Poćwicz zmienianie kolejności czynników w zadaniu z mnożenia i zobacz, jak wpływa to na wynik.

Porównywanie wyników mnożenia

Obrazek przedstawia tablicę, złożoną z 2\greenD{2} rzędów, w których znajdują się po 4\purpleD{4} kropki. Taką tablicę możemy opisać działaniem 2×4=8 \greenD{2} \times \purpleD{4}= \goldD{8}.
Obrazek przedstawia tablicę, złożoną z 4\purpleD{4} rzędów, w których znajdują się po 2 \greenD{2} kropki. Taką tablicę możemy opisać działaniem 4×2=8\purpleD{4} \times \greenD{2} = \goldD{8}.
W obu przypadkach całkowita liczba kropek wynosi 8\goldD{8}.
4×2=8\greenD{4} \times\purpleD{2} = \goldD{8} i 2×4=8\purpleD{2} \times \greenD{4} = \goldD{8}
Pomimo, że zmieniliśmy kolejność liczb, które mnożymy, wynik mnożenia pozostał taki sam.
5×4=20\greenD{5} \times \purpleD{4} = \goldD{20}
4×5=20\purpleD{4}\times \greenD{5} = \goldD{20}
5×4=4×5\greenD{5} \times \purpleD{4} = \purpleD{4}\times \greenD{5}
7×10=70\greenD{7} \times \purpleD{10} = \goldD{70}
10×7=70\purpleD{10}\times \greenD{7} = \goldD{70}
7×10=10×7\greenD{7} \times \purpleD{10} = \purpleD{10}\times \greenD{7}
Ćwiczenie 1a
Połącz wyrażenia, które są sobie równe.
  • 3×93\times 9
  • 9×49 \times 4
  • 747 \cdot 4
  • 494 \cdot 9
  • 939 \cdot 3
  • 4×74 \times 7

Wiemy już, że 4×2=84 \times 2 = 8.
Spróbujmy narysować rysunek, który pomoże nam rozstrzygnąć, czy 4+24 + 2 =? \stackrel{?}{=} 88.
Na rysunku widać wyraźnie, że 4+284 + 2 \neq 8. A więc odpowiedź brzmi nie i tak samo, jeśli zamienimy kolejność liczb.
Ćwiczenie 1b
Które dwa działania dają ten sam wynik?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Własność przemienności

Własność mnożenia, która sprawia że wynik mnożenia dwóch liczb nie zależy od tego, w jakiej kolejności je mnożymy, nazywa się przemiennością mnożenia.
Wytłumaczymy to na przykładzie szafki. W tej szafce rozmieszczono w 5\goldD{5} rzędach po 2\blueD{2} kółka:
Możemy obliczyć liczbę kółek mnożąc liczbę rzędów przez liczbę kółek w każdym rzędzie.
5×2=10\goldD{5} \times \blueD{2} = \greenD{ 10}
Jeśli przekręcimy naszą szafkę, będziemy mieli kółka ułożone w 2\blueD{2} rzędach po 5\goldD{5} kółek w rzędzie:
A przecież tylko obróciliśmy naszą szafkę. Liczba kółek nie mogła się od tego zmienić.
Jeśli w tym przypadku pomnożymy liczbę rzędów przez liczbę kółek w rzędzie, otrzymamy:
2×5=10\blueD{2} \times \goldD{5} = \greenD{ 10}
Kolejność mnożenia liczb 2\blueD{2} i 5\goldD{5} nie ma znaczenia.
5×2=2×5\goldD{5} \times \blueD{2} = \blueD{2} \times \goldD{5}

Spróbujmy teraz rozwiązać kilka zadań

W tej szafce umieszczono 88 rzędów kółek, po 44 kółka w jednym rzędzie.
Zadanie 2, część A
A jak wyglądałaby szafka, gdybyśmy ją obrócili i postawili na jednym z boków?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2, część B
88 rzędów z 44 kółkami == 44 rzędom z
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
kółkami.

Zadanie 2, część C
8×4=8 \times 4 =
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

A teraz skorzystamy z przemienności mnożenia

Opisanie szafki, albo tablicy

Przemienność mnożenia oznacza, że kolejność czynników nie ma znaczenia dla wyniku mnożenia.
Jeśli więc chcemy opisać zawartość szafki, albo tablicy, to, czy najpierw wybierzemy rzędy, a potem kolumny, czy na odwrót, nie ma znaczenia.
Możemy powiedzieć, że w tej tablicy jest 5×35 \times 3 kółek, to znaczy 55 grup po 33 kółka w każdej grupie.
Albo, że w tej tablicy jest 3×53 \times 5 kółek, to znaczy 33 grupy po 55 kółek w każdej grupie.
Czy tak, czy tak, za każdym razem kółek będzie tyle samo, czyli 1515.

Inne zadanie

Ćwiczenie 3
Które z poniższych wyrażeń opisuję tę tablicę?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Kiedy przydaje się przemienność mnożenia?

Często zdarza się, że przemienność mnożenia pozwala uprościć mnożenie więcej niż dwóch liczb.
Przyjrzyjmy się temu przykładowi:
Mnożenie 7×2×57 \times 2 \times 5 możemy wykonać w dwóch krokach:
7×2=147 \times 2 = 14
14×5=7014 \times 5 = 70
Wynik jest prawidłowy, ale mnożenie 14×514 \times 5 nie jest wcale takie proste!
Skoro wiemy, że przemienność mnożenia oznacza, że można zamienić kolejność czynników nie zmieniając wyniku mnożenia, możemy z tego skorzystać.
Zamieńmy kolejność 77 i 55 w taki sposób, że mnożenie będzie wyglądać tak 5×2×75 \times 2 \times 7. Zobaczmy, dlaczego teraz obliczenia będą łatwiejsze:
5×2=105 \times 2 = 10
10×7=7010 \times 7 = 70
Tym razem w drugim kroku mnożymy przez 1010, a takie mnożenie łatwo wykonać.
Ćwiczenie 4A
Które działanie da ten sam wynik co 4×3×54 \times 3 \times 5?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Ćwiczenie 4B
Skorzystaj z przemienności mnożenia aby zmienić kolejność czynników i wykonać obliczenia.
5×3×6=5 \times 3 \times 6 =
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
Spróbuj tak zamienić kolejność czynników, aby w rezultacie mnożyć przez wielokrotność 1010.