Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)

Wykresy wielowymiarowe

Google Classroom

Przykłady i ograniczenia rysowania wykresów funkcji wielu zmiennych.

Kontekst

Funkcje wielu zmiennych

Do czego zmierzamy

Narysowanie wykresu funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością wymaga zaznaczania punktów w przestrzeni trójwymiarowej.
Ostatecnie wygląda to jak powierzchnia w trzech wymiarach, gdzie wysokość tej powierzchni powyżej płaszczyzny x, y wskazuje wartość funkcji w każdym punkcie.

Przypomnienie wykresów funkcji jednej zmiennej

Wykresy są zdecydowanie najbardziej znanym większości uczniów i studentów sposobem wizualizacji funkcji. Zanim uogólnimy je na przypadek funkcji wielu zmiennych, przypomnijmy krótko jak działają wykresy funkcji jednej zmiennej.

Załóżmy, że naszej funkcja wygląda następująco:

\begin{aligned} \quad f(x) = -x^2 + 3x + 2 \end{aligned}

By umieścić na wykresie wartość dla jednego argumentu, na przykład x, equals, 1, obliczamy najpierw f, left parenthesis, 1, right parenthesis:

\begin{aligned} \quad f(1) &= -x^2 + 3x + 2 \\ &= -(1)^2 + 3(1) + 2 \\ &= 4 \end{aligned}

Następnie zaznaczamy punkt left parenthesis, 1, comma, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis na płaszczyźnie x, y. W tym przypadku oznacza to zaznaczenie punktu

(1, 4).

Kiedy wykonamy to dla wszystkich możliwych argumentów x, nie tylko 1, widzimy jak wyglądają wszystkie punkty postaci left parenthesis, x, comma, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

O ile f, left parenthesis, x, right parenthesis nie jest jakąś egzotyczną lub sporadyczną funkcją, której wartości drastycznie się zmieniają przy małej zmianie x, wynik będzie gładko wyglądającą krzywą.

Dodając jeden dodatkowy wymiar

Co możemy zrobić w przypadku funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością? Być może coś takiego:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 2

Associating inputs with outputs requires three numbers—two for the inputs and one for the output.

		Argument left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis	Wartość f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis
		left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis	10
		left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis	7
		left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis	3
		\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

By reprezentować te przyporządkowania przy użyciu wykresu, zaznaczamy punkty w trzech wymiarach.

Przyporządkowanie left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 10 jest zaznaczane jako punkt left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 10, right parenthesis.
Przyporządkowanie left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 7 jest zaznaczane jako punkt left parenthesis, 1, comma, 0, comma, 7, right parenthesis.
W ogólności celem jest przedstawienie wszystkich punktów postaci left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis dla pewnych par liczb x,y.

Otrzymany wykres jest przedstawiony poniżej. Film pokazuje ten wykres w trakcie obrotu, co może pomóc w uświadomieniu sobie jego trójwymiarowego charakteru. Płaszczyzna x, y — który jest teraz przestrzenią argumentów — jest widoczna poniżej wykresu.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Oznacza to, że dla dowolnego danego punktu left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis na płaszczyźnie, odległość w pionie między tym punktem i wykresem wskazuje wartość f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. Ten pionowy kierunek jest zwykle określany jako kierunek z, a trzecia oś, która jest prostopadła do płaszczyzny x, y nazywa się osią z.

O ile wartość f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis zmienia się w sposób ciągły, gdy x i y zmieniają się w sposób ciągły, co ma miejsce prawie zawsze w przypadku funkcji, z którymi w praktyce mamy do czynienia, wykres wygląda ostatecznie jak jakiś rodzaj powierzchni.

Przykład 1: Krzywa dzwonowa

Funkcja: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript

Wykres:

Przeanalizujmy jak zachowuje się ta funkcja. Po pierwsze, przyjrzyjmy się wykładnikowi w wyrażeniu e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript i rozważmy wartość x, squared, plus, y, squared.

Pytanie: jak można interpretować wartość x, squared, plus, y, squared?

Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
Odległość między left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis i punktem początkowym left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis w przestrzeni argumentów
(Choice B)
Kwadrat odległości między left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis i punktem początkowym left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis w przestrzeni argumentów
(Choice C)
Odległość między argumentem left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis i odpowiadającym mu punktem na wykresie
(Choice D)
Kwadrat odległości między argumentem left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis i odpowiadającym mu punktem na wykresie

[Pokaż odpowiedzi.]

Jeśli punkt left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis jest daleko od punktu left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, to funkcja e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript wygląda jak e, start superscript, start text, left parenthesis, j, a, k, a, s, with, \', on top, space, d, u, z, with, \., on top, a, space, l, i, c, z, b, a, space, u, j, e, m, n, a, right parenthesis, end text, end superscript, czyli prawie zero. Oznacza to, że odległość między wykresem i płaszczyzną x, y w tych punktach jest bardzo mała. Z drugiej strony, gdy x, equals, 0 i y, equals, 0, to e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, equals, 1, co daje nam wybrzuszenie w środku.

