If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Funkcje parametryczne, jeden parametr

Funkcje parametryczne są sposobem reprezentacji funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością.

Kontekst

Informacje o równaniach parametrycznych znajdziesz również w tym filmie. Ten artykuł ma na celu do opisanie tej samej koncepcji w kontekście funkcji wielu zmiennych.

Do czego zmierzamy

  • O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
  • Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
  • Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.

Wizualizacja funkcji wektorowych

Wyobraź sobie, że pewnego dnia czytasz sobie radośnie o matematyce, aż tu nagle natrafiasz na taką funkcję:
f(t)=[tcos(2πt)tsin(2πt)]
Jak byś sobie ją wyobraził/a?
Ta funkcja przyjmuje za argument jedną zmienną, t, i wyrzuca dwuwymiarowy wektor. Na przykład dla argumentu t=1, jej wartość jest następująca.
f(1)=[1cos(2π1)1sin(2π1)]=[10]
Wartość jest wektorem o długości 1 skierowanym w kierunku x (poziomym).
Ale jak wyobrazić sobie wszystkie wartości na raz?
Dobrym sposobem, aby to zrobić, jest wyobrazić sobie, jaką krzywą zakreśli ten wektor gdy t będzie zmieniało się w jakimś przedziale. Dla przykładu, poniższy interaktywny diagram pozwala zobaczyć jaką krzywą zakreśli wartość f gdy t zmienia się od 0 do 3:
Ta krzywa nazywana jest krzywą parametryczną. Jeśli interpretuje się funkcję w ten sposób, nazywa się to funkcją parametryczną, a argument t nazywa się parametrem.

Patrz tylko na przestrzeń wartości

Zauważ, że w przeciwieństwie do wykresów, gdzie staramy się przedstawiać jednocześnie przestrzeń argumentów i przestrzeń wartości funkcji, lub wykresów konturowych, gdzie rysujemy wyłącznie w przestrzeni argumentów, parametryczna interpretacja funkcji oznacza, że patrzymy wyłącznie na przestrzeń wartości. Ma to sens dla powyższego przykładu, ponieważ przestrzeń wartości ma więcej wymiarów niż przestrzeń argumentów.

Utrata informacji o argumentach

Problem z rysowaniem wyłącznie w przestrzeni wartości jest taki, że nie jest od razu jasne, jakie argumenty odpowiadają narysowanym przez nas wartościom. Na przykład rozważmy takie dwie funkcje:
f(t)=[cos(t)sin(t)]g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
Jeśli narysujemy je jako funkcje parametryczne dla t zmieniającego się 0 do 2π, obie zakreślają okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0).
Są to jednak różne funkcje. Dla przykładu obliczmy wartość każdej z nich w t=0.
Jeśli f(t)=[cos(t)sin(t)], to ile wynosi f(0)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Jeśli g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)], to ile wynosi g(0)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Jednym ze sposobów, by nie utracić całkowicie informacji o argumentach jest zaznaczenie przy kilku punktach, jakim argumentom odpowiadają
f(t)=[cos(t)sin(t)]
g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
Możemy sobie wyobrazić, że krzywą jest to ruchu cząstki od chwili początkowej do zakończenia ruchu. Ta interpretacja odgrywa podstawową rolę w fizyce.

Parametryzacja

W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych, a zwłaszcza w dziale pod nazwą "całkowanie po krzywych", często dana jest krzywa i należy znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje tę krzywą. Jednym z często pojawiających się przykładów jest okrąg jednostkowy, czyli okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0).
Znalezienie funkcji parametrycznej, która opisuje krzywą nazywa się parametryzacją tej krzywej. W poprzedniej sekcji pokazano dwie różne funkcje, które parameteryzują okrąg. W praktyce najczęściej używaną do tego celu funkcją jest:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
Uwaga: Przy parametryzacji krzywej należy określić nie tylko funkcję parametryczną, ale również zakres argumentów, na podstawie których rysowana jest krzywa. Na przykład używając funkcji f(t) do narysowania okręgu jednostkowego, można przyjąć t w zakresie od 0 do 2π.

Przykład: Parametryzacja krzywej z dużą liczbą pętli

Powiedzmy, że chcesz sparametryzować tę krzywą z dużą liczbą pętli:
Parametryzując krzywą należy zawsze myśleć o rysowaniu jej. W tym przypadku możesz wyobrazić sobie, że powinna być narysowana w taki spsób, jak gdybyś próbował/a narysować okrąg przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ktoś popychał twoją dłoń ze stałą prędkością w prawo. By zapisać to z użyciem wzorów, zaczynamy od funkcji parametryzującej okrąg:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
Używając tej parametryzacji zaczynamy od punktu (1,0) i zakreślamy okręg o promieniu 1 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponieważ parametryzowana przez nas krzywa zaczyna się w punkcie (2,0), rozpoczynamy modyfikowanie naszej funkcji od przesunięcia wartości x o 3.
f(t)=[cos(t)3sin(t)]
Popychanie dłoni w prawo z upływem czasu odpowiada stałemu wzrostowi x-owej współrzędnej dłoni w czasie. Wzrost ten jest niezależny od ruchów wykonywanych w celu rysowania okręgów. By uwzględnić to we wzorze należy dodać pewną stałą c pomnożoną przez t do składnika funkcji odpowiadającego za współrzędną x .
f(t)=[cos(t)3+ctsin(t)]
By ustalić jaka powinna być ta stała, musimy wiedzieć, jak daleko w prawo przesuwamy się po wykonaniu jednej pętli. Nasza obecna funkcja f(t) wykonuje jedną pętlę, gdy t rośnie od 0 do 2π. Patrząc na krzywą wydaje się, że po wykonaniu pojedynczej pętli przesuwamy się dokładnie o 1 w prawo.
Oznacza to, że musimy przyjąć 2πc=1. Stąd c=12π.
f(t)=[cos(t)3+12πtsin(t)]
Wreszcie musimy ograniczyć zakres t. Zobaczmy ile pętli zawiera nasza krzywa:
Wygląda na to, że jest ich 6. Ponieważ nasza funckja f(t) wykonuje jedną pętlę, gdy t zwiększa się o 2π, powinniśmy ustalić zakres argumentu od 0 do 6(2π)=12π.

Podsumowanie

  • O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
  • Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
  • Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.