Jak mniej polegać na wykresach

Chociaż wykresy są świetnym sposobem rozumienia funkcji jednej zmiennej, to w przypadku funkcji wielu zmiennych nie zawsze dobrze działają.

Kontekst

Wykresy nie są jedynym sposobem

Funkcję jednej zmiennej, taką jak na przykład ta poniżej, często wizualizuje się za pomocą wykresu.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$ ‍

Jednak ważne jest, żeby pamiętać, że wykresy to nie to samo co funkcje. Może się to wydawać oczywiste, jednak wykresy są tak przydatne przy przedstawianiu funkcji jednej zmiennej, że wiele osób trzyma się tej metody nieco zbyt mocno, gdy zmieniają obiekt zainteresowania z funkcji jednej zmiennej na funkcje wielu zmiennych.

Dla przykładu przyjrzyjmy się pochodnej. Możliwe, że w pewnym momencie widziałeś/aś formalną definicję, która wygląda tak:

\begin{array}{r} f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \leftarrow Formalna definicja pochodnej. \end{array}

Odpowiedz sobie szczerze: jak często myślisz o tej definicji robiąc zadania, ucząc się metod obliczania pochodnych czy interpretując ich znaczenie?

O wiele prościej jest myśleć o pochodnej jako o czymś, co odpowiada nachyleniu wykresu funkcji

f

. W takim podejściu nie ma nic złego! A przynajmniej nie ma nic złego w przypadku funkcji jednej zmiennej.

W rachunku różniczkowym funkcji wielu zmiennych nie zawsze przedstawiamy funkcje za pomocą wykresów. Dlatego też, gdy rozszerzamy pojęcie pochodnej, nie zawsze można o niej myśleć jako o nachyleniu wykresu. Ale to nie znaczy, że w ogóle nie można jej przedstawić graficznie! Oznacza to tylko, że czasami ta wizualizacja może być wyglądać inaczej.

Podobnie myślenie o całce jako o czymś, co liczy pole obszaru pod krzywą jest tak użyteczne, że osoby uczące się rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzadko myślą o niej inaczej. Dlaczego by mieli? Skoro działa, to po co to zmieniać, prawda?

Opanowanie rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych wymaga elastyczności pozwalającej myśleć o funkcjach inaczej — wciąż obrazowo, ale inaczej. Wymaga to również włączenia podstawowych pojęć, takich jak pochodne i całki, w te nowe sposoby myślenia.

Na przykład pochodna jest zasadniczo odpowiedzią na pytanie, jak wartość funkcji zmienia się przy niewielkiej zmianie argumentu. Jeśli funkcja ma wartości wielowymiarowe, to interpretowanie tego jako "nachylenie" nie ma zbyt wiele sensu. Zamiast tego trzeba wyobrazić sobie, jak niewielkia zmiana argumentu wpływa na każdą współrzędną wartości funkcji.

Podobnie całkowanie jest zasadniczo dodawianem iluś bardzo małych wartości — cóż, nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości — ale to nie zawsze oznacza, że chodzi o pole. W fizyce, na przykład, często "pracę" wykonywaną nad obiektem przez jakąś siłę oblicza się przy użyciu całki, ale nie jest zawsze istnieje jasny sposób myślenia o tej "pracy" jako o obszarze jakiegokolwiek rodzaju.

Pięć różnych wizualizacji

W kilku następnych artykułach przedstawimy pięć różnych sposobów wizualizacji funkcji wielu zmiennych. Tutaj dajemy swego rodzaju przedsmak każdego z nich.

W każdym z poniższych opisów "przestrzeń argumentów" i "przestrzeń wartości" odnoszą się do przestrzeni, w których "żyją" argumenty i wartości. Na przykład, jeśli funkcja za argument przyjmuje uporządkowaną parę

(x, y)

, taką jak

(2, 5)

, i jej wartością jest pojedyncza liczba, taka jak

5

, to przestrzenią argumetnów jest płaszczyzna

x y

, a przestrzenią wartości jest prosta rzeczywista.

Wykresy, nasz stary przyjaciel. Zaletą wykresów jest to, że pokazują jednocześnie przestrzeń argumentów i przestrzeń wartości, ale z tego samego powodu są mocno ograniczone przez wymiar. Dlatego też są one tak naprawdę użyteczne tylko dla funkcji jednej zmiennej oraz dla funkcji wielu zmiennych z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością.
Wykresy konturowe.Wykresy konturowe pokazują tylko przestrzeń argumentów i są przydatne w przypadku funkcji z dwuwymiarowym argumentem i jednowymiarową wartością.
Krzywe/powierzchnie parametryczne. Krzywe i powierzchnie parametryczne pokazują tylko przestrzeń wartości. Używa się ich w przypadku funkcji, których przestrzeń wartości ma więcej wymiarów niż przestrzeń argumentów.
Pola wektrorowe. Dotyczą przypadku, gdy przestrzeń argumentów i przestrzeń wartości mają taką samą liczbę wymiarów. Na przykład dla funkcji z dwuwymiarowym argumetem i dwuwymiarową wartością, albo dla funkcji z trójwymiarowym argumentem i trójwymiarową wartością można użyć pola wektorowego.
Przekształcenia. Mają one tę zaletę, że można ich używać w każdym przypadku, niezależnie od liczby wymiarów przestrzeni argumentów i przestrzeni wartości. Jednak ich wadą jest to, że jedynym sposobem ich reprezentacji są animacje lub schematyczne rysunki. Z tego powodu są najbardziej przydatne w uzyskaniu konceptualnego obrazu tego, co robi funkcja, ale są niepraktyczne, jeśli próbujemy przedstawić funkcję dokładnie.

Przy każdym nowym temacie i definicji, którą poznasz, dobrym sposobem na sprawdzenie, na ile je rozumiesz, jest sprawdzenie, czy rozumiesz je w kontekście funkcji, które wizualizujesz każdą z tych metod. Na przykład pochodna wskazuje na współczynnik nachylenia w przypadku wykresów, ale wieloparametrowa wersja pochodnej może oznaczać coś zupełnie innego dla funkcji parametrycznych, pól wektorowych i wykresów konturowych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.