If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przekształcenia

Here we see how to think about multivariable functions through movement and animation.

O co chodzi w przekształceniach

We wszystkich używanych przez nas metodach wizualizacji funkcji wielu zmiennych naszym celem jest pokazanie, jak argumenty łączą się z wartościami danej funkcji.
  • Metoda wykresu polega na wyrysowywaniu punktów, których współrzędne zawierają zarówno argumenty, jak i wartości funkcji.
  • Metoda map konturowych polega na zaznaczeniu, które argumenty przejdą na odpowiednie wartości funkcji.
  • Metoda funkcji parametrycznej polega na zaznaczeniu, gdzie ląduje dany argument w przestrzeni wartości.
  • Metoda pól wektorowych polega na rysowaniu wartości funkcji jako wektorów o punkcie zaczepienia w odpowiadającym im argumentach tej funkcji.
Ideą stojącą za przekształceniami jest po prostu oglądanie (lub wyobrażanie sobie) argumentów wędrujących do odpowiadających im wartości.
Spojrzenie na funkcje jako na przekształcenia może początkowo lekko mieszać w głowie, więc jeżeli od razu tego nie zrozumiesz, nie przejmuj się.
Aby zaostrzyć Twój apetyt, poniżej możesz zobaczyć film z artykułu o powierzchni parametrycznej, który pokazuje, jak pewna funkcja przekształca kwadrat w torus (kształt obwarzanka).
Filmy wideo na Khan Academy

Intuicja ponad precyzję

Myślenie o funkcjach jako o przekształceniach może być bardzo dobre z kilku powodów:
  • Nie jesteśmy związani wymiarem. Zarówno argument, jak i wartość funkcji mogą być jedno-, dwu- lub trójwymiarowe a i tak będziemy mieli sposób na zrozumienie, co robi funkcja.
Nawet jeżeli wymiarów jest za dużo, by na nie spojrzeć, myślenie w języku przekształceń daje nam przynajmniej przybliżoną intuicję za tym, co robi funkcja. Na przykład, możemy stwierdzić, że funkcja z przestrzeni 100-wymiarowej do przestrzeni 20-wymiarowej "spłaszcza" 80 wymiarów, być może w sposób podobny do zgniatania przestrzeni trójwymiarowej do lini.
  • Ta koncepcja może być łatwo uogólniona do funkcji o różnych rodzajach argumentów i wartości, takich jak funkcje liczb zespolonych lub funkcje przenoszące punkty sfery na płaszczyznę xy.
  • Takie rozumienie funkcji pomoże Ci znaleźć połączenie między analizą wielu zmiennych a algebrą liniową.
Mimo wszystkich pozytywów wypisanych powyżej, należy pamiętać, że przekształcenia działają najlepiej przy wyobrażaniu sobie, co robi funkcja, a nie przy dokładnym opisie. Rzadkim przypadkiem jest znalezienie własności funkcji na podstawie obserwacji, jak działa jako przekształcenie.

Przykład 1: Z linii do linii

Zacznijmy od prostej funkcji jednej zmiennej.
f(x)=x23
Rozważmy wszystkie pary argument-wartość.
x (argument)x23 (wartość)
21
12
03
12
21
Jak wyglądałby zestaw wszystkich argumentów przechodzący na odpowiadające im wartości? Jeżeli zobrazujemy przestrzeń argumentów jako jedną oś liczbową a przestrzeń wartości jako drugą oś liczbową, otrzymamy ruch, jak poniżej:
Filmy wideo na Khan Academy
Alternatywnie, skoro przestrzeń argumentów jest równa przestrzeni wartości - osi liczbowej - możemy myśleć o przekształceniu osi w samą siebie, przenosząc każdy punkt x na punkt x23, jak poniżej:
Filmy wideo na Khan Academy

Przykład 2: Z linii do płaszczyzny

Weźmy teraz funkcję z jednowymiarowymi argumentami i dwuwymiarowymi wartościami.
f(x)=(cos(x),x2sin(x))
Rozważmy ponownie wszystkie pary argument-wartość.
Argumenty xWartości (cos(x),x2sin(x))
0(1,0)
π2(0,π4)
π(1,0)
Wyobraź sobie wszystkie możliwe argumenty na osi liczbowej przechodzące na odpowiadające im wartości. Tym razem, ponieważ wartości mają dwie współrzędne, mieszczą się one na płaszczyźnie xy.
Filmy wideo na Khan Academy
Zauważ, że ostateczny obraz przekształconej osi liczbowej na płaszczyźnie xy jest tym, co byśmy otrzymali, gdybyśmy interpretowali funkcję f jako funkcję parametryczną, ale tym razem widzimy, które argumenty gdzie lądują na ostatecznej krzywej.
Zatrzymajmy się chwilę i zobaczmy jeszcze raz, jak szczególne argumenty przechodzą na odpowiadające im wartości.
0f(0)=(cos(0),0sin(0))=(1,0)π2f(π2)=(cos(π2),π4sin(π2))=(0,π/4)πf(π)=(cos(π),π2sin(π))=(1,0)
Filmy wideo na Khan Academy

