Pochodna funkcji wektorowej

Różniczka funkcji wektorowej. W ostatnich filmach widzieliśmy, że możemy opisać krzywe korzystając z wektorów wodzących funkcji wektorowej. Mówiąc bardzo ogólnie, będzie to wektor wodzący będący iloczynem funkcji czasu x(t) pomnożonej przez wektor jednostkowy w kierunku poziomym, dodać wektor wodzący y, jako funkcja czasu y(t) pomnożona przez wektor jednostkowy w kierunku pionowym. Jest do dokładny opis - chociaż jeśli możesz wyobrazić sobie cząstkę i pewien parametr t, który określa upływ czasu. Mówi on, gdzie znajduje się cząsteczka w danym momencie czasu. Jeśli chcielibyśmy określoną krzywą, właściwie to dotyczy tylko niektórych krzywych, to określamy ją r(t). Można z tego jednak korzystać, jeśli t należy do przedziału [a,b]. Równanie to będzie określać pewną krzywą w dwóch wymiarach. Narysuję ją tutaj. To właściwie wciąż powtórka z poprzednich dwóch filmów. Zatem ta krzywa, może wyglądać mniej więcej tak w punkcie t równym a. A tak, gdy t jest równe b. Zatem r(a) będzie tym wektorem tutaj, który się kończy w tym punkcie. A teraz gdy t, albo inny parametr, będący czasem ale nie musi być czasem samym w sobie, który jest jednak wygodny dla kogoś do wizualizacji, każdy z nich odnoszący się do tego, że t rośnie coraz bardziej, będziemy różnicować, właściwie wyszczególniać różne punkty na krzywej. Widzieliśmy to w poprzednich filmach. Rozważmy jednak ostatni film - co oznacza zróżniczkować funkcję wektorową? Wpadliśmy wtedy na pomysł, w zasadzie nie był to pomysł, tylko sprawdziliśmy, że to działa. Wymyśliliśmy tak naprawdę definicję, że pochodna - mogę ją oznaczyć r'(t) (r prim od t) będzie wektorem. Pochodna funkcji wektorowej będzie ponownie pochodną. Ale była ona równa, tak jak ją zdefiniowaliśmy, x'(t) razy wektor i dodać y'(t) razy wektor j. Inny sposób zapisania tego, i zapiszę wszystkie sposoby w celach poznawczych- dr/dt jest równa dx/dt. To standardowa pochodna. x(t) jest funkcją skalarną. Jest to zatem standardowa pochodna razy wektor i dodać dy/dt razy wektor j. Jeśli chcielibyśmy myśleć o różniczce, jednej z rzeczy, o której możemy rozmyślać, i kiedykolwiek zajmuję się matematyką różniczka jest trochę związana z machaniem rękami. Nie jestem bardzo rygorystyczny. Jeśli jednak wyobrazisz sobie mnożenie obu stron równania przez bardzo małą część dt, albo dokładnie dt, otrzymasz, że dr jest równa, zostawię to tak, dx/dt razy dt. Mógłbym to uprościć, ale na początku napiszę to w ten sposób, razy wektor jednostkowy i dodać dy/dt razy dt razy wektor jednostkowy j. Moglibyśmy napisać to tak - w zasadzie przepisuję to samo na różne sposoby gdyby ktoś chciał to przepisać. Różniczkę można zapisać też jako dr jest równe x'(t)dt razy wektor jednostkowy i, co było pochodną x'(t) dt, czyli mamy tutaj x'(t) pomnożone przez wektor i dodać y'(t) w tym miejscu, razy dt, razy wektor jednostkowy j. Ostatnia możliwość zapisania tej różniczki to jeśli tylko moglibyśmy skasować te części, to otrzymujemy dx razy i dodać dy razy j. Ten zapis ma ogromny sens intuicyjny, bo jeśli popatrzymy na jakąkolwiek różniczkę dr, powiedzmy, że mam na myśli zmianę między tym a tym wektorem, powiedzmy, że robimy minimalną zmianę w tym miejscu, to jest nasze dr złożone z naszego dx, nasza zmiana w zmiennej x jest tutaj. Możesz sobie wyobrazić, że pojawia się to tutaj trzy razy, ale robimy liniową transformację mnożąc przez wektor jednostkowy w kierunku poziomym, dodać dy razy wektor jednostkowy w kierunku pionowym. Więc jeśli pomnożymy tę odległość razy wektor jednostkowy dostajemy dokładnie ten wektor. Dokładnie ten wektor tutaj. A gdy go pomnożysz, gdy zmiana w y jest ujemna, otrzymamy ten wektor tutaj. Więc gdy je dodasz, otrzymasz zmianę twojego wektora wodzącego. Więc to wszystko jest swoistym tłem. Może być to bardzo użyteczne w przyszłych filmach. Właściwie zostawię to w tym momencie, ponieważ chcę naprawdę wprowadzić notację i cię z nią oswoić. W kolejnym filmie, który nagram nauczę cię intuicji dotyczącej tego, co tak naprawdę się za tym wszystkim kryje. Ponadto, jak różniczka się zmienia w zależności od różnych parametryzacji. Będę zajmować się dwoma innymi parametryzacjami dla tej samej krzywej. Koniec.