Przekonaj się, jak zmiana sposobu grupowania czynników w mnożeniu wpływa to na wynik.

Grupowanie liczb

Obrazek przedstawia 3\tealD{3} rzędy, w których znajdują się po 2\goldD{2} kropki. Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia 3×2\tealD{3} \times \goldD{2}.
Poniższy obrazek przedstawia ten sam zestaw 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} skopiowany 4\purpleD{4} razy.
Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia (3×2)×4(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}.
Jeśli policzymy kropki, razem otrzymamy 2424.

Zmiana grupowania

Czy otrzymamy łącznie tyle samo jeśli zmienimy nawiasy tak, żeby liczby były pogrupowane w inny sposób?
Pogrupujmy liczby w taki sposób, żeby 2\goldD{2} i 4\purpleD{4} były razem: 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4}).
Możemy narysować zestaw kropek, który zilustruje to wyrażenie. Zacznijmy od 2\goldD{2} rzędów zawierających po 4\purpleD{4} kropki. Ten zestaw przedstawia działanie 2×4\goldD{2} \times\purpleD{4}.
Teraz musimy skopiować ten zestaw 3\tealD{3} razy, żeby uzyskać ilustrację wyrażenia 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4}).
Kiedy liczymy wszystkie kropki, okazuje się, że nadal mamy ich 2424.
Zmiana sposobu grupowania nie zmienia końcowego wyniku!
(3×2)×4=3×(2×4)(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4} = \tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})

Własność łączności

Własność łączności to matematyczne prawo, które pozwala zmieniać sposób grupowania mnożonych liczb, pozostawiając przy tym końcowy wynik bez zmian.
Pogrupujmy liczby występujące w podanym iloczynie na dwa różne sposoby i pokażmy, że w obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
5×4×25 \times 4 \times 2
Zacznijmy od pogrupowania razem liczb 5\blueD{5} i 4\blueD{4} . Możemy obliczyć wartość wyrażenia krok po kroku.
=(5×4)×2\phantom{=}(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=20×2= \blueD{20} \times 2
=40= 40
Teraz pogrupujmy razem liczby 4\purpleD{4} i 2\purpleD{2}.
=5×(4×2)\phantom{=}5 \times (\purpleD{4 \times 2})
=5×8=5 \times \purpleD{8}
=40=40
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.
Wszystkie trzy wyrażenia są równe:
=5×4×2\phantom{=}5 \times 4 \times 2
=(5×4)×2=(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=5×(4×2)=5 \times (\purpleD{4 \times 2})

Spróbujmy rozwiązać kilka zadań

Spróbujmy teraz obliczyć wartość wyrażenia na dwa różne sposoby.
Teraz obliczymy wartość tego samego wyrażenia, ale z liczbami pogrupowanymi w inny sposób.
(3×2)×5=30(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30 i
3×(2×5)=303 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.

Wyrażenia równoważne

Możemy wykorzystać własność łączności, żeby znajdować wyrażenia równoważne.
Zacznijmy od wyrażenia 2×2×52 \times 2 \times 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby, otrzymując w obu przypadkach wyrażenia równoważne 2×2×52 \times 2 \times 5:
(2×2)×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5
2×(2×5)2 \times (\goldD{2 \times 5})
Obliczając wartość każdego z tych wyrażeń krok po kroku, możemy znaleźć inne wyrażenia równoważne.
(2×2)×5=4×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5 = \blueD{4} \times 5
2×(2×5)=2×102 \times (\goldD{2 \times 5}) = 2 \times \goldD{10}
Zatem nasze wyjściowe wyrażenie 2×2×52 \times 2 \times 5 jest również równoważne wyrażeniom 4×54 \times 5 i 2×102 \times 10.

Po co zmieniać sposób grupowania?

Zmiana sposobu grupowania może sprawić, że mnożenie stanie się łatwiejsze.
Przyjrzyjmy się wyrażeniu 4×4×54 \times 4 \times 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby:
(4×4)×5(4 \times 4) \times 5
4×(4×5)4 \times (4 \times 5)
Obliczając krok po kroku wartość pierwszego wyrażenia, dostajemy: (4×4)×5=16×5(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5
Obliczając krok po kroku wartość drugiego wyrażenia, dostajemy: 4×(4×5)=4×204 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}
Wyznaczenie iloczynu 4×204 \times 20 może być łatwiejsze niż wyznaczenie iloczynu 16×516 \times 5.
Mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby, wynik końcowy w obu przypadkach jest ten sam.
4×20=804 \times 20 = 80
16×5=8016 \times 5 = 80

Spróbujmy rozwiązać zadanie