Przykład: Proste przekształcenie płaszczyzny w płaszczyznę

Rozważ obrót płaszczyzny o 90 (strzałki narysowano dla pomocy przy zrozumieniu tego przekształcenia)
Filmy wideo na Khan Academy
Można to zrozumieć jako sposób zobrazowania pewnej funkcji z dwuwymiarowymi argumentami i dwuwymiarowymi wartościami. Dlaczego?
To przekształcenie przenosi punkty z przestrzeni dwuwymiarowej na inne punkty w przestrzeni dwuwymiarowej. Na przykład, punkt, który zaczyna w (1,0) kończy na (0,1). Punkt, który zaczyna w (1,2), kończy na (2,1) itp. Funkcja opisująca to przekształcenie, to:
f(x,y)=(y,x)
Dla każdego danego punktu, takiego jak (3,4), funkcja f mówi nam, gdzie wyląduje ten punkt po obrocie płaszczyzny o 90 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (w wypadku jest to (4,3)).

Przykład 4: Bardziej skomplikowane przekształcenie płaszczyzny w płaszczyznę

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowaną funkcję z dwuwymiarowymi argumentami i dwuwymiarowymi wartościami:
f(x,y)=(x2+y2,x2y2).
Każdy z argumentów na płaszczyźnie, taki jak na przykład (1,2), przenoszony jest na inny punkt na płaszczyźnie, taki jak (12+22,1222)=(5,3). Gdy oglądamy każdy z punktów na płaszczyźnie przechodzący na punkt odpowiadającej mu wartości, to wygląda to, jak gdyby przekształcała się płaszczyzna:
Filmy wideo na Khan Academy
Zauważ, że wszystkie punkty trafiają na prawą stronę płaszczyzny. To dlatego, że pierwszą współrzędną wartości jest x2+y2, co nigdy nie jest ujemne.
Pytanie testowe: W powyższym przekształceniu reprezentującym funkcję f(x,y)=(x2+y2,x2y2) wszystkie punkty trafiają do V-kształtnego obszaru między liniami x=y i x=y. Który z poniższych faktów ilościowych to tłumaczy?
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykład 5: Z płaszczyzny do linii

Pomyślmy teraz o funkcji z dwuwymiarową przestrzenią argumentów i jednowymiarową przestrzenią wartości.
f(x,y)=x2+y2,
Odpowiednie przekształcenie ściśnie płaszczyznę xy do osi liczbowej.
Filmy wideo na Khan Academy
Tak ściśnięcie może utrudnić śledzenie tego, co się dzieje, więc dla precyzyjnego i jasnego opisu, lepiej byłoby opisać to używając wykresu lub mapy konturowej. Niemniej jednak, warto mieć z tyu głowy, że funkcja z dwóch wymiarów do jednego wymiaru ściska w pewien sposób płaszczyznę do linii.
Na przykład, to daje nam nowy sposób na interpretację poziomic w mapie konturowej: są to wszystkie punkty płaszczyzny łącząc się w jeden wspólny punkt na osi.

Przykład 6: Z płaszczyzny do przestrzeni

Funkcje z dwuwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartością przekształcają płaszczyznę w przestrzeń trójwymiarową. Na przykład, takie przekształcenie może wyglądać, jak poniżej (czerwone i niebieskie linie zostały dodane w celu ułatwienia zrozumienia, co się dzieje z kierunkami x i y):
Filmy wideo na Khan Academy
Analogicznie do zamieszczonego wyżej przykładu "jeden wymiar do dwóch wymiarów", obraz funkcji odpowiada powierzchni otrzymanej przy interpretacji funkcji jako funkcji parametrycznej.

Przykład 7: Z przestrzeni do przestrzeni

Funkcje o trójwymiarowych argumentach i trójwymiarowych wartościach mogą być rozumiane jako przekształcenia trójwymiarowej przestrzeni w samą siebie. Z taką liczbą zmiennych patrzenie na to przekształcenie może być jednocześnie przerażające, piękne i niezrozumiałe. Na przykład, rozważmy poniższą funkcję:
f(x,y,z)=(yz,xz,xy)
Tak ona wygląda jako przekształcenie.
Filmy wideo na Khan Academy
Może wyglądać pięknie, ale jest to całkiem niezłe spaghetti, którego działanie niełatwo jest śledzić.

Przemyślenia końcowe

Przekształcenia mogą dostarczyć cudownych sposobów na interpretację własności funkcji, gdy już je poznasz. Na przykład, funkcje stałe ściągają przestrzeń argumentów do jednego punktu a funkcje nieciągłe muszą rozdzielić przestrzeń argumentów w trakcie ruchu.
Te interpretacje fizyczne mogą być szczególnie pomocne, gdy zapuścimy się w tematy analizy wielu zmiennych, gdzie czasem trzeba zrozumieć pewne pojęcia i operacje na symbolach, nie mając podległego zrozumienia tego, co właściwie się dzieje.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.