Główna zawartość
Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych
Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1
Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)Funkcje parametryczne, jeden parametr
Funkcje parametryczne są sposobem reprezentacji funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością.
Kontekst
Informacje o równaniach parametrycznych znajdziesz również w tym filmie. Ten artykuł ma na celu do opisanie tej samej koncepcji w kontekście funkcji wielu zmiennych.
Do czego zmierzamy
- O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
- Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
- Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.
Wizualizacja funkcji wektorowych
Wyobraź sobie, że pewnego dnia czytasz sobie radośnie o matematyce, aż tu nagle natrafiasz na taką funkcję:
Jak byś sobie ją wyobraził/a?
Ta funkcja przyjmuje za argument jedną zmienną, , i wyrzuca dwuwymiarowy wektor. Na przykład dla argumentu , jej wartość jest następująca.
Wartość jest wektorem o długości skierowanym w kierunku (poziomym).
Ale jak wyobrazić sobie wszystkie wartości na raz?
Dobrym sposobem, aby to zrobić, jest wyobrazić sobie, jaką krzywą zakreśli ten wektor gdy będzie zmieniało się w jakimś przedziale. Dla przykładu, poniższy interaktywny diagram pozwala zobaczyć jaką krzywą zakreśli wartość gdy zmienia się od do :
Ta krzywa nazywana jest krzywą parametryczną. Jeśli interpretuje się funkcję w ten sposób, nazywa się to funkcją parametryczną, a argument nazywa się parametrem.
Patrz tylko na przestrzeń wartości
Zauważ, że w przeciwieństwie do wykresów, gdzie staramy się przedstawiać jednocześnie przestrzeń argumentów i przestrzeń wartości funkcji, lub wykresów konturowych, gdzie rysujemy wyłącznie w przestrzeni argumentów, parametryczna interpretacja funkcji oznacza, że patrzymy wyłącznie na przestrzeń wartości. Ma to sens dla powyższego przykładu, ponieważ przestrzeń wartości ma więcej wymiarów niż przestrzeń argumentów.
Utrata informacji o argumentach
Problem z rysowaniem wyłącznie w przestrzeni wartości jest taki, że nie jest od razu jasne, jakie argumenty odpowiadają narysowanym przez nas wartościom. Na przykład rozważmy takie dwie funkcje:
Jeśli narysujemy je jako funkcje parametryczne dla zmieniającego się do , obie zakreślają okrąg o promieniu i środku w punkcie .
Są to jednak różne funkcje. Dla przykładu obliczmy wartość każdej z nich w .
Jeśli , to ile wynosi ?
Jeśli , to ile wynosi ?
Jednym ze sposobów, by nie utracić całkowicie informacji o argumentach jest zaznaczenie przy kilku punktach, jakim argumentom odpowiadają
Możemy sobie wyobrazić, że krzywą jest to ruchu cząstki od chwili początkowej do zakończenia ruchu. Ta interpretacja odgrywa podstawową rolę w fizyce.
Parametryzacja
W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych, a zwłaszcza w dziale pod nazwą "całkowanie po krzywych", często dana jest krzywa i należy znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje tę krzywą. Jednym z często pojawiających się przykładów jest okrąg jednostkowy, czyli okrąg o promieniu i środku w punkcie .
Znalezienie funkcji parametrycznej, która opisuje krzywą nazywa się parametryzacją tej krzywej. W poprzedniej sekcji pokazano dwie różne funkcje, które parameteryzują okrąg. W praktyce najczęściej używaną do tego celu funkcją jest:
Uwaga: Przy parametryzacji krzywej należy określić nie tylko funkcję parametryczną, ale również zakres argumentów, na podstawie których rysowana jest krzywa. Na przykład używając funkcji do narysowania okręgu jednostkowego, można przyjąć w zakresie od do .
Przykład: Parametryzacja krzywej z dużą liczbą pętli
Powiedzmy, że chcesz sparametryzować tę krzywą z dużą liczbą pętli:
Parametryzując krzywą należy zawsze myśleć o rysowaniu jej. W tym przypadku możesz wyobrazić sobie, że powinna być narysowana w taki spsób, jak gdybyś próbował/a narysować okrąg przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ktoś popychał twoją dłoń ze stałą prędkością w prawo. By zapisać to z użyciem wzorów, zaczynamy od funkcji parametryzującej okrąg:
Używając tej parametryzacji zaczynamy od punktu i zakreślamy okręg o promieniu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponieważ parametryzowana przez nas krzywa zaczyna się w punkcie , rozpoczynamy modyfikowanie naszej funkcji od przesunięcia wartości o .
Popychanie dłoni w prawo z upływem czasu odpowiada stałemu wzrostowi -owej współrzędnej dłoni w czasie. Wzrost ten jest niezależny od ruchów wykonywanych w celu rysowania okręgów. By uwzględnić to we wzorze należy dodać pewną stałą pomnożoną przez do składnika funkcji odpowiadającego za współrzędną .
By ustalić jaka powinna być ta stała, musimy wiedzieć, jak daleko w prawo przesuwamy się po wykonaniu jednej pętli. Nasza obecna funkcja wykonuje jedną pętlę, gdy rośnie od do . Patrząc na krzywą wydaje się, że po wykonaniu pojedynczej pętli przesuwamy się dokładnie o w prawo.
Oznacza to, że musimy przyjąć . Stąd .
Wreszcie musimy ograniczyć zakres . Zobaczmy ile pętli zawiera nasza krzywa:
Wygląda na to, że jest ich . Ponieważ nasza funckja wykonuje jedną pętlę, gdy zwiększa się o , powinniśmy ustalić zakres argumentu od do .
Podsumowanie
- O funkcji z jednowymiarowym argumentem i wielowymiarową wartością można myśleć jako o rysowaniu krzywej w przestrzeni.
- Taka funkcja nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument nazywany jest parametrem.
- Czasami w rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych trzeba znaleźć funkcję parametryczną, która rysuje określoną krzywą. Nazywa się to parametryzacją tej krzywej.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji