Główna zawartość

Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 1

Lekcja 2: Wizualizacja funkcji wielu zmiennych (artykuły)

Funkcje parametryczne, dwa parametry

Google Classroom

Do reprezentacji powierzchni w przestrzeni można używać funkcji z dwuwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartością.

Kontekst

Do czego zmierzamy

Funkcję z dwuwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartością można przedstawić graficznie zaznaczając wszystkie punkty odpowiadające pewnemu obszarowi przestrzeni argumentów. Rezultatem jest powierzchnia zwana powierzchnią parametryczną.
Proces, w którym postępujemy na odwrót, zaczynając od powierzchni w przestrzeni i próbując znaleźć funkcję, która "rysuje" tę powierzchnię, nazywamy parametryzacją powierzchni. Zazwyczaj nie jest to łatwy proces.

Szybkie przypomnienie funkcji z jednym parametrem

W porzednim artykule była mowa o wizualizacji funkcji z jednowymiarowym argumentem i dwuwymiarową wartością. Na przykład:

$\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t\cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]$

Opisane zostało to jak z faktu, że przestrzeń wartości ma więcej wymiarów niż przestrzeń argumentów, wynika to, że można uzyskać dobrą intuicję co do funkcji patrząc w której punkty w przestrzeni wartości funkcja "trafia", gdy wartość parametru t przebiega jakiś zbiór.

Funkcja interpretowana w ten sposób nazywana jest funkcją parametryczną, a jej argument t nazywany jest parametrem

Dwa parametry

Możemy zrobić coś bardzo podobnego dla funkcji, które mają dwuwymiarowy argument i trójwymiarową wartość.

$\displaystyle f(s, t) = \left[ \begin{array}{c} t^3 - st \\ s-t \\ s+t \end{array} \right]$

Obie współrzędne argumentu, s i t, będziey nazywać parametrami. Pokażemy teraz jak ta funkcja rysuje powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej.

[Związek z równaniami parametrycznymi]

Pierwszym krokiem w reprezentowaniu takiej funkcji jest określenie zakresu argumentu, na przykład

\begin{aligned} \quad 0 < &s < 3 \\ -2 < &t < 2 \end{aligned}

Tak wygląda ten obszar w przestrzeni argumentów.

Następnie rozważamy wszystkie możliwe wartości funkcji dla tego zakresu.

Argument left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis	Wartość left parenthesis, t, cubed, minus, s, t, comma, s, minus, t, comma, s, plus, t, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis	left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 0, right parenthesis
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis	left parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis
left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis	left parenthesis, 6, comma, 1, comma, 3, right parenthesis
\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

Oczywiście nie wypisujemy dosłownie wszystkich możliwych wartości, z tego względu, że jest ich nieskończenie wiele. Naszym zasadniczym celem jest reprezentowanie wszystkich tych wartości. Ponieważ funkcja wypluwa wartość o trzech współrzędnych, wizualizujemy tę wartość w przestrzeni trójwymiarowej.

Poniższa animacja przedstawia, jak wygląda przesuwanie się punktów left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis z przestrzeni argumentów do odpowiadających im wartości f, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis w przestrzeni trójwymiarowej:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Otrzymaną powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej nazywamy powierzchnią parametryczną.

Uwaga: powierzchnie takie czasami są mylone z wykresami funkcji o dwuwymiarowym argumencie i jednowymiarowej wartości, jako że rysuje się je również jako powierzchnie w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak funkcje parametryczne bardzo mocno różnią się od wykresów. Mają one dwuwymiarowy argument i trójwymiarową wartość. Zauważ, że to oznacza, iż narysowanie ich wykresu wymaga pięciu wymiarów!

Parametryzacja powierzchni

Jednym z najlepszych sposobów, aby "poczuć" funkcje parametryczne jest zacząć od powierzchni, które chcesz opisać, a następnie spróbować znaleźć funkcję, która narysuję ją jako powierzchnię parametryczną. Jest to również niezbędna umiejętność, gdy rozpoczyna się naukę o całkach powierzchniowych, jednym z dalszych działów rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych.

Trzeba jednak pamiętać, że parametryzacja powierzchni nie jest łatwa. W poniższym przykładzie zajmiemy się parametryzacją torusa, co jest formalną nazwą na powierzchnię obwarzanka (lub pączka z dziurką). Torus jest stosunkowo prostym przykładem powierzchni, ale nadal trzeba się dość poważnie wysilić.

Przykład: Parametryzacja torusa (obwarzanka)

Rozważmy powierzchnię przedstawioną na obrazku powyżej. Można myśleć o niej jako o kształcie obwarzanka, a właściwie nawet jako o samej skórce, ponieważ nie interesuje nas wnętrze. Naszym celem jest teraz znalezienie funkcji z dwuwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartoscią, której wartością jest właśnie ta powierzchnia obwarzanka.

Wyobrażamy sobie "rysowanie" powierzchni, chociaż to nie takie proste, narysować powierzchnię na papierze w ten sam sposób jak rysujemy krzywą.

[Wystarczy zapytać Boromira]

Zamiast tego nasza strategia polega na narysowaniu każdego okrągłego "plastra" torusa. Aby łatwiej było zrozumieć tę ideę, poniżej narysowano (na niebiesko) kilka takich "plastrów":

Na płaszczyźnie x, y zaznaczono również duży czerwony okrąg przebiegający przez środki każdego z tych "plastrów". Nie jest ona częścią torusa, ale będzie przydatnym punktem odniesienia przy rysowaniu niebieskich "plastrów".

W prawdziwym zadaniu promień czerwonego okręgu może być dany, tak samo jak promień każdego niebieskiego przekroju. W tym przykładzie wybierzmy arbitralnie promień czerwonego okręgu równy 3, a promień każdego niebieskiego przekroju równy 1, pamiętając, że wybór innych wartości dałby odmienne torusy.

