If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 2

Lekcja 3: Pochodna cząstkowa i gradient (artykuły)
Matematyka
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Pochodne funkcji wielu zmiennych
Pochodna cząstkowa i gradient (artykuły)
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Gradient

Google Classroom
Gradient zawiera informacje o wszystkich pochodnych cząstkowych skalarnej funkcji wielu zmiennych.  Oprócz tego's ma interesującą interpretację i różne zastosowania.

Co powinieneś wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Do czego zmierzamy

  • Gradient funkcji rzeczywistej zależnej od wielu zmiennych f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, oznaczamy przez del, f, to wektor, który zawiera wszystkie informacje o pochodnych cząstkowych tej funkcji:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
Ta definicja oznacza, że del, f jest funkcją o wartościach wektorowych.
  • Wyobraź sobie, że znajdujesz się w przestrzeni, na jakiej określona jest funkcja f, w punkcie o współrzędnych (x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots). Wektor del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis wskazuje Ci kierunek, w którym funkcja f rośnie najszybciej.
  • Gradient—del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis—jest także prostopadły do konturu stałej wartości funkcji f.

Definicja

Wiesz już, co to są pochodne cząstkowe w przypadku funkcji wielu zmiennych. Pewnie zastanawia Cię czy można zdefiniować coś, co odpowiada w tym przypadku pochodnej funkcji jednej zmiennej. W przypadku funkcji skalarnej, zależnej od wielu zmiennych, w pewnym sensie gradient jest takim odpowiednikiem.
Gradient funkcji skalarnej f, który najczęściej oznaczamy jako del, f, składa się z pierwszych pochodnych cząstkowych względem wszystkich zmiennych. Gradient wygodnie zapisać jako "wektor" utworzony z tych pochodnych.
Pora na prosty przykład.

Przykład 1: Dwa wymiary

Niech f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y. Które z poniższych wyrażeń równa się del, f?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zauważ, że ta notacja sugeruje, nieprzypadkowo, że del, f jest funkcją o wartościach wektorowych. W rozważanym przypadku, gdy f jest funkcją skalarną określoną na R, squared, gradient jest dwuwymiarowym polem wektorowym, żyjącym także w przestrzeni R, squared. Matematycy nazywają przestrzeń, "przestrzeń styczna"więcej o polach wektorowych.
To pole wektorowe nazywamy czasem polem gradientu f.
Gradient funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y jako pole wektorowe.
Pytanie do zastanowienia: dlaczego wektory, ilustrujące to pole wektorowe, mają małą długość w pasie idącym od dołu do góry w środku płaszczyzny X, Y?
Wyróżnij pusty obszar

Przykład 2: gradient funkcji zależnej od trzech współrzędnych

Ile wynosi gradient f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, minus, x, y, plus, z, squared?
Wybierz 1 odpowiedź:

W tym przypadku, del, f jest funkcją określoną na R, cubed o wartościach w R, cubed. A zatem, wygodnie jest przedstawić ją jako pole wektorowe w R, cubed.
Filmy wideo na Khan Academy
Zobacz transkrypcję filmu