Zastanów się: Powyższy wykres jest symetryczny ze względu na obroty w tym sensie, że będzie wyglądać tak samo jeśli go obrócimy w jakikolwiek sposób wokół osi z. Dlaczego tak jest?

[Pokaż odpowiedzi.]

Przykład 2 : Fale

Funkcja: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis

Wykres:

Jednym ze sposobów uzyskania intuicji co do zachowania funkcji f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis — i funkcji wielu zmiennych w ogóle — jest sprawdzenie, co dzieje się, gdy jednen z argumentów jest ustalony.

Na przykład, co się dzieje, kiedy ustalimy wartość x równą 2? Zwykle nanosimy wszystkie punkty, które wyglądają tak:

left parenthesis, x, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, x, space, i, space, y, space, z, m, i, e, n, i, a, j, ą, space, s, i, ę, space, s, w, o, b, o, d, n, i, e, point, end text

Ustalając x równe 2, ograniczyliśmy się do punktów, które wyglądają tak:

left parenthesis, 2, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, 2, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, T, y, l, k, o, space, y, space, z, m, i, e, n, i, a, space, s, i, ę, space, s, w, o, b, o, d, n, i, e, point, end text

Ma to bardzo ładną interpretację geometryczną:

Punkty w przestrzeni, dla których x, equals, 2, to znaczy wszystkie punkty postaci left parenthesis, 2, comma, y, comma, z, right parenthesis, tworzą płaszczyznę. Dlaczego? Wyobraź sobie przecięcie wykresu tą płaszczyzną. Punktami przecięcia płaszczyzny i wykresu — zaznaczonymi powyżej na czerwono — są punkty na naszym wykresie, dla który x, equals, 2.

Dlaczego więc ma to pomagać w zrozumieniu wykresu?

Zasadniczo zmieniliśmy funkcję wielu zmiennych f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis na funkcję jednej zmiennej:

\begin{aligned} \quad g(y) &= \cos(2)\sin(y) \\ &\approx -0{,}42\sin(y) \end{aligned}

W rzeczywistości krzywa otrzymana z przekroju trójwymiarowego wykresu w x, equals, 2 ma taki sam kształt jak dwuwymiarowy wykres g, left parenthesis, y, right parenthesis.

W ten sposób można próbować zrozumieć rrójwymiarowy wykres funkcji wielu zmiennych używając przekrojów, ustalając jedną zmienną i patrząc na otrzymany wykres dwuwymiarowy.

Przykład 3: Jeden argument, dwie wartości

Można również rysować wykresy funkcji z jednowymiarowym argumentem i dwuwymiarową wartością — jednak z jakichś względów nie jest to powszechne.

Funkcja: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Punkty na wykresie: left parenthesis, x, comma, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Wykres:

W tym przypadku tylko x zmienia się swobodnie, wartości y i z na wykresie są zależne od x.

Jeśli obrócimy obraz, tak by móc patrzeć bezpośrednio na płaszczyznę x, y, wykres wygląda jak f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared. Inaczej mówiąc, gdy rzutujemy wykres na płaszczyznę x, y, rezultatem jest wykres f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.

Podobnie obracanie obrazu w taki sposób, że patrzymy bezpośrednio na płaszczyznę x, z, sprawia, że obraz wygląda jak wykres f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Inaczej mówiąc, funkcja f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis jest sposobem, by połączyć dwie funkcje: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared oraz f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis w jedną, a informacja o obu znajduje się na tym samym wykresie.

Ograniczenia

Jeśli spróbujesz zastosować tę metodę do funkcji z argumentem lub wartością o większej liczbie wymiarów, szybko okaże się, że potrzebne jest więcej wymiarów niż jesteśmy w stanie wygodnie wizualizować.

Rozważmy na przykład funkcję f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis. Ma ona dwuwymiarowy argument i dwuwymiarową wartość. Narysowanie jej wykresu wymaga czterech wymiarów! Jest tak dlatego, że musimy nanieść na wykres wszystkie punkty postaci left parenthesis, x, comma, y, comma, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis.

[Próba wizualizacji tego czterowymiarowego wykresu]

W praktyce, gdy myśli się o wykresach funkcji w wyższych wymiarach, jak na przykład f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, zwykle zaczyna się od rozważenia wykresów jakichś prostszych funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością, jak na przykład f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared. Jest to swego rodzaju prototyp koncepcyjny.

Taki prototyp może pomóc w zrozumieniu niektórych operacji i może dać pewną intuicję co do tego, co zaczyna dziać się przy zwiększaniu liczby wymiarów argumentu. Ostatecznie dla funkcji w wyższych wymiarach rzeczywiste obliczenia są wykonywane wyłącznie symbolicznie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.