Główna idea: opiszemy każdy punkt na torusie jako sumę dwóch wektorów:

Wektor start bold text, c, end bold text, with, vector, on top od punktu left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis do punktu na czerwonym okręgu. Aby określić do którego punkt na czerwonym okręgu, potraktujemy ten wektor jako funkcję wektorową zależną od parametru t. Punkt na czerwonym okrągu opisany przez start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis zmienia się wraz ze zmianą t.
Wektor start bold text, d, end bold text, with, vector, on top z opisanego wyżej punktu na czerwonym okręgu do punktu na odpowiadającym "plastrze" torusa. Kierunek tego wektora zależeć będzie od punktu na czerwonym okręgu, w którym jest zaczepiony, więc wartość start bold text, d, end bold text, with, vector, on top powinna zależeć od parametru t używanego do opisywania punktów na czerwonym okręgu. Ponadto będziemy używać drugiego parametru u do określenia, którą część niebieskiego "plastra" torusa wskazuje start bold text, d, end bold text, with, vector, on top.
Wektor left parenthesis, with, \overrightarrow, on top, start bold text, d, end bold text, right parenthesis, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis z punktu na czerwonym okręgu do punktu leżącego na torusie.

Oznacza to, że każdy punkt na torusie będzie opisany jako suma.

start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis

(Jeśli nie jesteś dobrze zaznajomiony/a z zasadami dodawania wektorów, ten film może być pomocny).

Dlaczego taka strategia?

Pomysł tutaj polega na tym, że nie od razu wiemy jak zdefiniować punkty na torusie, ale wiemy jak zdefiniować okręgi.

Ponieważ duży czerwony okrąg jest położony na płaszczyźnie x, y i ma promień długości 3, możemy go sparametryzować w następujący sposób:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3 \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] = 3 \cos(t) \hat{\textbf{i}} + 3 \sin(t) \hat{\textbf{j}} + 0 \hat{\textbf{k}} \end{aligned}

[Jak to wygląda w notacji używającej i, j oraz k?]

Funkcja wektorowa start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis powinna opisywać również okrąg, ale jest to trochę trudniejsze. (Niebieski) okrągły "plaster" torusa, który chcemy narysować za pomocą start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis leży pod kątem. Jak narysować okrąg pod kątem w trójwymiarowej przestrzeni?

Zacznijmy od tego, co wiemy. Wiemy, że w dwóch wymiarach okrąg jednostkowy można opisać za pomocą funkcji parametrycznej

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ \sin (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + \sin (u) \hat{j} \end{array}

Żeby otrzymać nasz niebieski okrągły "plaster" robimy coś podobnego, ale zamieniamy start bold text, i, end bold text, with, hat, on top i start bold text, j, end bold text, with, hat, on top na inne wektory jednostkowe. Spójrz na ten obrazek:

Zamiast przyjmować jako kierunek "w bok" start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, wektor jednostkowy w kierunku x, możemy myśleć o wektorze jednostkowym w kierunku od punktu left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, który będziemy nazywać start bold text, v, end bold text, with, hat, on top. Ponieważ ten kierunek może zależeć od tego, gdzie zaczynamy, start bold text, v, end bold text, with, hat, on top powinnien być funkcją wektorową zależną od parametru t, co zapisujemy jako start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Podobnie kierunkiem "w górę" nie jest już start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, ale start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, wektor jednostkowy w kierunku z. W związku z tym parametryzacja okrągłego "plastra" powinna wyglądać tak:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) = \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Oczywiście pozostaje pytanie, jaki jest wzór na start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Patrząc na obrazek, kierunek od punktu left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis jest opisany również przez start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, więc wzór na start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis powinien być taki sam jak na start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, ale przeskalowany tak, by długość tego wektra była równa 1.

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3&\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{To nie jest wektor jednostkowy}}} \\ \Downarrow& \\ \hat{\textbf{v}}(t) = &\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{To już jest wektor jednostkowy}}} \end{aligned}

Oznacza to, że pełnym wzorem na start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis jest

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) &= \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \\ &= \cos(u) \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right]+ \sin(u) \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \end{aligned}

Konkluzja

Należy pamiętać, że start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis i start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis zostały zdefiniowane po to, by opisać każdy punkt na torusie jako start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis. Mamy więc następującą funkcję wektorową o dwóch parametrach:

\begin{aligned} \quad \vec{f}(u, t) &= \vec{\textbf{c}}(t) + \vec{\textbf{d}}(u, t) \\ &= 3\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \\ &= \blueE{\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(u)\cos(t) \\ 3\sin(t)+\cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right]} \end{aligned}

Kiedy u zmenia się od 0 do 2, pi wartości tej funkcji f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis zakreślają jeden z niebieskich "plastrów", a gdy t zmieniasię od 0 do 2, pi, "plastry" zakreślają cały torus.

Jeśli weżmiemy takie punkty z przestrzeni parametrów, że 0, is less than or equal to, u, is less than or equal to, 2, pi i 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi i popatrzymy, w jaki sposób przechodzą na wartości funkcji f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis, może to wyglądać w ten sposób:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Podsumowanie

Funkcję z dwuwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartością można przedstawić graficznie zaznaczając wszystkie punkty odpowiadające pewnemu obszarowi przestrzeni argumentów. Rezultatem jest powierzchnia zwana powierzchnią parametryczną.
Proces, w którym postępujemy na odwrót, zaczynając od powierzchni w przestrzeni i próbując znaleźć funkcję, która "rysuje" tę powierzchnię, nazywamy parametryzacją powierzchni. Zazwyczaj nie jest to łatwy proces.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.