Główna zawartość

Wstęp do algebry

Kurs: Wstęp do algebry > Rozdział 10

Lekcja 5: Potęgi o wykładniku ujemnym

Podsumowanie wiadomości na temat potęg o wykładniku ujemnym

Powtórzenie wiadomości dotyczących potęg o wykładniku ujemnym oraz ich zastosowanie w zadaniach.

Definicja potęgi o ujemnym wykładniku

Ujemną potęgę definiujemy jako liczbę odwrotną do podstawy podniesionej do dodatniej potęgi:

x, start superscript, minus, n, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, n, end superscript, end fraction

Chcesz dowiedzieć się więcej na temat potęg o wykładniku ujemnym? Obejrzyj ten film.

Przykłady

3, start superscript, minus, 5, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, start superscript, 5, end superscript, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, start superscript, 8, end superscript, end fraction, equals, 2, start superscript, minus, 8, end superscript
y, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, y, squared, end fraction
left parenthesis, start fraction, 8, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, left parenthesis, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, right parenthesis, cubed

Ćwiczenie

zadanie 1

Prąd elektryczny

Wybierz wyrażenia równoważne z:

4, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, question mark

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Trochę intuicji

Więc dlaczego definiujemy ujemne wykładniki potęgowe w ten sposób? Oto kilka uzasadnień:

Uzasadnienie #1: Wzory

n	2, start superscript, n, end superscript
3	2, cubed, equals, 8
2	2, squared, equals, 4
1	2, start superscript, 1, end superscript, equals, 2
0	2, start superscript, 0, end superscript, equals, 1
minus, 1	2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
minus, 2	2, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction

Zauważ, że 2, start superscript, n, end superscript dzielimy przez 2 za każdym razem kiedy zmniejszamy n. Ten schemat jest kontynuowany nawet kiedy n wynosi zero albo jest ujemne.

Uzasadnienie #2: Właściwości wykładników potęgi

Przypomnij sobie, że start fraction, x, start superscript, n, end superscript, divided by, x, start superscript, m, end superscript, end fraction, equals, x, start superscript, n, minus, m, end superscript. Więc...

\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}

Wiemy również, że

\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\cdot\cancel 2}{\cancel 2\cdot\cancel 2\cdot 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}

I tak otrzymujemy 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

Pamiętamy także, że x, start superscript, n, end superscript, dot, x, start superscript, m, end superscript, equals, x, start superscript, n, plus, m, end superscript.

\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}

I rzeczywiście, zgodnie z naszą definicją...

\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^2\cdot\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.