Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)

Funkcje parametryczne, jeden parametr

Funkcje parametryczne są sposobem reprezentacji funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością.

Kontekst

Funkcje wielu zmiennych

Informacje o równaniach parametrycznych znajdziesz również w tym filmie. Ten artykuł ma na celu do opisanie tej samej koncepcji w kontekście funkcji wielu zmiennych.

Do czego zmierzamy

O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.

Wizualizacja funkcji wektorowych

Wyobraź sobie, że pewnego dnia czytasz sobie radośnie o matematyce, aż tu nagle natrafiasz na taką funkcję:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cdot \cos (2 π t) \\ t \cdot \sin (2 π t) \end{matrix}]$ ‍

Jak byś sobie ją wyobraził/a?

Ta funkcja przyjmuje za argument jedną zmienną,

t

, i wyrzuca dwuwymiarowy wektor. Na przykład dla argumentu

t = 1

, jej wartość jest następująca.

$f (1) = [\begin{matrix} 1 \cdot \cos (2 π \cdot 1) \\ 1 \cdot \sin (2 π \cdot 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ ‍

Wartość jest wektorem o długości

1

skierowanym w kierunku

x

(poziomym).

Ale jak wyobrazić sobie wszystkie wartości na raz?

Dobrym sposobem, aby to zrobić, jest wyobrazić sobie, jaką krzywą zakreśli ten wektor gdy

t

będzie zmieniało się w jakimś przedziale. Dla przykładu, poniższy interaktywny diagram pozwala zobaczyć jaką krzywą zakreśli wartość

f

gdy

t

zmienia się od

0

3

Ta krzywa nazywana jest krzywą parametryczną. Jeśli interpretuje się funkcję w ten sposób, nazywa się to funkcją parametryczną, a argument

t

nazywa się parametrem.

Patrz tylko na przestrzeń wartości

Zauważ, że w przeciwieństwie do wykresów, gdzie staramy się przedstawiać jednocześnie przestrzeń argumentów i przestrzeń wartości funkcji, lub wykresów konturowych, gdzie rysujemy wyłącznie w przestrzeni argumentów, parametryczna interpretacja funkcji oznacza, że patrzymy wyłącznie na przestrzeń wartości. Ma to sens dla powyższego przykładu, ponieważ przestrzeń wartości ma więcej wymiarów niż przestrzeń argumentów.

Utrata informacji o argumentach

Problem z rysowaniem wyłącznie w przestrzeni wartości jest taki, że nie jest od razu jasne, jakie argumenty odpowiadają narysowanym przez nas wartościom. Na przykład rozważmy takie dwie funkcje:

$\begin{aligned} f (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \\ g (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Jeśli narysujemy je jako funkcje parametryczne dla

t

zmieniającego się

0

2 π

, obie zakreślają okrąg o promieniu

1

i środku w punkcie

(0, 0)

Są to jednak różne funkcje. Dla przykładu obliczmy wartość każdej z nich w

t = 0

Jeśli

f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]

, to ile wynosi

f (0)

[Odpowiedź]

Jeśli

g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]

, to ile wynosi

g (0)

[Odpowiedź]

Jednym ze sposobów, by nie utracić całkowicie informacji o argumentach jest zaznaczenie przy kilku punktach, jakim argumentom odpowiadają

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍
Pierwsza parametryzacja okręgu

$g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]$ ‍
Druga parametryzacja okręgu

Możemy sobie wyobrazić, że krzywą jest to ruchu cząstki od chwili początkowej do zakończenia ruchu. Ta interpretacja odgrywa podstawową rolę w fizyce.

Parametryzacja

W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych, a zwłaszcza w dziale pod nazwą "całkowanie po krzywych", często dana jest krzywa i należy znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje tę krzywą. Jednym z często pojawiających się przykładów jest okrąg jednostkowy, czyli okrąg o promieniu

1

i środku w punkcie

(0, 0)

Znalezienie funkcji parametrycznej, która opisuje krzywą nazywa się parametryzacją tej krzywej. W poprzedniej sekcji pokazano dwie różne funkcje, które parameteryzują okrąg. W praktyce najczęściej używaną do tego celu funkcją jest:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Uwaga: Przy parametryzacji krzywej należy określić nie tylko funkcję parametryczną, ale również zakres argumentów, na podstawie których rysowana jest krzywa. Na przykład używając funkcji

f (t)

do narysowania okręgu jednostkowego, można przyjąć

t

w zakresie od

0

2 π

Przykład: Parametryzacja krzywej z dużą liczbą pętli

Powiedzmy, że chcesz sparametryzować tę krzywą z dużą liczbą pętli:

Parametryzując krzywą należy zawsze myśleć o rysowaniu jej. W tym przypadku możesz wyobrazić sobie, że powinna być narysowana w taki spsób, jak gdybyś próbował/a narysować okrąg przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ktoś popychał twoją dłoń ze stałą prędkością w prawo. By zapisać to z użyciem wzorów, zaczynamy od funkcji parametryzującej okrąg:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Używając tej parametryzacji zaczynamy od punktu

(1, 0)

i zakreślamy okręg o promieniu

1

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponieważ parametryzowana przez nas krzywa zaczyna się w punkcie

(- 2, 0)

, rozpoczynamy modyfikowanie naszej funkcji od przesunięcia wartości

x

- 3

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Popychanie dłoni w prawo z upływem czasu odpowiada stałemu wzrostowi

x

-owej współrzędnej dłoni w czasie. Wzrost ten jest niezależny od ruchów wykonywanych w celu rysowania okręgów. By uwzględnić to we wzorze należy dodać pewną stałą

c

pomnożoną przez

t

do składnika funkcji odpowiadającego za współrzędną

x

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + c t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

By ustalić jaka powinna być ta stała, musimy wiedzieć, jak daleko w prawo przesuwamy się po wykonaniu jednej pętli. Nasza obecna funkcja

f (t)

wykonuje jedną pętlę, gdy

t

rośnie od

0

2 π

. Patrząc na krzywą wydaje się, że po wykonaniu pojedynczej pętli przesuwamy się dokładnie o

1

w prawo.

Oznacza to, że musimy przyjąć

2 π c = 1

. Stąd

c = \frac{1}{2 π}

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + \frac{1}{2 π} t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Wreszcie musimy ograniczyć zakres

t

. Zobaczmy ile pętli zawiera nasza krzywa:

Wygląda na to, że jest ich

6

. Ponieważ nasza funckja

f (t)

wykonuje jedną pętlę, gdy

t

zwiększa się o

2 π

, powinniśmy ustalić zakres argumentu od

0

6 (2 π) = 12 π

Podsumowanie

O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.