przesunie się w prawo lub w lewo, krzywą powstałą przez przecięcie z powierzchnią wykresu funkcji będzie zawsze linia prosta, której nachylenie nie zależy od

y

. Łatwo obliczyć, że nachylenie będzie równe

- \frac{2}{5}

razy wybrana (stała) wartość

x

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Wymowa i notacja

O pochodnej cząstkowej

\frac{\partial f}{\partial x}

można mówić na różne sposoby:

"Pochodna cząstkowa funkcji $f$ ‍ po $x$ ‍"
"De f po de x"
"Pochodna cząstkowa (funkcji $f$ ‍) w kierunku $x$ ‍"

Różne sposoby zapisu pochodnej cząstkowej

Podobnie jak czasem możesz napotkać zapis

f^{'}

zamiast

\frac{d f}{d x}

, w stosunku do pochodnych cząstkowych używane są następujące konwencje:

$\begin{aligned} f_{x} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} \\ f_{y} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} \\ f_{⟨ zmienna ⟩} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial ⟨ tej samej zmiennej ⟩} \end{aligned}$ ‍

Formalna definicja pochodnej cząstkowej

Interpretacja

d x

lub

\partial x

jako infinitezymalnych zmian wartości argumentu

x

daje pożyteczne intuicje, w matematyce zawsze odwołujemy się w końcu do precyzyjnej definicji pochodnej jako granicy. Powiedzmy, że chcemy wiedzieć ile powinno wynosić

\partial x

? Jedna setna? Jedna milionowa?

10^{- 10^{10}}

Dzięki wprowadzonym w analizie matematycznej pojęciu granicy nie musimy rozważać żadnej określonej wartości zmiany argumentu. Zamiast tego, w pewnym sensie rozważamy wszystkie możliwe wartości i analizujemy, co się dzieje, gdy argument dąży do granicy. Jak pamiętamy, formalna definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej ma postać:

$\begin{array}{r} \frac{d f}{d x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{array}$ ‍

Wyrażenie, którego granicę obliczamy, nazywa się ilorazem różnicowym. $h$ ‍ można interpretować jako "infinitezymalny przyrost", który intuicyjnie identyfikujemy z $d x$ ‍.
Granica $h \to 0$ ‍ oznacza, że bierzemy pod uwagę coraz mniejsze wartości $h$ ‍, dążące do $0$ ‍.
$f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ ‍ oznacza zmianę wartości funkcji związaną z dodaniem $h$ ‍ do jej argumentu i to wyrażenie interpretujemy intuicyjnie jako $d f$ ‍.

Formalna definicja pochodnej cząstkowej jest bardzo podobna. Załóżmy, że

f (x, y, \dots)

jest funkcją wielu zmiennych. Mamy wtedy:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

Podobnie, pochodna cząstkowa po

y

jest zdefiniowana jako:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + h, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

I tak dalej, i tak dalej. Zwróć uwagę, że przyrost argumentu

h

w definicji pochodnej cząstkowej pełni rolę przyrostu wartości różnych zmiennych, w zależności od tego, jaką pochodną cząstkową chcemy oblizyć.

W literaturze, ta definicja nazywa się często definicją pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego.

Pytanie do zastanowienia:: jak połączyć tę definicję z interpretacją graficzną pochodnej cząstkowej, o której dyskutowaliśmy powyżej? Jaka jest interpretacja

h

? Co się dzieje, gdy

h \to 0

Podsumowanie

Załóżmy, że mamy daną funkcję wielu (to znaczy więcej niż jednej) zmiennych, na przykład taką: $f (x, y) = x^{2} y$ ‍. Pochodne cząstkowe po obu jej argumentach obliczamy w taki sposób:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} Różniczkując po x, \\ potraktuj y jak stałą. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} Różniczkując po y, \\ potraktuj x jak stałą. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍ - Ta lekko zakręcona postać litery d, $\partial$ ‍, to przyjęta powszechnie notacja pozwalająca odróżnić pochodną cząstkową od zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej.

W przypadku funkcji zależnej od wielu zmiennych, znajomość pochodnej cząstkowej pozwala nam ocenić, jak szybko zmienia się wartość funkcji gdy manipulujemy wartością tylko jednej zmiennej, a wartości pozostałych zmiennych nie zmieniają się.
Jeśli masz wyobraźnię w trzech wymiarach, możesz wyobrazić sobie pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych, powiedzmy $x$ ‍ i $y$ ‍, $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ jako nachylenie krzywiej powstałej przez przecięcie powierzchni $z = f (x, y)$ ‍ z płaszczyzną stałej wartości $y$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych