Dlaczego reguła podzielności przez 3 działa

Idziecie sobie ulicą i nagle ktoś do was krzyczy: Powiedz szybko, czy 4792 jest podzielne przez 3? Mów szybko, to kwestia życia i śmierci! Na szczęście znacie prosty sposób sprawdzania podzielności przez 3. Odpowiadacie: dodaj cyfry i jeśli suma będzie podzielna przez 3, to liczba też. Dodajemy: 4 + 7 + 9 + 2. 4 plus 7 to 11, plus 9 to 20, plus 2 to 22. Nie dzieli się przez 3. Dla pewności możecie znów dodać cyfry. 2 plus 2 to 4. Nie dzieli się przez 3. Więc ta liczba również nie dzieli się przez 3. Może właśnie uratowaliśmy komuś życie. Ale idziecie dalej ulicą i znów ktoś woła: Mów szybko, czy 386 802 dzieli się przez 3? Robicie to samo. Dodajecie: 3 + 8 + 6 + 8 + 0 + 2. 3 plus 8 to 11, plus 6 to 17, plus 8 to 25, plus 2 to 27. 27 dzieli się przez 3. W razie wątpliwości dodajcie cyfry: 2 plus 7 równa się 9. 9 dzieli się przez 3, więc ta długa liczba też. Czujecie się świetnie, bo pomogliście dwu osobom w potrzebie. Powiedzieliście im błyskawicznie, czy ich liczby dzielą się przez 3. Ale dręczy was świadomość, że nie wiecie, dlaczego to działa. Znacie tylko sam sposób. Zastanówmy się więc, dlaczego to działa. Wybiorę przypadkową liczbę. Mógłbym to udowodnić na wzorach ale chcę wam pokazać, że wystarczy zdrowy rozsądek. Moja liczba to 498 ale może być dowolna. Aby zrozumieć, dlaczego ten sposób działa rozpiszmy 498. Pierwsza cyfra oznacza setki więc można ją zapisać jako 4 × 100 albo nieco inaczej: 4 razy (1 + 99) w nawiasie. To jest to samo. Zamiast 4 × 100 napisaliśmy 4 × (1 + 99). Cały trik polega na tym, że zapisałem 100 jako sumę zawierającą liczbę podzielną przez 3. 99 dzieli się przez 3. Gdybym miał tu cyfrę tysięcy, wpisałbym 999. Każda liczba z dziewiątek dzieli się przez 3. Tak samo można udowodnić zasadę podzielności przez 9. Mamy już rozpisaną cyfrę 4. 9 na miejscu dziesiątek oznacza 90, czyli 9 × 10, czyli 9 × (1 + 9). Wreszcie, 8 na miejscu jedności to inaczej 8 × 1, czyli po prostu 8. Teraz rozbijmy ten nawias. To się równa 4 × 1 + 4 × 99 czyli 4 + 4 × 99… Napiszmy wynik mnożenia. Zresztą, niech będzie tak. 4 + 4 × 99… Teraz zróbmy to samo z tym. …plus 9… Zmienię kolor. …plus 9… …plus 9 × 9… …i zostaje mi ta ósemka. Uporządkujmy to wszystko. Te składniki: 4 × 99 i 9 × 9 przepiszę tutaj. 4 × 99 w nieco innej notacji plus 9 × 9. To te dwa składniki. I dalej mamy: plus 4… plus 9… i plus 8. Sprawdźmy teraz, czy to się dzieli przez 3. Pierwsze dwa składniki na pewno się dzielą. 4(99) dzieli się przez 3, bo 99 dzieli się przez 3. To oczywiste, bez dyskusji. Wynik mnożenia przez wielokrotność 3 będzie podzielny przez 3. Taką samą sytuację mamy tutaj, bo 9 jest podzielne przez 3. Dodanie tych składników też da nam wynik podzielny przez 3. Cała ta część jest podzielna przez 3. Gdyby tu było więcej cyfr, robi się to samo. Oprócz 1 + 99 mielibyśmy 1 + 999, 1 + 9999 i tak dalej. O wszystkim decyduje więc ten ogon. Jeśli całość ma być podzielna przez 3… Skoro ta jest podzielna… i ta też… to również ta musi być podzielna przez 3. również… ta… musi… być… podzielna… przez… 3. A co dokładnie mamy tutaj? Spójrzcie, to przecież cyfry naszej liczby. 4, 9 i 8. Dlatego wystarczy zsumować cyfry, by sprawdzić podzielność przez 3.