Interpretacja gradientu

We wszystkich dotychczasowych przykładach gradient del, f był pewnym polem wektorowym, ale jaką interpretację mają pola wektorowe gradientów?
Dla ustalenia uwagi, rozważmy sytuację w której f jest funkcją skalarną określoną na dwuwymiarowej przestrzeni R, squared. Gradient przyporządkowuje każdemu punktowi left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis tej przestrzeni pewien wektor.
∇f(x0,y0)=[∂f∂x(x0,y0)∂f∂y(x0,y0)].\begin{aligned} \quad \nabla f(x_0, y_0) = \left[ \begin{array}{c} \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \end{array} \right]. \end{aligned}
Jaką informację o zachowaniu się funkcji f w otoczeniu punktu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis niesie ze sobą gradient tej funkcji?
Pojęcie kierunku najszybszego wzrostu.
Wyobraź sobie, że znajdujesz się na powierzchni, będącej wykresem funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. Wokół siebie widzisz mniej lub bardziej pofałdowany krajobraz. Jeśli znajdujesz się w punkcie leżącym bezpośrednio nad—lub pod—punktem o współrzędnych left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, nachylenie wzgórza zależeć będzie od kierunku, w którym chcesz się udać. Na przykład, jeśli chcesz zrobić krok w kierunku wskazywanym przez dodatni kierunek osi X, nachylenie wynosi start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction; jeśli chcesz pójść w kierunku wskazywanym przez dodatni kierunek osi Y, nachylenie wyniesie start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction. Możesz też pójść w dowolnym innym kierunku, w tym przypadku nachylenie będzie kombinacją nachylenia w kierunku osi X i nachylenia w kierunku osi Y.
Najważniejsza własność gradientu, którą musisz zapamiętać, jest taka: gradient funkcji f w punkcie left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis wskazuje kierunek, w którym funkcja f rośnie najszybciej.
To znaczy, że jeśli wyruszysz w kierunku wskazywanym przez gradient, pójdziesz dokładnie pod górę. Co więcej, długość wektora del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis powie Ci ile wynosi nachylenie stoku w tym kierunku.
Dziwisz się, dlaczego gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji? Wyjaśnimy to dokładnie w rozdziale o pochodnych kierunkowych.
Jeśli funkcja f określona jest na przestrzeni o więcej niż dwóch wymiarach, nie możemy przedstawić powierzchni, będącej jej wykresem, przez analogię do pagórkowatego krajobrazu . Tym niemniej, interpretacja gradientu pozostaje prawdziwa. Dla funkcji skalarnej f określonej na przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów gradient f zawsze wskazuje kierunek, w którym f rośnie najszybciej.

Przykład 3: maksima lokalne

Rozważmy funkcję f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3. Jak wygląda gradient f?
Wybierz 1 odpowiedź:

A tak wygląda dwuwymiarowa powierzchnia, będąca wykresem funkcji f:
Wykres funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3
Widzisz dwa maksima, dwa wyraźnie widoczne szczyty? A tak wygląda pole wektorowe del, f —aby móc przedstawić je na rysunku, skróciliśmy wektory zaznaczone na czerwono o wydłużyliśmy te, zaznaczone na niebiesko:
Dwa punkty, w których wykres f ma maksima, otaczają strzałki skierowane w ich kierunku. Dlaczego?
W otoczeniu szczytu wzgórza, kierunek "w górę" zawsze wskazuje na sam szczyt.
Pytanie do zastanowienia: jak wygląda pole gradientu w otoczeniu lokalnego minimum funkcji?

Gradient jest prostopadły do konturu stałej wartości funkcji

Rozważmy funkcję skalarną, określoną na R, squared. Zastanówmy się, jak wyglądają linie stałej wartości funkcji f w relacji do pola wektorowego zadanego przez gradient tej funkcji del, f.
Rozważmy, dla przykładu, funkcje f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y:
Linie stałej wartości x, y w R, squared
Pole gradientu x, y w R, squared
Linie stałej wartości i pole gradientu funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y w R, squared
Przyjrzyj się temu wykresowi. Widzisz coś niezwykłego? O tak! Wygląda na to, że każdy wektor jest prostopadły do konturu, z którego bierze początek.
Zastanówmy się, dlaczego tak jest. Wyobraźmy sobie jeden z konturów stałej wartości funkcji f, na przykład ten, który odpowiada wartości f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2 i przyjrzyjmy się jednemu z punktów należących do tego konturu. Jak już wiemy, wektor del, f wskazuje kierunek, w którym f rośnie najszybciej. Ale co to dokładnie znaczy, "kierunek, w którym f rośnie najszybciej"? Można o tym myśleć na dwa sposoby:
  1. Zadajemy długość kroku i szukamy kierunku, w którym krok ten przyniesie największy przyrost funkcji f.
    Przy zadanej długości kroku, gradient, obliczony w danym punkcie, wskazuje kierunek, w którym funkcja wzrośnie najszybciej.
    Rysunek 1
  2. Zadajemy przyrost funkcji f i szukamy kierunku, w którym przyrost funkcji o zadaną wartość wymaga wykonania najkrótszego kroku.
    Przy zadanym przyroście funkcji f, wektor gradientu wskazuje kierunek, w którym w celu osiągnięcia zadanego przyrostu funkcji należy wykonać najkrótszy krok.
    Rysunek 2
W obu wypadkach, staramy się zmaksymalizować stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, maksymalizując przyrost funkcji lub minimalizując przyrost argumentu.
Analiza konturów stałej wartości funkcji dobrze ilustruje to drugie podejście. Powyżej, na rysunku 2, zaznaczono drugą linię, odpowiadającą wartości f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, comma, 1, czyli odrobinę więcej niż w przypadku f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2, której odpowiada pierwszy kontur. Gradient funkcji f wskazuje kierunek, który należy wybrać, aby wychodząc z punktu należącego do konturu f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 2 dojść do konturu odpowiadającego nieco większej wartości f po jak najkrótszej drodze.
Im bardziej powiększymy ten obrazek, zmniejszając przyrost wartości funkcji f pomiędzy konturami, tym bardziej sąsiednie kontury będą lokalnie wyglądać jak dwie proste równoległe. Najkrótszy odcinek łączący dwie proste równoległe jest prostopadły do obu tych prostych, a więc gradient będzie wskazywał kierunek prostopadły do konturu stałej wartości wartości f.

