If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wykresy wielowymiarowe

Przykłady i ograniczenia rysowania wykresów funkcji wielu zmiennych.

Do czego zmierzamy

  • Narysowanie wykresu funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością wymaga zaznaczania punktów w przestrzeni trójwymiarowej.
  • Ostatecnie wygląda to jak powierzchnia w trzech wymiarach, gdzie wysokość tej powierzchni powyżej płaszczyzny xy wskazuje wartość funkcji w każdym punkcie.

Przypomnienie wykresów funkcji jednej zmiennej

Wykresy są zdecydowanie najbardziej znanym większości uczniów i studentów sposobem wizualizacji funkcji. Zanim uogólnimy je na przypadek funkcji wielu zmiennych, przypomnijmy krótko jak działają wykresy funkcji jednej zmiennej.
Załóżmy, że naszej funkcja wygląda następująco:
f(x)=x2+3x+2
By umieścić na wykresie wartość dla jednego argumentu, na przykład x=1, obliczamy najpierw f(1):
f(1)=x2+3x+2=(1)2+3(1)+2=4
Następnie zaznaczamy punkt (1,f(1)) na płaszczyźnie xy. W tym przypadku oznacza to zaznaczenie punktu (1, 4).
Kiedy wykonamy to dla wszystkich możliwych argumentów x, nie tylko 1, widzimy jak wyglądają wszystkie punkty postaci (x,f(x)).
O ile f(x) nie jest jakąś egzotyczną lub sporadyczną funkcją, której wartości drastycznie się zmieniają przy małej zmianie x, wynik będzie gładko wyglądającą krzywą.

Dodając jeden dodatkowy wymiar

Co możemy zrobić w przypadku funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością? Być może coś takiego:
f(x,y)=(x2)2+(y2)2+2
Associating inputs with outputs requires three numbers—two for the inputs and one for the output.
Argument (x,y)Wartość f(x,y)
(0,0)10
(1,0)7
(1,2)3
By reprezentować te przyporządkowania przy użyciu wykresu, zaznaczamy punkty w trzech wymiarach.
  • Przyporządkowanie (0,0)10 jest zaznaczane jako punkt (0,0,10).
  • Przyporządkowanie (1,0)7 jest zaznaczane jako punkt (1,0,7).
  • W ogólności celem jest przedstawienie wszystkich punktów postaci (x,y,f(x,y)) dla pewnych par liczb x,y.
Otrzymany wykres jest przedstawiony poniżej. Film pokazuje ten wykres w trakcie obrotu, co może pomóc w uświadomieniu sobie jego trójwymiarowego charakteru. Płaszczyzna xy — który jest teraz przestrzenią argumentów — jest widoczna poniżej wykresu.
Filmy wideo na Khan Academy
Oznacza to, że dla dowolnego danego punktu (x,y) na płaszczyźnie, odległość w pionie między tym punktem i wykresem wskazuje wartość f(x,y). Ten pionowy kierunek jest zwykle określany jako kierunek z, a trzecia oś, która jest prostopadła do płaszczyzny xy nazywa się osią z.
O ile wartość f(x,y) zmienia się w sposób ciągły, gdy x i y zmieniają się w sposób ciągły, co ma miejsce prawie zawsze w przypadku funkcji, z którymi w praktyce mamy do czynienia, wykres wygląda ostatecznie jak jakiś rodzaj powierzchni.

Przykład 1: Krzywa dzwonowa

Funkcja: f(x,y)=e(x2+y2)
Wykres:
Krzywa dzwonowa Gaussa
Przeanalizujmy jak zachowuje się ta funkcja. Po pierwsze, przyjrzyjmy się wykładnikowi w wyrażeniu e(x2+y2) i rozważmy wartość x2+y2.
Pytanie: jak można interpretować wartość x2+y2?
Wybierz 1 odpowiedź:

Jeśli punkt (x,y) jest daleko od punktu (0,0), to funkcja e(x2+y2) wygląda jak e(jakaś duża liczba ujemna), czyli prawie zero. Oznacza to, że odległość między wykresem i płaszczyzną xy w tych punktach jest bardzo mała. Z drugiej strony, gdy x=0 i y=0, to e(x2+y2)=e0=1, co daje nam wybrzuszenie w środku.
Zastanów się: Powyższy wykres jest symetryczny ze względu na obroty w tym sensie, że będzie wyglądać tak samo jeśli go obrócimy w jakikolwiek sposób wokół osi z. Dlaczego tak jest?

