If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Przypomnienie wiadomości o drugich pochodnych cząstkowych, symetrii pochodnej mieszanej oraz pochodnych wyższych rzędów.

Uogólnienie drugiej pochodnej

Rozważmy funkcję zależną od dwóch argumentów, na przykład
f(x,y)=x2y3.
Pochodne cząstkowe tej funkcji, fx oraz fy obliczamy, różniczkując wyrażenie na funkcję raz x lub po y:
fx=x(x2y3)=2xy3
fy=y(x2y3)=3x2y2
Możemy także obliczyć pochodną cząstkową z pochodnej cząstkowej.
Taką pochodnąnazywamy drugą pochodną cząstkową i oznaczamy d2fdx2, analogicznie do notacji używanej w przypadku drugiej pochodnej funkcji zależnej od jednej zmiennej.
x(fx)=2fx2x(fy)=2fxyy(fx)=2fyxy(fy)=2fy2
Możemy też zapisać drugą pochodną za pomocą notacji analogicznej do zapisu fx dla pochodnych cząstkowych (w tym wypadku pierwszej pochodnej cząstkowej funkcji f po zmiennej x). Możesz więc czasem spotkać drugie pochodne zapisane w taki sposób:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy
Drugie pochodne cząstkowe funkcji f po dwóch różnych zmiennych oznaczamy przez fyx oraz fxy i nazywamy "mieszanymi pochodnymi cząstkowymi"

Przykład 1: kompletny zbiór drugich pochodnych

Zadanie: oblicz wszystkie drugie pochodne cząstkowe funkcji f(x,y)=sin(x)y2
Rozwiązanie: zaczynamy od obliczenia pierwszych pochodnych:
x(sin(x)y2)=cos(x)y2y(sin(x)y2)=2sin(x)y
Dla każdej z pierwszych pochodnych obliczamy drugie pochodne:
x(x(sin(x)y2))=x(cos(x)y2)=sin(x)y2x(y(sin(x)y2))=x(2sin(x)y)=2cos(x)yy(x(sin(x)y2))=y(cos(x)y2)=2cos(x)yy(y(sin(x)y2))=y(2sin(x)y)=2sin(x)
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Symetria pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (Twierdzenie Schwarza)

Zauważ, że w tym przykładzie okazało się, że obie drugie pochodne mieszane 2fxy i 2fyx są równe. To nie przypadek, taka równość zachodzi w większości przypadków, które napotkasz. Na przykład, zobaczmy co stanie się z wielomianem postaci xnyk:
x(y(xnyk))=x(kxnyk1)=nkxn1yk1y(x(xnyk))=y(nxn1yk)=nkxn1yk1
Ściśle mówiąc, jeśli drugie pochodne mieszane są ciągłe, to muszą być równe. To stwierdzenie znane jest jako twierdzenie Schwarza. Dowód tego twierdzenia wykracza jednakże poza możliwości tego krótkiego artykułu.
Choć zdarzają się wyjątki - drugie pochodne mieszane, które nie są symetryczne, to możesz się spodziewać że drugie pochodne mieszane będą równe dla wszystkich "normalnie" wyglądających funkcji, z którymi będziesz miał do czynienia.

Przykład 2: pochodne wyższych rzędów

Nie ma żadnego powodu, aby zatrzymać się na drugich pochodnych? Możemy obliczyć, na przykład, piąte pochodne po różnych argumentach.
Zadanie: Niech f(x,y,z)=sin(xy)ex+z, oblicz fzyzyx?
Rozwiązanie: Oznaczenie fzyzyx jest skróconym zapisem ((((fz)y)z)y)x, a zatem różniczkujemy najpierw po z, potem po y, potem znowu po z, znowu po y, a na końcu po x. To znaczy, że ten zapis czytamy od lewej do prawej.
Przy okazji warto podkreślić, że w przypadku drugiej notacji kolejność jest odwrotna:
xyzyfz=5fx5thy4thz3rdy2ndz1st
To znaczy, że kolejność różniczkowania jest określona przez kolejność wyrazów w mianowniku od prawej do lewej.
Tak czy inaczej, wróćmy do naszego zadania. Zakasz rękawy, bo rachunek jest żmudny i aby ułatwić obliczenia umówmy się, że będziemy oznaczać zmienne różnymi kolorami x,y,z co pomoże nam utrzymać porządek w obliczeniach:
f(x,y,z)=sin(xy)ex+zfz(x,y,z)=fz(sin(xy)ex+z)=sin(xy)ex+zfzy(x,y,z)=fy(sin(xy)ex+z)=cos(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=fz(cos(xy)xex+z)=cos(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=fy(cos(xy)xex+z)=sin(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=fx(sin(xy)x2ex+z)=cos(xy)yx(sin(xy))x2ex+z=sin(xy)2xxx2ex+z=sin(xy)x2ex+zxex+z
W ostatnim kroku wykorzystaliśmy uogólnienie wzoru na pochodną iloczynu funkcji,
=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)
Wow! To było naprawdę żmudne. Jeśli byłeś w stanie śledzić ten rachunek, obliczanie pochodnych cząstkowych nie powinno być dla Ciebie problemem. Jest to jedna z tych sytuacji, w których bardzo opłaca się prowadzić porządne notatki.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.