Operator nabla

W analizie funkcji zależnych od wielu zmiennych—a także dalej—często pojawia się określenie operator. Najprostsza, intuicyjna definicja operatora mogłaby (serio) wyglądać tak: "czarna skrzynka, która łyka funkcję i wypluwa inną funkcję".
Zwykła pochodna jest przykładem takiego operatora, ponieważ przekształca funkcję f w inną funkcję, f, prime. Operatory różniczkowe to ogólna nazwa wszystkich takich przekształceń, które rozszerzają definicję pochodnej.
Przykład operatorów różniczkowych
NazwaSymbolPrzykład działania
Pochodnastart fraction, d, divided by, d, x, end fractionstart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x
Pochodna cząstkowastart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fractionstart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, x, y, right parenthesis, equals, 2, x, minus, y
Gradientdel∇(x2−xy)=[2x−y−x]\nabla(x^2 - xy) = \left[\begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array}\right]
Symbol del nazywany jest najczęściej po prostu nabla, albo "d czegoś (funkcji) po d czymś (argumencie)". Na ogół nabla odnosi się do symbolu operatora, natomiast "d c (funkcji) po d (argumencie)" oznacza jego działanie, podobnie jak symbol \partial, a różnicę pomiędzy nimi można wywnioskować z kontekstu.
Operator del możemy intuicyjnie traktować jako wektor złożony z pochodnych cząstkowych:
∇=[∂∂x∂∂y⋮] \nabla = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array}\right]
Nie jest to ścisła definicja. Z jednej strony, wymiar wektora del nie jest określony dopóki nie umówimy się, od ilu zmiennych zależą funkcje, na które będzie działał. W każdym wypadku, interpretowanie pochodnych cząstkowych jako składowych wektora wymaga ostrożności i namysłiu. Ponieważ jednak w praktyce nie prowadzi to do nieporozumienia, rzadko się nad tym zastanawiamy.
Można sobie wyobrażać, że "mnożymy" utworzony z pochodnych cząstkowych wektor gradientu przez funkcję skalarną:
∇f=[∂∂x∂∂y⋮]f=[∂f∂x∂f∂y⋮]\begin{aligned} \nabla f &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right]f \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Oczywiście to jest czysto mnemotechniczna operacja, w rzeczywistości obliczamy pochodne cząstkowe i danej funkcji i tworzymy z nich wektor. Tym niemniej, taki sposób myślenia o operatorze del rzeczywiście dość przydatny z myślą o zastosowaniach, które poznamy w przyszłości: dywergencji, rotacji, oraz operatora Laplace'a.

Podsumowanie

  • Gradient funkcji rzeczywistej zależnej od wielu zmiennych f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis, oznaczamy przez del, f, to wektor, który zawiera wszystkie informacje o pochodnych cząstkowych tej funkcji:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
Ta definicja oznacza, że del, f jest funkcją o wartościach wektorowych.
  • Jeśli znajdujesz się w przestrzeni, na jakiej określona jest funkcja f, w punkcie o współrzędnych (x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots). Wektor del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis wskazuje Ci kierunek, w którym funkcja f rośnie najszybciej.
  • Wektor gradientu del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis jest także prostopadły do konturu stałej wartości funkcji f, który przechodzi przez punkt left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, point, point, point, right parenthesis.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.