Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 2

Lekcja 3: Pochodna cząstkowa i gradient (artykuły)

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

Przypomnienie wiadomości o drugich pochodnych cząstkowych, symetrii pochodnej mieszanej oraz pochodnych wyższych rzędów.

Kontekst:

Pochodne cząstkowe

Uogólnienie drugiej pochodnej

Rozważmy funkcję zależną od dwóch argumentów, na przykład

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, cubed.

Pochodne cząstkowe tej funkcji, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction oraz start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction obliczamy, różniczkując wyrażenie na funkcję raz x lub po y:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \end{aligned}

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}

Możemy także obliczyć pochodną cząstkową z pochodnej cząstkowej.

Taką pochodnąnazywamy drugą pochodną cząstkową i oznaczamy start fraction, d, squared, f, divided by, d, x, squared, end fraction, analogicznie do notacji używanej w przypadku drugiej pochodnej funkcji zależnej od jednej zmiennej.

\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \\ \end{aligned}

Możemy też zapisać drugą pochodną za pomocą notacji analogicznej do zapisu f, start subscript, x, end subscript dla pochodnych cząstkowych (w tym wypadku pierwszej pochodnej cząstkowej funkcji f po zmiennej x). Możesz więc czasem spotkać drugie pochodne zapisane w taki sposób:

\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \\ \end{aligned}

Drugie pochodne cząstkowe funkcji f po dwóch różnych zmiennych oznaczamy przez f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript oraz f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript i nazywamy "mieszanymi pochodnymi cząstkowymi"

Przykład 1: kompletny zbiór drugich pochodnych

Zadanie: oblicz wszystkie drugie pochodne cząstkowe funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, y, squared

Rozwiązanie: zaczynamy od obliczenia pierwszych pochodnych:

\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\sin(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\sin(x)\redE{y}^2) &= 2\sin(x)\redE{y} \end{aligned}

Dla każdej z pierwszych pochodnych obliczamy drugie pochodne:

\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\sin(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\sin(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\sin(x)\redE{y}) = 2\sin(x) \\ \end{aligned}

Symetria pochodnych cząstkowych drugiego rzędu (Twierdzenie Schwarza)

Zauważ, że w tym przykładzie okazało się, że obie drugie pochodne mieszane start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, x, \partial, y, end fraction i start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, y, \partial, x, end fraction są równe. To nie przypadek, taka równość zachodzi w większości przypadków, które napotkasz. Na przykład, zobaczmy co stanie się z wielomianem postaci x, start superscript, n, end superscript, y, start superscript, k, end superscript:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \frac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \end{aligned}

Ściśle mówiąc, jeśli drugie pochodne mieszane są ciągłe, to muszą być równe. To stwierdzenie znane jest jako twierdzenie Schwarza. Dowód tego twierdzenia wykracza jednakże poza możliwości tego krótkiego artykułu.

Choć zdarzają się wyjątki - drugie pochodne mieszane, które nie są symetryczne, to możesz się spodziewać że drugie pochodne mieszane będą równe dla wszystkich "normalnie" wyglądających funkcji, z którymi będziesz miał do czynienia.

[Przykład funkcji, która nie spełnia założeń twierdzenia Schwarza]

Przykład 2: pochodne wyższych rzędów

Nie ma żadnego powodu, aby zatrzymać się na drugich pochodnych? Możemy obliczyć, na przykład, piąte pochodne po różnych argumentach.

Zadanie: Niech f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis, e, start superscript, x, plus, z, end superscript, oblicz f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript?

Rozwiązanie: Oznaczenie f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript jest skróconym zapisem left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, f, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, x, end subscript, a zatem różniczkujemy najpierw po z, potem po y, potem znowu po z, znowu po y, a na końcu po x. To znaczy, że ten zapis czytamy od lewej do prawej.

Przy okazji warto podkreślić, że w przypadku drugiej notacji kolejność jest odwrotna:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial^5 f}{ \underbrace{\partial x}_{5^{th}} \underbrace{\partial y}_{4^{th}} \underbrace{\partial z}_{3^{rd}} \underbrace{\partial y}_{2^{nd}} \underbrace{\partial z}_{1^{st}} } \end{aligned}

To znaczy, że kolejność różniczkowania jest określona przez kolejność wyrazów w mianowniku od prawej do lewej.

Tak czy inaczej, wróćmy do naszego zadania. Zakasz rękawy, bo rachunek jest żmudny i aby ułatwić obliczenia umówmy się, że będziemy oznaczać zmienne różnymi kolorami start color #11accd, x, end color #11accd, comma, start color #e84d39, y, end color #e84d39, comma, start color #0d923f, z, end color #0d923f co pomoże nam utrzymać porządek w obliczeniach:

\begin{aligned} \quad f(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}\blueD{x}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \left( -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \underbrace{-\cos(\blueD{x}\redD{y})\redD{y}}_{ \frac{\partial}{\partial x} (-\sin(\blueD{x}\redD{y})) }\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y}) \underbrace{2\blueD{x}}_{ \frac{\partial}{\partial x}\blueD{x}^2 }e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 \underbrace{e^{\blueD{x} + \greenE{z}}}_{ \frac{\partial}{\partial x} e^{\blueD{x} + \greenE{z}} } \end{aligned}

W ostatnim kroku wykorzystaliśmy uogólnienie wzoru na pochodną iloczynu funkcji,

\begin{aligned} &\phantom{=} f(x)g(x)h(x) \\\\ &= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \end{aligned}

Wow! To było naprawdę żmudne. Jeśli byłeś w stanie śledzić ten rachunek, obliczanie pochodnych cząstkowych nie powinno być dla Ciebie problemem. Jest to jedna z tych sytuacji, w których bardzo opłaca się prowadzić porządne notatki.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.