Przekonaj się, jak zmiana sposobu grupowania czynników w mnożeniu wpływa to na wynik.

Grupowanie liczb

Obrazek przedstawia start color tealD, 3, end color tealD rzędy, w których znajdują się po start color goldD, 2, end color goldD kropki. Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD.
Poniższy obrazek przedstawia ten sam zestaw start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD skopiowany start color purpleD, 4, end color purpleD razy.
Możemy opisać ten zestaw kropek za pomocą wyrażenia left parenthesis, start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD, right parenthesis, times, start color purpleD, 4, end color purpleD.
Nawiasy mówią nam, które dwie liczby należy pomnożyć jako pierwsze.
Obliczając left parenthesis, start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD, right parenthesis, times, start color purpleD, 4, end color purpleD, wykonamy najpierw mnożenie start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD, ponieważ te dwie liczby znajdują się wewnątrz nawiasu.
Jeśli policzymy kropki, razem otrzymamy 24.

Zmiana grupowania

Czy otrzymamy łącznie tyle samo jeśli zmienimy nawiasy tak, żeby liczby były pogrupowane w inny sposób?
Pogrupujmy liczby w taki sposób, żeby start color goldD, 2, end color goldD i start color purpleD, 4, end color purpleD były razem: start color tealD, 3, end color tealD, times, left parenthesis, start color goldD, 2, end color goldD, times, start color purpleD, 4, end color purpleD, right parenthesis.
Możemy narysować zestaw kropek, który zilustruje to wyrażenie. Zacznijmy od start color goldD, 2, end color goldD rzędów zawierających po start color purpleD, 4, end color purpleD kropki. Ten zestaw przedstawia działanie start color goldD, 2, end color goldD, times, start color purpleD, 4, end color purpleD.
Teraz musimy skopiować ten zestaw start color tealD, 3, end color tealD razy, żeby uzyskać ilustrację wyrażenia start color tealD, 3, end color tealD, times, left parenthesis, start color goldD, 2, end color goldD, times, start color purpleD, 4, end color purpleD, right parenthesis.
Kiedy liczymy wszystkie kropki, okazuje się, że nadal mamy ich 24.
Zmiana sposobu grupowania nie zmienia końcowego wyniku!
left parenthesis, start color tealD, 3, end color tealD, times, start color goldD, 2, end color goldD, right parenthesis, times, start color purpleD, 4, end color purpleD, equals, start color tealD, 3, end color tealD, times, left parenthesis, start color goldD, 2, end color goldD, times, start color purpleD, 4, end color purpleD, right parenthesis

Własność łączności

Własność łączności to matematyczne prawo, które pozwala zmieniać sposób grupowania mnożonych liczb, pozostawiając przy tym końcowy wynik bez zmian.
Pogrupujmy liczby występujące w podanym iloczynie na dwa różne sposoby i pokażmy, że w obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik.
5, times, 4, times, 2
Zacznijmy od pogrupowania razem liczb start color blueD, 5, end color blueD i start color blueD, 4, end color blueD . Możemy obliczyć wartość wyrażenia krok po kroku.
empty space, left parenthesis, start color blueD, 5, times, 4, end color blueD, right parenthesis, times, 2
equals, start color blueD, 20, end color blueD, times, 2
equals, 40
Teraz pogrupujmy razem liczby start color purpleD, 4, end color purpleD i start color purpleD, 2, end color purpleD.
empty space, 5, times, left parenthesis, start color purpleD, 4, times, 2, end color purpleD, right parenthesis
equals, 5, times, start color purpleD, 8, end color purpleD
equals, 40
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.
Wszystkie trzy wyrażenia są równe:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color blueD, 5, times, 4, end color blueD, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color purpleD, 4, times, 2, end color purpleD, right parenthesis

Spróbujmy rozwiązać kilka zadań

Problem 1
Które wyrażenia są równe 6, times, 3, times, 4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Spróbujmy teraz obliczyć wartość wyrażenia na dwa różne sposoby.
Problem 2
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia left parenthesis, start color purpleD, 3, times, 2, end color purpleD, right parenthesis, times, 5, point
left parenthesis, start color purpleD, 3, times, 2, end color purpleD, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i
times, space, 5
empty spacespace, equals, space
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

Teraz obliczymy wartość tego samego wyrażenia, ale z liczbami pogrupowanymi w inny sposób.
Problem 3
Uzupełnij brakujące informacje, żeby obliczyć wartość wyrażenia 3, times, left parenthesis, start color greenD, 2, times, 5, end color greenD, right parenthesis.
3, times, left parenthesis, start color greenD, 2, times, 5, end color greenD, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i
empty spacespace, equals, space
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

left parenthesis, start color purpleD, 3, times, 2, end color purpleD, right parenthesis, times, 5, equals, 30 i
3, times, left parenthesis, start color greenD, 2, times, 5, end color greenD, right parenthesis, equals, 30
Dostaliśmy ten sam wynik, mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby.

Wyrażenia równoważne

Możemy wykorzystać własność łączności, żeby znajdować wyrażenia równoważne.
Zacznijmy od wyrażenia 2, times, 2, times, 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby, otrzymując w obu przypadkach wyrażenia równoważne 2, times, 2, times, 5:
left parenthesis, start color blueD, 2, times, 2, end color blueD, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color goldD, 2, times, 5, end color goldD, right parenthesis
Obliczając wartość każdego z tych wyrażeń krok po kroku, możemy znaleźć inne wyrażenia równoważne.
left parenthesis, start color blueD, 2, times, 2, end color blueD, right parenthesis, times, 5, equals, start color blueD, 4, end color blueD, times, 5
2, times, left parenthesis, start color goldD, 2, times, 5, end color goldD, right parenthesis, equals, 2, times, start color goldD, 10, end color goldD
Zatem nasze wyjściowe wyrażenie 2, times, 2, times, 5 jest również równoważne wyrażeniom 4, times, 5 i 2, times, 10.
Problem 4
Które wyrażenia są równoważne 8, times, 2, times, 4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Po co zmieniać sposób grupowania?

Zmiana sposobu grupowania może sprawić, że mnożenie stanie się łatwiejsze.
Przyjrzyjmy się wyrażeniu 4, times, 4, times, 5.
Możemy pogrupować liczby w tym wyrażeniu na dwa sposoby:
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Obliczając krok po kroku wartość pierwszego wyrażenia, dostajemy: left parenthesis, start color blueD, 4, times, 4, end color blueD, right parenthesis, times, 5, equals, start color blueD, 16, end color blueD, times, 5
Obliczając krok po kroku wartość drugiego wyrażenia, dostajemy: 4, times, left parenthesis, start color purpleD, 4, times, 5, end color purpleD, right parenthesis, equals, 4, times, start color purpleD, 20, end color purpleD
Wyznaczenie iloczynu 4, times, 20 może być łatwiejsze niż wyznaczenie iloczynu 16, times, 5.
Mimo że liczby zostały pogrupowane na dwa różne sposoby, wynik końcowy w obu przypadkach jest ten sam.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

Spróbujmy rozwiązać zadanie

Problem 5
W jaki sposób możemy pogrupować liczby w wyrażeniu 2, times, 3, times, 9?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Problem 6
W jaki sposób powinniśmy pogrupować liczby, żeby otrzymać wynik, unikając przy tym mnożenia liczby dwucyfrowej?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: