Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)

Wykresy konturowe

Kiedy rysowanie w trzech wymiarach jest niewygodne, wykres konturowy jest przydatnym alternatywnym sposobem reprezentacji funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością.

Kontekst

Metoda

Wykresy konturowe są sposóbem przedstawiania funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością. Rozważmy na przykład tę funkcję:

$f (x, y) = x^{4} - x^{2} + y^{2}$ ‍.

W przypadku wykresów sposobem przyporządkowania argumentom

(x, y)

wartości

f (x, y)

jest połączenie ich w trójkę

(x, y, f (x, y))

i zaznaczenie tej trójki jako punkt w przestrzeni trójwymiarowej. Sam wykres składa się ze wszystkich możliwych trójwymiarowych punktów postaci

(x, y, f (x, y))

, które wspólnie tworzą pewnego rodzaju powierzchnię.

Ale czasami stworzenie trójwymiarowego obrazu może być nieporęczne lub po prostu trudne, jeśli robi się to ręcznie i "na szybko". Wykresy konturowe stanowią sposób reprezentacji funkcji opierający się tylko na dwuwymiarowej przestrzeni argumentów.

Sposób postępowania jest następujący:

Krok 1: Zacznij od wykresu funkcji.

Krok 2: Przetnij wykres kilkoma równo odległymi płaszczyznami, z których każda powinna być równoległa do płaszczyzny $x y$ ‍. Można myśleć o tych płaszczyznach jako o zbiorach punktów, których współrzędna $z$ ‍ jest równa jakiejś ustalonej wartości, na przykład $z = 2$ ‍.

Krok 3: Zaznacz na wykresie, gdzie płaszczyzny go przecinają.

Krok 4: Zrzutuj te linie na płaszczyznę $x y$ ‍ i oznacz, jakim wysokościom odpowiadają.

Innymi słowy, wybierz zestaw wartości, które mają być reprezentowane, i dla każdej z tych wartości narysuj linię przechodzącą przez wszystkie argumenty $(x, y)$ ‍, dla których $f (x, y)$ ‍ jest równa tej wartości. Dla większej czytelności często zapisuje przy każdej takiej linii, jakiej wartości ona odpowiada.

Uwaga : Wartości, które mają być reprezentowane, jak

{- 2, - 1, 0, 1, 2}

w tym przykładzie, prawie zawsze powinny być równomiernie rozmieszczone. To sprawia, że znacznie łatwiej zrozumieć "kształt" funkcji po prostu patrząc na wykres konturowy.

Przykład 1: Paraboloida

Rozważmy funkcję

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. Jej wykres ma kształt, który nazywany jest "paraboloidą". Jest to trójwymiarowy odpowiednik paraboli.

Jej wykres konturowy wygląda tak:

Zauważ, że okręgi nie są położone w równej odległości od siebie. Jest tak dlatego, że wysokość wykresu rośnie tym szybciej, im bardziej oddalamy się od punktu

(0, 0)

. W związku z tym zwiększenie wysokości o określoną liczbę wymaga mniejszego kroku oddalającego się od punktu

(0, 0)

w przestrzeni argumentów.

Przykład 2: Fale

Spójrzmy na funkcję

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

. Jej wykres jest bardzo pofalowany:

A tak wygląda jej wykres konturowy:

Warto zaznaczyć tutaj jest, że szczyty i doliny na wykresie konturowym mogą wyglądać bardzo podobnie i czasami można je odróżnić tylko odczytując informacje z legendy.

Przykład 3: Funkcja liniowa

Next, let's look at

f (x, y) = x + 2 y

. Its graph is a slanted plane.

Odpowiada to wykresowi konturowemu z równomiernie rozmieszczonymi liniami prostymi.

Przykład 4: Mapa

Wykresy konturowe są często używane w tworzeniu map przedstawiających wysokości w terenach górzystych. Obrazek po prawej, na przykład, przedstawia pewien krater na Księżycu.

Wyobraź sobie, że chodzisz wokół tego krateru. Tam, gdzie linie konturu są blisko siebie, nachylenie jest dość strome. Na przykład możesz zejść z

7700

metrów do

7650

metrów na bardzo krótkim odcinku. Na dole, tam gdzie linie są odległe, teren jest bardziej płaski, a wysokość na długim odcinku waha się między

7650

metrów a

7628

metrów .

Izolinie

Linie na wykresie konturowym mają różne nazwy:

Linie konturowe.
Poziomice, nazwane tak, ponieważ zaznaczają one wartości $(x, y)$ ‍, gdzie wysokość wykresu pozostaje bez zmian (stąd "poziom").
Izolinie , gdzie "izo" jest greckim prefiksem oznaczajacy "równy".

W zależności od tego, co przedstawia wykres konturowy, prefiks izo może dołączony do różnych słów. Oto dwa typowe przykłady z mapy pogody.

Izoterma jest linią na wykresie konturowym funkcji reprezentującej temperaturę.
- Izobara jest linią na wykresie konturowym reprezentującym ciśnienie.

Uzyskiwanie intuicji z wykresu konturowego

Można określić, jak stroma jest część wykresu, patrząc jak blisko siebie są linie konturu. Gdy są one daleko od siebie, zwiększenie wysokości wymaga pokonania dużej odległości w poziomie, ale gdy są one blisko, wysokość szybko zwiększa się przy niewielkich odległościach w poziomie.

Poziomice powiązane z wysokościami zbliżającymi się do wysokości szczytowej będą wyglądać jak coraz mniejsze zamknięte pętle, każda z nich zawarta wewnątrz poprzedniej. Podobnie w przypadku najmniejszej wysokości wykresu. Oznacza to, że można zauważyć maksimum lub minimum funkcji za pomocą jej wykresu konturowego szukając zestawów zamkniętych pętli, każda zawarta wewnątrz poprzedniej, jak zniekształcone koncentryczne okręgi.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.