Przykład 2 : Fale

Funkcja: f(x,y)=cos(x)sin(y)
Wykres:
Jednym ze sposobów uzyskania intuicji co do zachowania funkcji f(x,y)=cos(x)sin(y) — i funkcji wielu zmiennych w ogóle — jest sprawdzenie, co dzieje się, gdy jednen z argumentów jest ustalony.
Na przykład, co się dzieje, kiedy ustalimy wartość x równą 2? Zwykle nanosimy wszystkie punkty, które wyglądają tak:
(x,y,cos(x)sin(y))x i y zmieniają się swobodnie.
Ustalając x równe 2, ograniczyliśmy się do punktów, które wyglądają tak:
(2,y,cos(2)sin(y))Tylko y zmienia się swobodnie.
Ma to bardzo ładną interpretację geometryczną:
Punkty w przestrzeni, dla których x=2, to znaczy wszystkie punkty postaci (2,y,z), tworzą płaszczyznę. Dlaczego? Wyobraź sobie przecięcie wykresu tą płaszczyzną. Punktami przecięcia płaszczyzny i wykresu — zaznaczonymi powyżej na czerwono — są punkty na naszym wykresie, dla który x=2.
Dlaczego więc ma to pomagać w zrozumieniu wykresu?
Zasadniczo zmieniliśmy funkcję wielu zmiennych f(x,y)=cos(x)sin(y) na funkcję jednej zmiennej:
g(y)=cos(2)sin(y)0,42sin(y)
W rzeczywistości krzywa otrzymana z przekroju trójwymiarowego wykresu w x=2 ma taki sam kształt jak dwuwymiarowy wykres g(y).
W ten sposób można próbować zrozumieć rrójwymiarowy wykres funkcji wielu zmiennych używając przekrojów, ustalając jedną zmienną i patrząc na otrzymany wykres dwuwymiarowy.

Przykład 3: Jeden argument, dwie wartości

Można również rysować wykresy funkcji z jednowymiarowym argumentem i dwuwymiarową wartością — jednak z jakichś względów nie jest to powszechne.
Funkcja: f(x)=(x2,sin(x))
Punkty na wykresie: (x,x2,sin(x))
Wykres:
Wykres funkcji f(x)=(x2,sin(x))
W tym przypadku tylko x zmienia się swobodnie, wartości y i z na wykresie są zależne od x.
Jeśli obrócimy obraz, tak by móc patrzeć bezpośrednio na płaszczyznę xy, wykres wygląda jak f(x)=x2. Inaczej mówiąc, gdy rzutujemy wykres na płaszczyznę xy, rezultatem jest wykres f(x)=x2.
Rzut f(x)=(x2,sin(x)) na płaszczyznę xy
Podobnie obracanie obrazu w taki sposób, że patrzymy bezpośrednio na płaszczyznę xz, sprawia, że obraz wygląda jak wykres f(x)=sin(x).
Rzut f(x)=(x2,sin(x)) na płaszczyznę xz
Inaczej mówiąc, funkcja f(x)=(x2,sin(x)) jest sposobem, by połączyć dwie funkcje: f(x)=x2 oraz f(x)=sin(x) w jedną, a informacja o obu znajduje się na tym samym wykresie.

Ograniczenia

Jeśli spróbujesz zastosować tę metodę do funkcji z argumentem lub wartością o większej liczbie wymiarów, szybko okaże się, że potrzebne jest więcej wymiarów niż jesteśmy w stanie wygodnie wizualizować.
Rozważmy na przykład funkcję f(x,y)=(x2,y2). Ma ona dwuwymiarowy argument i dwuwymiarową wartość. Narysowanie jej wykresu wymaga czterech wymiarów! Jest tak dlatego, że musimy nanieść na wykres wszystkie punkty postaci (x,y,x2,y2).
W praktyce, gdy myśli się o wykresach funkcji w wyższych wymiarach, jak na przykład f(x,y,z)=x2+y2+z2, zwykle zaczyna się od rozważenia wykresów jakichś prostszych funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością, jak na przykład f(x,y)=x2+y2. Jest to swego rodzaju prototyp koncepcyjny.
Taki prototyp może pomóc w zrozumieniu niektórych operacji i może dać pewną intuicję co do tego, co zaczyna dziać się przy zwiększaniu liczby wymiarów argumentu. Ostatecznie dla funkcji w wyższych wymiarach rzeczywiste obliczenia są wykonywane wyłącznie symbolicznie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.